王冬蘭 保繼光

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

對(duì)數(shù)、微積分和解析幾何并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)最偉大的三項(xiàng)發(fā)明.對(duì)數(shù)的引入讓大數(shù)計(jì)算的簡化成為了可能.事實(shí)上，對(duì)數(shù)的本質(zhì)是等差數(shù)列(Arithmetic Progression)與等比數(shù)列(Geometric Progression)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.歷史上，這種關(guān)系反復(fù)吸引了很多著名的數(shù)學(xué)家的關(guān)注.

公元前3世紀(jì)，阿基米德(Archimedes，公元前287—公元前212)在《數(shù)沙者》(The Sand Reckoner)中提出了一整套表示大數(shù)的方法，其中蘊(yùn)含著等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.[1]在阿基米德的計(jì)數(shù)法中包含這樣的內(nèi)容：

已知數(shù)列A1,A2,A3,…,Am,…,An,…,Am+n-1,…，若A1=1,A2=10，Am+n-1=AmAn，則An+1=A2An=10An.

阿基米德實(shí)際上給出的是如下兩個(gè)數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

表1 阿基米德給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1 等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)關(guān)系的確立

1484年，法國數(shù)學(xué)家許凱(N.Chuquet，1445—1488)在《數(shù)的科學(xué)三部曲》(Le Triparty en la science des nombres)中給出了一個(gè)數(shù)列間的對(duì)應(yīng)表格：

表2 許凱表格

許凱指出等比數(shù)列中兩個(gè)數(shù)之間的乘法可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列中相對(duì)應(yīng)數(shù)的加法.[2][3]例如：表格中第二行等比數(shù)列中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)相乘2×8=16,對(duì)應(yīng)著第一行等差數(shù)列中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)相加1+3=4,即21×83=164.這里數(shù)的上標(biāo)，表示的并不是指數(shù)，而是數(shù)在表格中對(duì)應(yīng)的位置.基于這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，許凱定義了冪函數(shù)的乘法，得出結(jié)論：兩個(gè)單項(xiàng)式的乘積可以由冪函數(shù)指數(shù)相加得出.

1544年，德國數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾(M.Stifel,1487—1567)明確提出了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在《整數(shù)的算術(shù)》(Arithmetica Integra)中，他引入了與許凱相同的兩個(gè)數(shù)列：

表3 施蒂費(fèi)爾表格

其中施蒂費(fèi)爾對(duì)數(shù)列之間的關(guān)系給出了清晰的解釋：等差數(shù)列中數(shù)的加法對(duì)應(yīng)著等比數(shù)列中數(shù)的乘法，減法則對(duì)應(yīng)著除法.同時(shí)施蒂費(fèi)爾將等差數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)叫做“指數(shù)”(exponent)，這也是第一次出現(xiàn)指數(shù)這個(gè)名詞.施蒂費(fèi)爾雖然在許凱的基礎(chǔ)上將數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系由非負(fù)整數(shù)推廣到了負(fù)整數(shù)，但是與許凱一樣，也僅僅局限在了冪函數(shù)的計(jì)算以及解決一些類似的代數(shù)等式上.

2 納皮爾對(duì)數(shù)

2.1 納皮爾對(duì)數(shù)的發(fā)明

17世紀(jì)初期，隨著航海、天文學(xué)的發(fā)展，人們需要一種簡便的方法來解決復(fù)雜的三角學(xué)計(jì)算問題.這個(gè)問題吸引了蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier，1550—1617)的注意.他基于等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)明了偉大的“對(duì)數(shù)”(logarithm).“l(fā)ogarithm”這個(gè)詞來源于希臘的詞根“l(fā)ogos”(比率)和“arithmos”(數(shù)量)，意思是“與比率相關(guān)的數(shù)”.納皮爾在使用“對(duì)數(shù)”這個(gè)名詞之前，將其命名為“人造數(shù)”(artificial numbers).[4]

1614年，納皮爾在愛丁堡出版了著作《論述對(duì)數(shù)的奇跡》(Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio)，這部巨著被認(rèn)為是世界上最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，包含了對(duì)數(shù)表及其使用說明.納皮爾去世后，1619年，他的第二個(gè)兒子(R.Napier)整理出版了《做出對(duì)數(shù)的奇跡》(Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio)，其中給出了對(duì)數(shù)表詳細(xì)的證明過程和計(jì)算步驟.[5]

納皮爾首先計(jì)算的是正弦的對(duì)數(shù).在當(dāng)時(shí)，一個(gè)角度t的正弦并不是用現(xiàn)在的比值定義的，而是被定義為給定半徑的圓上圓心角2t所對(duì)弦長的一半.(The sine of an angle was not regarded,as at present,as a ratio,but as the length of that semi-chord of a circle of given radius which subtends the angle at the centre.)[6]納皮爾令圓的半徑為107，此時(shí)90°角的正弦就為107，隨著角度的減小正弦減小到0.納皮爾將角度t的范圍確定在0°～90°，以分為單位等距取值，正弦的范圍為0到107之間的整數(shù)，所計(jì)算的就是這些整數(shù)的對(duì)數(shù).

最初，納皮爾嘗試著去提供一個(gè)用等差數(shù)列測(cè)量等比數(shù)列的方法，或者是表示這兩個(gè)數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.令等比數(shù)列的首項(xiàng)a0=107，其公比為1-10-7=0.9999999，這樣使得等比數(shù)列充分稠密，相鄰數(shù)間的差值也就非常小，進(jìn)而得到了如下的表格：

表4 納皮爾最初使用的兩個(gè)數(shù)列表

其中等比數(shù)列為An=107(1-10-7)n,n∈N,相對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列為Bn=n.納皮爾將Bn稱為An的對(duì)數(shù).

可以發(fā)現(xiàn)基于這種對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算對(duì)數(shù)計(jì)算量非常大，后來納皮爾又尋求到了一條更深入、更有效的替代道路，并最終取得了成功.

2.2 納皮爾對(duì)數(shù)的定義

納皮爾精確的對(duì)數(shù)定義來源于一個(gè)運(yùn)動(dòng)的幾何模型.納皮爾構(gòu)思了兩個(gè)沿兩條線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn).點(diǎn)P從起點(diǎn)A開始在線段AB(AB=107)上運(yùn)動(dòng)，初速度為107，在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P的速度與其到終點(diǎn)B的距離PB成正比，設(shè)比例系數(shù)為1；同時(shí)點(diǎn)Q從起點(diǎn)C開始沿射線CD以恒定速度107運(yùn)動(dòng).

圖1

納皮爾將y定義為x的對(duì)數(shù)，記作

y=Nap.logx，

所以

(1)

這就是納皮爾對(duì)數(shù)定義的現(xiàn)代表示.

納皮爾在表4中構(gòu)造的對(duì)應(yīng)關(guān)系用現(xiàn)代的方法表示為

x∈{An|An=107(1-10-7)n,n∈N}，

而納皮爾新定義對(duì)數(shù)為

由于(1-10-7)-107≈2.71828196，e≈2.71828183可知(1-10-7)-107≈e即1-10-7≈e-10-7，兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的底近似相等.這樣納皮爾將一個(gè)離散的對(duì)應(yīng)關(guān)系改用連續(xù)函數(shù)的方式近似表達(dá)了出來.

2.3 確定納皮爾對(duì)數(shù)值

納皮爾根據(jù)對(duì)數(shù)的定義著手計(jì)算正弦的對(duì)數(shù).后來他發(fā)現(xiàn)，不需要計(jì)算正弦在0～107之間所有數(shù)的對(duì)數(shù)，只需要計(jì)算在5×106～107之間的對(duì)數(shù)就可以了.對(duì)于小于5×106的正弦的對(duì)數(shù)，可以通過三角函數(shù)變換得到(在后面的內(nèi)容中會(huì)提到)，這樣就節(jié)省了很大的工作量.與此同時(shí)，為了進(jìn)一步簡化計(jì)算，納皮爾采用了一種巧妙的方法進(jìn)行數(shù)列之間數(shù)的嵌入.他構(gòu)造了三個(gè)不同的等比數(shù)列，這些數(shù)列以107為首項(xiàng)，使用不同的公比.[7]

…

在{an},{bn},{c1,n},{c2,n},…,{c69,n}這71個(gè)數(shù)列中，前一個(gè)數(shù)列的最后一項(xiàng)近似等于后一個(gè)數(shù)列中第二或第一項(xiàng)，恰好可以進(jìn)行級(jí)數(shù)的嵌入.同時(shí)數(shù)列中第一項(xiàng)a0=107,最后一項(xiàng)c69,20≈4998609.40，比5×106小，也恰好滿足納皮爾之前提到的所要計(jì)算的在5×106～107之間正弦的對(duì)數(shù).

納皮爾首先計(jì)算他所構(gòu)造的這71個(gè)數(shù)列中數(shù)的對(duì)數(shù)，對(duì)于這個(gè)數(shù)列中數(shù)的對(duì)數(shù)，他并沒有直接計(jì)算，而是通過區(qū)間近似的方式得到.

圖2

納皮爾根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，構(gòu)造了如圖2所示的圖，其中點(diǎn)A、點(diǎn)C分別為a、b運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，其中點(diǎn)b在射線CD上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)a在線段AB上以初速度107做減速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)D為點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即EB的對(duì)數(shù)為CD，此時(shí)有AECD.

①

對(duì)于數(shù)列{an}中的數(shù)，將a1=9999999代入①中，得到

納皮爾取其近似值為Nap.loga1≈1.00000005.再根據(jù)Nap.log(ai)=iNap.log(a1)，這樣數(shù)列{an}中數(shù)的對(duì)數(shù)就計(jì)算出來了.

類似①的證明過程，當(dāng)x

②

對(duì)于第二個(gè)數(shù)列{bn}中的數(shù)，由a100≈b1，根據(jù)公式②，有

成立，進(jìn)而可以求出Nap.logb1，同時(shí)根據(jù)Nap.logbi=iNap.logb1，可以求出第二個(gè)數(shù)列中數(shù)的對(duì)數(shù).類似地根據(jù)納皮爾對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可以計(jì)算出其他數(shù)列{c1,n},{c2,n},{c3,n},…,{c69,n}中數(shù)的對(duì)數(shù).

根據(jù)這三個(gè)數(shù)列中數(shù)的對(duì)數(shù)，納皮爾開始計(jì)算正弦的對(duì)數(shù)，著手制作正弦對(duì)數(shù)表.對(duì)于在5×106～107范圍內(nèi)，卻不在這三個(gè)數(shù)列中的正弦x，因?yàn)閿?shù)列足夠稠密，在數(shù)列中可以找到與其最接近的數(shù)y，根據(jù)公式②，可以計(jì)算出Nap.logx的值.

=Nap.log(107cosα)+Nap.log(107sinα),

即Nap.log(107sinα)

Nap.log[107sin(90°-α)].

為了使得到的對(duì)數(shù)值更加精確，納皮爾基于對(duì)數(shù)的特點(diǎn)以及三角函數(shù)關(guān)系使用了更為復(fù)雜的方法提高精確度.這樣納皮爾計(jì)算出了所有正弦的對(duì)數(shù)，并且繪制了對(duì)數(shù)表，為當(dāng)時(shí)航海、天文學(xué)的計(jì)算帶來了極大的便利.

2.4 納皮爾對(duì)數(shù)的性質(zhì)

對(duì)于a,b,c>0,由(1)有

Nap.log(ab)=107(ln107-lna-lnb)

=Nap.loga+Nap.logb-Nap.log1;

=Nap.loga-Nap.logb+Nap.log1.

Nap.loga-Nap.logb=Nap.logc-Nap.logd.

3 納皮爾對(duì)數(shù)的改進(jìn)

可以發(fā)現(xiàn)，納皮爾對(duì)數(shù)并不是我們今天所熟知的對(duì)數(shù)，其結(jié)構(gòu)是以比例為基礎(chǔ)的幾何結(jié)構(gòu)，在計(jì)算上不能直接將兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)乘積的對(duì)數(shù).英國數(shù)學(xué)家布里格斯(H.Briggs,1561—1630)改進(jìn)了納皮爾對(duì)數(shù)，在1624年，他出版了《對(duì)數(shù)算術(shù)》(Arithmetica Logarithmica)一書，其中包含從1～20000和90000～100000間整數(shù)的對(duì)數(shù)，精確到14位小數(shù).在1628年，荷蘭數(shù)學(xué)家弗拉克(A.Vlacq，1600—1667)補(bǔ)全了20000～90000之間數(shù)的對(duì)數(shù)，和布里格斯的結(jié)果一起出版了一個(gè)1～100000的對(duì)數(shù)表.[8]在以后的三個(gè)世紀(jì)中，這個(gè)對(duì)數(shù)表幾乎是構(gòu)造一切對(duì)數(shù)表的依據(jù).對(duì)數(shù)表的發(fā)明極大地便利了天文學(xué)家的計(jì)算，法國著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace,1749—1827)評(píng)價(jià)到：“因?yàn)槭r(shí)省力，對(duì)數(shù)倍增了天文學(xué)家的壽命.”

在這里還需要提到的是，瑞士的鐘表匠比爾奇(J.Bürgi，1552—1632)在1600年左右也獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)，但他的著作《進(jìn)數(shù)表》(Progress Tabulen)直到1620年才發(fā)表，當(dāng)時(shí)納皮爾對(duì)數(shù)表已經(jīng)被人熟知并且風(fēng)靡歐洲.[9]

隨著對(duì)數(shù)的快速發(fā)展，17世紀(jì)中葉，對(duì)數(shù)由西方的傳教士傳入中國.明末清初數(shù)學(xué)家薛鳳祚(1599—1680)與波蘭傳教士穆尼閣(J.N.Smogolenski,1611—1656)合編的《比例對(duì)數(shù)表》(1653)是我國第一本有關(guān)對(duì)數(shù)的著作.清代著名數(shù)學(xué)家梅文鼎、戴震等人曾對(duì)納皮爾對(duì)數(shù)加以研究.1723年清代梅彀成等人編的《數(shù)理精蘊(yùn)》出版，其中比較詳細(xì)地介紹了常用對(duì)數(shù)的求法和造表法，推動(dòng)了中國關(guān)于對(duì)數(shù)的研究.很多數(shù)學(xué)家都在此基礎(chǔ)上展開對(duì)數(shù)研究，并創(chuàng)造了新的計(jì)算方法.清代數(shù)學(xué)家王貞儀(1768—1797)吸取梅文鼎等人的中西算法之長，對(duì)納皮爾對(duì)數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行增補(bǔ)講解，使之簡易明了，寫了三卷書向國人介紹這種算法.[10]1845年，晚清數(shù)學(xué)家戴煦(1806—1860)在《對(duì)數(shù)簡法》中討論了將開方運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢薮蔚幕驘o限次的加減乘除運(yùn)算，數(shù)學(xué)家李善蘭(1811—1882)在《對(duì)數(shù)探源》中討論了自然數(shù)與常用對(duì)數(shù)的關(guān)系等等，為對(duì)數(shù)在中國的發(fā)展注入了活力.[11]

4 現(xiàn)代對(duì)數(shù)的概念

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因(F.Klein,1849—1925)說：“如果希望深入全面了解對(duì)數(shù)理論，最好是基本遵循它的歷史發(fā)展”.雖然在古希臘時(shí)期阿基米德提出了類似指數(shù)冪的雛形，在16世紀(jì)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾第一次提出指數(shù)這個(gè)名詞，但是指數(shù)一直沒有得到人們的重視.到了17世紀(jì)初期，納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)作為計(jì)算工具走進(jìn)了人們的視野.17世紀(jì)后半葉，英國數(shù)學(xué)家沃利斯(J.Wallis,1616—1703)給出了負(fù)數(shù)指數(shù)冪與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，之后牛頓(I.Newton,1643—1727)又給出了現(xiàn)代指數(shù)冪記號(hào)的形式.最后歐拉(L.Euler,1707—1783)在《無窮小分析引論》(Introductio in Analysin Infinitorum，1748)中明確了指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，才將二者真正聯(lián)系到了一起.[12]在現(xiàn)行教科書中，都是先講指數(shù)再講對(duì)數(shù)，并采用歐拉的對(duì)數(shù)定義形式：“設(shè)a>0,a≠0.如果a的b次冪等于N，即ab=N，那么數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN.”