■河南科技大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 曲少寧

雙曲線是圓錐曲線的重要內(nèi)容之一,也是高考必考內(nèi)容。從近幾年高考情況來看,雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)一直是高考的熱點(diǎn),但由于學(xué)生對(duì)概念或公式理解模糊,以及一些細(xì)節(jié)把握不準(zhǔn)確,從而導(dǎo)致出現(xiàn)不同類型的錯(cuò)誤。所以同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí),要密切注意一些易錯(cuò)點(diǎn),下面就同學(xué)們解題中易錯(cuò)的類型進(jìn)行簡要總結(jié)分析。

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)定義理解不透徹,忽視雙曲線定義中的限制條件

例1已知兩圓C1：(x+5)2+y2=9,C2：(x-5)2+y2=9,動(dòng)圓C與圓C1外切,且與圓C2內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程。

錯(cuò)解：設(shè)圓C的半徑為r,則由題意知|CC1|=r+3,|CC2|=r-3,|CC1|-|CC2|=6,故圓心C的軌跡是以C1,C2為左右焦點(diǎn)的雙曲線。

2a=6,a=3,c=5,b2=c2-a2=16,所以圓心C的軌跡方程是

錯(cuò)解分析：忽視雙曲線定義中是差的絕對(duì)值,誤以為所求的軌跡是整個(gè)雙曲線。

正解：設(shè)圓C的半徑為r,則由題意知|CC1|=r+3,|CC2|=r-3,|CC1|-|CC2|=6,故圓心C的軌跡是以C1,C2為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支。 2a=6,a=3,c=5,b2=c2-a2=16,所以圓心C的軌跡方程是=1(x≥3)。

變式已知A(-3,0),B(3,0)。

(1)若|PA|-|PB|=6,則P點(diǎn)的軌跡_____；

(2)若|PA|-|PB|=8,則P點(diǎn)的軌跡_____；

(3)若|PA|-|PB|=4,則P點(diǎn)的軌跡____。

解析：(1)|PA|-|PB|=|AB|,由平面幾何知識(shí)可知,P點(diǎn)的軌跡是以B為端點(diǎn)的一條射線,點(diǎn)P的軌跡方程為y=0(x≥3)。

(2)|PA|-|PB|＞|AB|,與三角形兩邊之差小于第三邊相矛盾,故軌跡不存在。

(3)因?yàn)閨PA|-|PB|＜|AB|,所以P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支,其中A、B為左、右焦點(diǎn), 2a=4,a=2,c=3,故P點(diǎn)軌跡方程為=1(x≥2)。

例2已知P是雙曲線=1 上一點(diǎn),F1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且|PF1|=17,求|PF2|的值。

錯(cuò)解：由雙曲線的定義可知,||PF1|-|PF2||=2a=16。因?yàn)閨PF1|=17,所以|PF2|=1或|PF2|=33。

錯(cuò)解分析：忽視了雙曲線上點(diǎn)的隱含條件。由|PF1|=17,可以確定點(diǎn)P在左支上,解得|PF2|=33。

正解：由雙曲線的定義可知, 若P在右支上,則|PF1|≥a+c=18。而已知|PF1|=17,故P在左支上。則|PF2|-|PF1|=2a=16,|PF2|=33。

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視焦點(diǎn)的位置

例3求與雙曲線有公共漸近線,且過點(diǎn)M(2,-2)的雙曲線方程。

錯(cuò)解：雙曲線的漸近線方程為y=,故所求雙曲線的漸近線方程也為y=。設(shè)所求雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0),又,且M(2,-2)在雙曲線上,則=1,b2=-2,故不存在這樣的雙曲線。

錯(cuò)解分析：雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定,焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上。

正解：(解法一)雙曲線的漸近線方程為,故所求雙曲線的漸近線方程也為。若所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸,設(shè)所求雙曲線方程為1(a＞0,b＞0),又,且M(2,-2)在雙曲線上,則=1,b2=-2,焦點(diǎn)在x軸上不成立。若所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)方程為=1(a＞0,b＞0),則。且過M(2,-2),解得a2=2,b2=4。所求雙曲線方程為

小結(jié)：與有公共漸近線的雙曲線系可以設(shè)為。

例4若方程表示雙曲線,求m的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)?1表示雙曲線,所以3+2m＞0且2+2m＞0,解得m＞-1。

錯(cuò)解分析：焦點(diǎn)位置需討論。

正解：(解法一)若方程=1,若表示焦點(diǎn)在x軸的雙曲線,則3+2m＞0且2+2m＞0,解得m＞-1；若表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線,則3+2m＜0且2+2m＜0得

所以m＞-1或

易錯(cuò)點(diǎn)三：在直線與雙曲線位置關(guān)系中,忽視了判別式這一前提條件

例5已知雙曲線,問過點(diǎn)P(1,1)能否作直線l,使l與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),且P為線段MN的中點(diǎn)。若存在,求出l的方程；若不存在,說明理由。

錯(cuò)解：(解法一)設(shè)存在這樣的直線l,直線的斜率k存在,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),雙曲線方程可化為2x2-y2=2,則= 2。兩個(gè)式子相減得2(x1-x2)·(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0。P為線段MN的中點(diǎn),則x1+x2=2,y1+y2=2,4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,得k=2。所求直線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0。

(解法二)假設(shè)存在這樣的直線,顯然直線的斜率存在,假設(shè)直線的方程為y-1=k(x-1),即y=kx+1-k。代入雙曲線方程2x2-y2=2,化簡整理得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0。設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則2-k2≠0且x1+x2=2。又x1+x2=,解得k=2。

所求直線方程為2x-y-1=0。

錯(cuò)解分析：解法一,解法二都沒有驗(yàn)證直線是否與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),而把所求直線與雙曲線聯(lián)立時(shí)發(fā)現(xiàn)得到的一元二次方程的判別式小于零,答案錯(cuò)誤。

正解：(解法一)過程同錯(cuò)解,得到2x-y-1=0,將y=2x-1 代 入2x2-y2=2 中,得到2x2-4x+3=0,Δ=b2-4ac=-8＜0,所以不存在這樣的直線。

(解法二)過程同錯(cuò)解,化簡整理得,

(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0。

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),因l與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),且P為線段MN的中點(diǎn),故2-k2≠0,Δ＞0,x1+x2=2。經(jīng)計(jì)算k無解,故不存在這樣的直線。

小結(jié)：解決直線與雙曲線位置關(guān)系問題時(shí),必須判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),一種方案是將計(jì)算結(jié)果代入,驗(yàn)證判別式是否大于零,另外一種方案是聯(lián)立后先解Δ＞0,從而找到限制條件。

易錯(cuò)點(diǎn)四：焦點(diǎn)弦的弦長問題

例6過雙曲線x2-y2=1 的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于M,N兩點(diǎn)。

(1)若|MN|=2,則這樣的直線可作____條。

(2)若|MN|=3,則這樣的直線可作_____條。

錯(cuò)解：(1)因?yàn)橹本€過右焦點(diǎn),而通徑=2=|MN|,所以只有一條滿足題意。

錯(cuò)解分析：在雙曲線中過焦點(diǎn)的所有弦中,誤以為通徑最短。實(shí)際上,過焦點(diǎn)且交于同一支的所有弦中通徑最短,而過焦點(diǎn)且交于兩支所有弦中最短的弦為實(shí)軸。

正解：(1)若直線與右支有兩個(gè)交點(diǎn),由題意知通徑=2=|MN|,此時(shí)只有一條直線滿足條件；若直線與左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn),|MN|=2=2a,而2a為兩頂點(diǎn)間距離,故此時(shí)只有一條直線滿足條件。

所以當(dāng)|MN|=2時(shí),這樣的直線共有兩條。

所以當(dāng)|MN|=3時(shí),這樣的直線共有四條。

易錯(cuò)點(diǎn)五：忽視二次項(xiàng)系數(shù)

例7直線l：y=k(x-1),雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍：

(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)解：y=k(x-1)代入x2-y2=4得：

(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0。

(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),則：

(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則Δ=0,解得

錯(cuò)解分析：聯(lián)立后的(1-k2)x2+2k2xk2-4=0式子中,二次項(xiàng)系數(shù)為1-k2可能為正,可能為負(fù),也可能為零。

正解：y=k(x-1)代入x2-y2=4得：

(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0。

(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),則：

1-k2≠0,且Δ＞0。

(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則①1-k2=0；②1-k2≠0且Δ=0。

解得k=±1或k=

易錯(cuò)點(diǎn)六：忽視直線斜率不存在

例8已知雙曲線方程=1(a＞0,b＞0)的兩條漸近線方程分別為l1：y=2x,l2：y=-2x。

(1)求雙曲線方程E的離心率。

(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交l1,l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、四象限),△ABO的面積恒為8,試探究是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E。若存在,求出雙曲線方程E的方程；若不存在,說明理由。

解析：(1)兩條漸近線方程分別為l1：y=2x,l2：y=-2x,所以。

設(shè)直線l方程為y=kx+m,依題意得k＜-2或k＞2。

聯(lián)立y=kx+m與y=2x,得y1=

由S=|OC|·|y1-y2|得=8,整理得m2=4|4-k2|=4(k2-4)。①

將y=kx+m代入=1中,得：

(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0。

因雙曲線E與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且4-k2＜0,故Δ=0。

(-2km)2-4(4-k2)(-m2-4a2)=0。

展開合并化簡得m2+4a2-a2k2=0。將①代入得,4k2-16+4a2-a2k2=0。

整理得(4-k2)(a2-4)=0,所以a2=4。

錯(cuò)解分析：直線的斜率不一定存在,所以不能直接設(shè)直線方程y=kx+m,應(yīng)該分為斜率存在與不存在這兩種情況討論。

正解：由(1)知雙曲線的方程為=1,設(shè)直線l與x軸交于C點(diǎn)。

當(dāng)l⊥x軸,雙曲線E與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn),直線l過雙曲線的右頂點(diǎn),此時(shí)l的方程為x=a, 則|OC|=a,|AB|=4a。因△ABO的面積恒為8,所以|OC|·|AB|=8,解得a=2。

當(dāng)l不與x垂直,同錯(cuò)解部分。

綜上所述,總存在與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E,且雙曲線E方程為=1。

練習(xí)題：

1.在△ABC中已知|AB|=4,2sinA-2sinB=sinC,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程。

解析：以AB所在直線為x軸,AB中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系。因?yàn)閨CB|-|CA|=,所以點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支。則A(-2,0),B(2,0),設(shè)C(x,y)(x＞1)。

由2sinA-2sinB=sinC得,|CB|-|CA|=,所以C的軌跡方程為x2-=1(x＞1)。

2.已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-3y=0,且焦距為,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：一條漸近線方程為y=,若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)所求雙曲線方程為1,且。又c= 13,解得=1。若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)所求雙曲線方程為=1,且。又c= 13,解得=1。

解析：若表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,則a2=m2+n,b2=3m2-n。又c=2,a2+b2=c2,解得m2=1。又由m2+n＞0且3m2-n＞0,可得-1＜n＜3。

若表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則= 1,化為=1。則a2=n-3m2,b2=-m2-n。又由c=2,a2+b2=c2,解得m2=-1(舍去)。

故選A。