一題多解
——直線與圓相交時(shí)的有關(guān)垂直問(wèn)題

朱樹(shù)家 徐加華

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

直線與圓相交時(shí)的有關(guān)垂直問(wèn)題，涉及問(wèn)題形式較多，方法比較靈活，方法的選擇尤為重要，方法選擇得當(dāng)，則會(huì)節(jié)省解題時(shí)間，從而提高解題速度.現(xiàn)舉例加以說(shuō)明.

例1已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；

(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M,N兩點(diǎn)，且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值.

解(1)由題意得4+16-4m>0.解得m<5.

(2)方法一(圓系方程)

設(shè)過(guò)M,N兩點(diǎn)的圓的方程為x2+y2-2x-4y+m+λ(x+2y-4)=0,

即x2+y2+(λ-2)x+(2λ-4)y+m-4λ=0,

故(λ-2)2+(2λ-4)2-4(m-4λ)>0. ①

說(shuō)明：本法借助于圓系方程，由OM⊥ON知O在以MN為直徑的圓上，利用過(guò)M,N兩點(diǎn)的圓系方程，其圓心在已知直線上且過(guò)原點(diǎn)來(lái)構(gòu)造含有m的方程組進(jìn)行求解.

說(shuō)明：本法借助于數(shù)量積的運(yùn)算，把垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)一步把坐標(biāo)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的根的關(guān)系，從而借助于韋達(dá)定理來(lái)構(gòu)造含有m的方程，來(lái)求得m的取值.

說(shuō)明：本法借助于圓的弦長(zhǎng)公式，以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來(lái)求解.

變式：若此圓圓心為C，且CM⊥CN，求m的值.

解析方法一(圓系方程)

設(shè)過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓的方程為：x2+y2-2x-4y+m+λ(x+2y-4)=0，

即x2+y2+(λ-2)x+(2λ-4)y+m-4λ=0，

故(λ-2)2+(2λ-4)2-4(m-4λ)>0。 ②

(1)求曲線E的方程；

(2)已知m≠0,設(shè)直線l1:x-my-1=0交曲線E于A、C兩點(diǎn)，直線l2:mx+y-m=0交曲線E于B、D兩點(diǎn)，若CD的斜率為-1時(shí)，求直線CD的方程.

得(x+1)2+y2=3((x+1)2+y2),

化簡(jiǎn)得(x-2)2+y2=3.

(2)由題意知l1,l2均過(guò)定點(diǎn)P(1,0)，且l1⊥l2，故直線CD與圓E相交，且PC⊥PD.

以下用兩種方法求解

方法一(代數(shù)法) 設(shè)直線CD方程為y=-x+b.

Δ=-4b2+24>0,b2<6.

=b2-3b=0,得b=0或b=3.滿足b2<6.

故直線的方程為y=-x或y=-x+3，即x+y=0或x+y-3=0.

方法二(圓系方程) 設(shè)直線方程為x+y+b=0.

過(guò)CD的圓的方程為

x2-4x+y2+1+λ(x+y+b)=0，

即x2+y2+(λ-4)x+λy+λb+1=0，

(λ-4)2+λ2-4(λb+1)>0.③

易知：以CD為直徑的圓過(guò)P(1,0)，且圓心在直線x+y+b=0上.

說(shuō)明：本題若采用幾何法，計(jì)算相對(duì)來(lái)說(shuō)復(fù)雜一些，在此不再贅述.本題的關(guān)鍵在于看出l1,l2均過(guò)定點(diǎn)P(1,0)，且l1⊥l2.

本文通過(guò)三個(gè)例題列舉了直線與圓相交時(shí)有關(guān)垂直問(wèn)題的三種解法，通過(guò)解答，讀者不難看出各解法的優(yōu)劣.由此可見(jiàn)方法選擇得當(dāng)，會(huì)避免一些復(fù)雜的計(jì)算，提高解題速度，在考試中也會(huì)為其它題目爭(zhēng)取更多的解題時(shí)間.當(dāng)然，方法的選擇還需要靠平時(shí)的積累，希望在此能起到拋磚引玉的作用.