2019年9月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2501設△ABC的三內角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c，三角形的面積△，求證：

(1)

當且僅當△ABC為等邊三角形時式中等號成立.

(河南質量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

證明令a=y+z,b=z+x,c=x+y，

而 2(ab+bc+ca)-(a2+b2+c2)

=2[(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+(x+y)(y+z)]-[(y+z)2+(z+x)2+(x+y)2]

=2[(x2+y2+z2)+3(xy+yz+zx)]

-[2(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)]

=4(xy+yz+zx)，

于是(1)式等價于

?(xy+yz+zx)2≥3xyz(x+y+z)

?(xy)2+(yz)2+(zx)2+2xyz(x+y+z)≥3xyz(x+y+z)

?(xy)2+(yz)2+(zx)2≥xyz(x+y+z)

(2)

而(xy)2+(yz)2+(zx)2≥xy·yz+yz·zx+zx

·xy=xyz(x+y+z)，

即(2)式成立，從而(1)式成立.

由以上證明過程可知，當且僅當x=y=z即a=b=c亦即△ABC為等邊三角形時，(1)式中等號成立.

2502設AM為銳角三角形ABC的外接圓直徑，N為邊BC的中點，P為∠BAC的平分線AP與直線MN的交點，E，F(xiàn)分別為點P在兩邊AB和AC上的射影，證明：直線MN與EF的交點H是△ABC的垂心.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

證明如圖，在△ABC及其外接圓中，因∠BAC的平分線AP與所給直線MN相交，

故知AB≠AC，不妨設AB

設直線MN與△ABC外接圓的另一交點為Q，

連接QA，QB，QC，QE，QF及MB，MC.

因AM為△ABC外接圓的直徑，

故∠AQP= 90°.

又因∠AEP=∠AFP= 90°，

故A，Q，E，P，F(xiàn)五點共圓.

因∠QEA=∠QFA，

故∠QEB=∠QFC.

又因∠QBA=∠QCA，

故△QBE∽ △QCF，

①

在四邊形QBMC中，

由BN=CN得S△QBM=S△QCM，

即BQ·BM·sin∠QBM

=CQ·CM·sin∠QCM.

因∠QBM+∠QCM=180°，

故BQ·BM=CQ·CM.

②

在線段NQ上截取NH′ =MN，

連接H′E，H′F及H′B，H′C，

所得四邊形H′BMC為平行四邊形(因該四邊形對角線互相平分).

因BH′∥MC，MC⊥AC，

故BH′⊥AC，同理CH′⊥AB.

因此，點H′ 是△ABC的垂心，

同時∠EBH′ = 90°-∠BAC=∠FCH′.

根據(jù)① ②及CM=BH′，BM=CH′ 得

由此可知△EBH′ ∽ △FCH′，

從而有∠H′EB=∠H′FC.

③

由題設知AE=AF，∠AEF=∠AFE，

從而有∠HEB=∠HFC(③式的特例).

④

△ABC的垂心H′ 和點H在線段NQ上，

考慮線段NH′ 與NH的關系：

如果NH′ =NH，此時點H′ 重合于點H；

如果NH′ >NH，結合③ ④得

∠H′EH=∠H′EB-∠HEB

=∠H′FC-∠HFC=∠H′FH，

于是△EH′F為等腰三角形，

其頂點H′ 在邊EF的中垂線AP上，

即△ABC的垂心H′ 在AP上，

因此AP⊥BC. 又因AP平分∠BAC，

故AB=AC，這與AB≠AC矛盾；

同理，NH′

綜上得知，H′ 和H兩點重合，

因此點H是△ABC的垂心.

2503△ABC中，a,b,c分別表示三角形三邊長，I為△ABC的內心，則

(浙江省永康市第六中學 呂永軍 321300)

證明設r,R分別為△ABC的內切圓半徑與外接圓半徑

2504已知a，b，c>0，abc=1，求證：

(河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪 473061)

證明不難證明，當x>0時，

xlnx≥x-1(當且僅當x=1時等號成立)，

所以，當x>0時，有

于是

當且僅當a=b=c=1時等號成立.

2505如圖，△ABC中，D,E,F分別是邊BC,CA,AB上的點，且,BD=mBC,CE=mCA,AF=mAB,0

(湖北省公安縣第一中學楊先義434300)

證明設M是△ABC的重心．

熟知下述引理:

所以△ABC與△PQR的重心重合．

2019年10月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2506在k邊形A1A2…AK(k≥3)中，a1,a2,…,ak為其各邊長，s為周長，n∈N+且n≥2，0<λ≤1，求證：

(安徽省岳西中學 儲百六 246600)

2507如圖,已知四邊形ABCD，E、F、I、J分別是四邊的中點，分別連接AJ、IB、DJ、IC交G、H，IJ、EF交O，求證：GH∥EF.

(江西師范高等?？茖W校 王建榮 335000)

2508在銳角△ABC中，有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟300456)

2509如圖，在△ABC中，∠BCA的平分線與△ABC的外接圓交于點R,∠BCX=∠ACY,邊BC的垂直平分線交CX于點P，邊CA的垂直平分線交CY于點Q，K是BC的中點，L是AC的中點，則△RPK和△RQL面積相等.

(安徽省旌德中學 趙忠華 242600)

2510已知a,b,c>1,a+b+c+2≥abc,求證:

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)