張 陽

（太原科技大學機械工程學院，山西太原 030024）

0 引言

磨粉機的工作穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的動力學特性，其中磨輥輥軸沿軸線方向的彎曲變形運動特性直接影響磨粉機的性能和生產(chǎn)質(zhì)量[1]。輥軸在工作過程中發(fā)生彎曲變形運動的同時，也會受到輥間壓力的影響。因此，綜合考慮輥軸橫向彎曲變形運動、剛性振動與輥間壓力之間的耦合效應(yīng)，是進行輥軸彎曲變形振動特性研究的基礎(chǔ)，為建立輥軸彎曲動力學模型、預(yù)測磨輥運動規(guī)律、提高磨粉機生產(chǎn)質(zhì)量提供了理論依據(jù)。

Kane T R等人[2]通過對作高速旋轉(zhuǎn)運動的彈性梁進行動力學分析，發(fā)現(xiàn)彈性梁彎曲變形運動的動態(tài)響應(yīng)隨著轉(zhuǎn)速的提高無限增大，首次提出“動力剛化”的概念；Boutagou Z E等人[3]從有限元的角度對彈性梁的動力學性質(zhì)進行了研究；Banerjee A K等人[4]認為動力剛化現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于剛性運動產(chǎn)生的慣性力作用在彈性體上而引起的；而Ider S K等人[5]認為動力剛化現(xiàn)象是由彈性體彎曲變形產(chǎn)生的應(yīng)變量與剛性位移之間的非線性幾何關(guān)系引起的。

以上研究表明彈性體的剛性振動與其自身的彎曲變形之間存在耦合關(guān)系。試驗在上述研究基礎(chǔ)上，將磨輥輥軸視為連續(xù)彈性體，對輥軸彎曲變形與剛性運動之間的耦合機理進行研究。通過運動學分析，建立磨輥輥軸彎曲變形動力學模型。

1 磨輥輥軸彎曲變形動力學模型

為了研究輥間壓力對磨輥彎曲變形運動的影響，需要準確描述輥軸空間運動特征。

輥軸空間運動的等效分解見圖1。

定義e0為慣性坐標系，在輥軸未變形時固結(jié)在中線的非慣性系定義為浮動坐標系e1?？紤]輥軸兩側(cè)運動狀態(tài)的不同，分別引入繞X軸、Z軸的轉(zhuǎn)動角速度ω1、ω3，將輥軸空間運動等效為輥軸的平面運動與輥軸繞X軸和Z軸轉(zhuǎn)動的疊加。同時考慮輥軸的轉(zhuǎn)動，引入繞Y軸的轉(zhuǎn)動角速度ω2。故可定義ω為系統(tǒng)的角速度列陣，且有

以半輥身長度的輥軸為研究對象，取輥軸軸身上的任意一點P進行研究。

輥軸運動學描述見圖2。

圖1 輥軸空間運動的等效分解

圖2 輥軸運動學描述

將P點對應(yīng)的位移矢量記為u；輥軸發(fā)生彎曲變形前后，點P和P'在相對坐標系中的矢徑分別為ρ0，ρ；點P在絕對坐標系中的矢徑為r。則由平面運動的合成原理，矢徑r可以表示為

由公式（2） 可得點P的加速度表達式

由公式（3） 可知，u可用來表征輥軸上任意一點的彈性變形運動，且有

由歐拉-伯努利梁模型可知，輥軸的應(yīng)變能可表示為

由圖2可知，公式（9）中σy、εy分別為輥軸沿Y方向的正應(yīng)力、正應(yīng)變，考慮應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并將公式（7）代入公式（9）得

式中：δW——輥間壓力增量Δf所作的虛功。

將公式（8）、公式（10）代入公式（11）中，則磨輥輥軸剛?cè)狁詈线\動微分方程可表示為

其中，r01、r02、r03分別為輥軸剛性振動位移r0沿X、Y、Z軸的位移分量?？紤]磨輥輥軸的受力狀態(tài)，利用公式（12）來分析輥軸變形運動的動特性。基于彈性基礎(chǔ)梁模型，磨輥間增量Δf應(yīng)與輥軸彈性變形量w成正比，即

式中：K——輥間彈性系數(shù)。

將公式（13） 帶入式（12），為了研究方便，模型忽略輥軸的剛性振動位移，且考慮輥軸繞Y軸的轉(zhuǎn)動，則可得到磨輥輥軸的變形運動微分方程

2 輥軸彎曲變形運動求解

為了求解輥軸的模態(tài)函數(shù)，需對式(14)進行求解?？紤]半輥身長度為懸臂梁的情形，則輥軸兩端的邊界條件可寫為

令：

其中，w(y)為輥軸彎曲變形振動的模態(tài)函數(shù)，將公式（16） 帶入公式（15） 中，分離變量可得

求解式(17)，設(shè)方程的四個線性無關(guān)解為

將公式（18）代入公式（17），可得ark的遞推表達式為

注意到，當k

則公式（17） 通解可設(shè)為

將邊界條件（15）代入式（24），可得輥軸橫向彎曲變形振動模態(tài)振型的解析解

將式（16）、（25）代入式（14）中，可得輥軸彎曲變形動力學方程

試驗以某廠發(fā)生振動的磨粉機為研究對象，進行仿真分析。

計算參數(shù)見表1。輥軸一階彎曲變形振動動特性曲線見圖3，輥軸二階彎曲變形振動動特性曲線見圖4。

表1 計算參數(shù)

圖3 輥軸一階彎曲變形振動動特性曲線

圖4 輥軸二階彎曲變形振動動特性曲線

3 結(jié)論

研究考慮了磨粉機工作過程中磨輥輥間壓力對輥軸彎曲變形動力學特性的影響，通過運動學分析，實現(xiàn)柔性多體機械系統(tǒng)中可變形體的位移場描述，基于彈性梁變形理論和Hamilton變分原理，建立了磨輥輥軸彎曲變形動力學模型。模型的建立為準確預(yù)測磨輥彎曲動特性、提高磨粉機生產(chǎn)質(zhì)量奠定了理論基礎(chǔ)。