丁漢芹，張軍

(1.新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046；2.新疆大學(xué)理論物理中心，新疆 烏魯木齊 830046；)

0 引言

凝聚態(tài)物理中的一維關(guān)聯(lián)電子體系是個非常重要的研究課題.一方面，在理論上一維問題比相應(yīng)的高維情況容易分析，有些情況下甚至有精確解.從一維問題中獲得的結(jié)果為理解高維問題提供重要的數(shù)據(jù)，如二維銅氧化物的超導(dǎo)機(jī)制[1]，而且一維模型能描述很多實(shí)際存在的準(zhǔn)一維材料的性質(zhì)，如有機(jī)導(dǎo)體[2].另一方面，一維體系在實(shí)驗中也可以制備出來，如碳納米管[3]，量子線[4].尤其當(dāng)前光晶格中超冷原子費(fèi)米氣的實(shí)現(xiàn)，這使得人們通過可控的方式研究多體相互作用[5,6]，極大提高了人們對一維相互作用電子體系的研究興趣.但是一維體系中的電子因其相空間極度受制而表現(xiàn)為高度關(guān)聯(lián)的，Hubbard模型和其相應(yīng)的擴(kuò)展模型成為描述電子關(guān)聯(lián)的重要理論手段[7].因其在低維體系方面可能的應(yīng)用和豐富的基態(tài)結(jié)構(gòu)，廣泛研究的是包含在位電子和最近鄰電子庫侖作用的擴(kuò)展Hubbard模型，即通常所說的t-U-V模型.長期以來，很多研究致力于對其基態(tài)特性的理解.即便如此，t-U-V模型的相圖仍然存在著爭議，分歧集中在鍵序電荷密度波(BOW)的存在問題.在該模型的早期工作中，BOW相并沒有出現(xiàn)，直到Nakamuru第一次報道：從弱耦合到中間耦合排斥區(qū)域，這個相存在U ?2V 位置附近，夾在自旋密度波(SDW)相和電荷密度波(CDW)相[8]之間.隨后一系列研究證實(shí)了這個二聚化相的存在[9?16].但對此也存在著不同的觀點(diǎn)，Jeckemann等人認(rèn)為BOW相只是存在CDW-SDW邊界上一段短的碎片上[17]，Zhang[18]和Deng[19]等人的研究宣稱BOW相是不存在的.盡管如此，大多數(shù)研究還是贊成BOW相的存在，但其中很少研究解釋BOW相存在的原因，而且給出的解釋也不一樣.由此可見，進(jìn)一步研究一維擴(kuò)展Hubbard模型的基態(tài)還是很有必要的.

另一方面，傳統(tǒng)的t-U-V模型僅僅描述了各向同性的電子，即SU(2)自旋交換型的，庫侖作用V假定與內(nèi)稟自旋無關(guān).因此，得到的SDW 實(shí)際上是自旋三分量簡并的臨界態(tài).在這種情況下，一個有趣的問題出現(xiàn)了：如果涉及的電子是自旋各向異性的，模型的基態(tài)相圖會是怎么樣的？如果情況果真如此，那么相互作用V將會與自旋有關(guān).從物理上來說，這樣的各向異性可以來源于晶體的各向異性結(jié)構(gòu)、自旋-軌道耦合等因素.同時，在t-U-V模型中人們并沒有考慮最近鄰電子間自旋交換作用(J).實(shí)際上，一維t-U-J模型也是廣泛的研究著一種理論模型，如一維鐵磁交換中的三相超導(dǎo)[20]，一維反鐵磁性交換中的有能隙的自旋液體[21]、銅氧化物中電荷轉(zhuǎn)移[22].從相互作用角度來講，近鄰格點(diǎn)上電子的電荷庫侖作用和自旋交換作用是可以同時存在的，并與V產(chǎn)生競爭作用.尤其對磁性關(guān)聯(lián)電子體系來說，t-U-V-J模型更是個合適的候選者.在這篇文章中，我們考慮U(1)各向異性的相互作用，相應(yīng)的哈密頓量定義為

哈密頓量(1)描述著豐富的一維多體物理，在極限情況下能簡化為特定的已知模型.沒有最近鄰作用的情況對應(yīng)著名的Hubbard模型，半滿填充和在位庫侖排斥作用下，它的基態(tài)是臨界自旋密度波的絕緣體.沒有最近鄰庫侖作用(V⊥=0)的情況描述著橫向自旋交換的擴(kuò)展Hubbard模型，展現(xiàn)出豐富的基態(tài)相圖[23].當(dāng)不存在自旋交換作用時(J⊥=0)，模型描述著自旋相反電子庫侖作用的電子體系[24].在這篇文章中，我們考慮庫侖作用和自旋作用競爭下的各向異性一維擴(kuò)展Hubbard模型基態(tài)相圖.我們只考慮半滿情況，相關(guān)的倒逆過程可以存在.相互作用在弱耦合區(qū)域，以保證玻色化方法和重整化群分析能夠有效運(yùn)用.同時，相互作用屬于物理上存在的情況，即電荷庫侖作用是排斥的，自旋作用可以排斥(反鐵磁)、也可以吸引(鐵磁)，而不考慮唯像情形(U,V⊥<0).研究結(jié)果表明，基態(tài)相圖由四個不同的絕緣相組成：無自旋激發(fā)能隙的Mott絕緣體(MI)和Haldane絕緣體(HI)、有自旋激發(fā)能隙的自旋密度波(SDW)和鍵序自旋密度波(BSDW).

1 低能場理論分析

一維相互作用電子體系的場理論分析依賴于弱耦合方法，即模型參數(shù)滿足|U|,|J⊥|,|V⊥|?t.低能物理主要由費(fèi)米點(diǎn)(±kF)附近的態(tài)描述，在半滿下，kF=π/2a(a是晶格常數(shù)).相互作用的低能激發(fā)是費(fèi)米點(diǎn)附近的粒子-空穴對激發(fā)，我們只需保留費(fèi)米波矢kF的電子算符的傅里葉模式.這樣我們可以將譜的色散關(guān)系進(jìn)行線性變換，獲得二支費(fèi)米子，即左費(fèi)米子ψLσ和右費(fèi)米子ψRσ.同時利用連續(xù)極限，x=ja且a→0.在坐標(biāo)表象下，這等價于變換這樣的變換導(dǎo)致下列連續(xù)模型的哈密頓量

其中vF=2ta是費(fèi)米速度.gi(i=1,2,3,4)是電子-電子耦合常數(shù)，在動量空間中它們分別描述后向散射(g1)、前向散射(g2,g4)和倒逆散射(g3)過程，它們對相同自旋和相反自旋(gi⊥)的電子散射可以有不同的振幅.G是倒格矢，由于準(zhǔn)動量守恒的要求，只有滿足G=4kF時，才會有這說明耦合相反自旋電子(泡利不相容原理的限制)的倒逆散射只能發(fā)生在電子半滿填充下.原則上應(yīng)該還有自旋平行的倒逆散射它是一個自旋-電荷耦合算符，但是在弱耦合區(qū)域和重整化下它具有較高的標(biāo)度維數(shù)(d?4)，僅是一個強(qiáng)無關(guān)算符，因此可以像其他研究一樣忽略其作用[20,25?29].

在一維電子體系中，由于自旋-電荷分離，低能激發(fā)有著獨(dú)立的自旋模式和電荷模式.在這種情況下，分析(2)式描述的基態(tài)相圖的一種有效工具是玻色化方法[30?32].利用這種技巧，費(fèi)米場的手征分量能夠通過電荷場和自旋場的互相對偶的玻色算符φν和θν(ν=c,s)頂角算符表示，

下指標(biāo)r=L,R分別表示費(fèi)米場的左、右支，分別對應(yīng)指數(shù)中的r=?,+.同樣，下指標(biāo)σ=↑,↓也分別對應(yīng)σ=?,+.場算符φc,θc和φs,θs分別描述集體電荷激發(fā)和集體自旋激發(fā)，并有對易關(guān)系

厄米算符克萊因子滿足代數(shù)

以保證不同費(fèi)米子算符的反對易關(guān)系.

這樣，一維電子體系(1)的低能物理就由電荷場和自旋場的sine-Gordon理論描述，即哈密頓量可以重新寫作H=Hc+Hs，其中，

L是體系的長度，電荷、自旋元激發(fā)速度vν和高斯耦合常數(shù)Gν(ν=c,s)定義為

有效哈密頓量(6)和(7)包含二個非Tomonaga-Luttinger液體過程：倒逆散射(g3⊥)和后向散射(g1⊥).在電荷-自旋分離假設(shè)下，它們的相關(guān)性可以由重整化群分析來判定.在標(biāo)度變換下：a →edla，l=lnL是標(biāo)度長度，無量綱的跑動耦合常數(shù)的一環(huán)重整化群方程表示為[8]

以上標(biāo)度方程中，yν0(0)=2(Λν?1),ycλ(0)=g3⊥/πvc,ysλ(0)=g1⊥/πvs.這對方程描述著電荷渠道和自旋渠道的K-T相變[33]，重整化流向圖如圖1所示.從中看出，在yν0(0)≥|yνλ(0)|區(qū)域，yνλ(l →∞)→0，低能激發(fā)是無能隙的，?ν=0，相場φν是個漲落場，不斷振蕩.這對應(yīng)弱耦合區(qū)域(WC)，倒逆散射和后向散射是無關(guān)過程，體系的基態(tài)屬性完全由拉亭格液體理論描述.在相反的參數(shù)區(qū)域yν0(0)<|yνλ(0)|，yνλ(l →∞)→±∞，低能激發(fā)有能隙的，?ν>0.隨著增加的長度標(biāo)度，重整化流標(biāo)向強(qiáng)耦合區(qū)域(SC)，倒逆散射和后向散射是相關(guān)過程.根據(jù)裸耦合g3⊥(g1⊥)是正還是負(fù)，相場釘扎在真空期望值

圖1 重整化群流向圖，箭頭表示流向.WC和SC分別表示弱耦合和強(qiáng)耦合區(qū)域.?ν =0表示電荷（自旋）激發(fā)無能隙，?ν>0表示電荷（自旋）激發(fā)有能隙Fig 1 The renormalization-group flow diagram.The arrows represent the direction of flows with increasing length scale.WC and SC denote weak- and strong-coupling regimes,respectively.?ν=0 indicates gapless excitations in the charge or spin channel,while ?ν>0 gapped excitations

根據(jù)以上重整化群理論，我們可以分析量子相變.在低能電荷激發(fā)部分，由方程(9)和(10)可知，如果V⊥>0，總有g(shù)c0)，即不存在電荷-能隙相變.但是g3⊥可正可負(fù)，這表明高斯相變是可以發(fā)生的，對應(yīng)相變線

在U+J⊥?2V⊥>0 的區(qū)域，真空期望值在相反區(qū)域

對低能自旋激發(fā)而言，情況有所不同.由于gs和g1⊥的大小關(guān)系是任意的，所以存在自旋-激發(fā)能隙相變，對應(yīng)相變線

在2V⊥+J⊥>0的區(qū)域，自旋激發(fā)沒有能隙(?s=0)；在2V⊥+J⊥<0的區(qū)域，自旋激發(fā)有能隙(?s>0)，且有

2 弱耦合基態(tài)相圖

表1 不同類型的相、序參量、相場的期望值和相應(yīng)的玻色化形式Tab 1 Different type of dominant phase,order parameter,the average value of phase field and the corresponding bosonized version

我們通過計算序參量和關(guān)聯(lián)函數(shù)來確定基態(tài)相圖.由于電荷激發(fā)總是有能隙，我們只需引入描述絕緣相的密度波序.同時考慮到自旋U(1)對稱性，序參量包含相關(guān)內(nèi)容總結(jié)在表一中.對應(yīng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為[34]

其中i = CDW,SDWα,BOW,BSDWα，α = z,±.兩支相變線(15)和(16)把基態(tài)相圖分為不同的四個區(qū)域，如圖2所示.

區(qū)域A: V⊥0,?s>0)，基態(tài)中無自旋能隙的Mott絕緣相(MI)和Haldane 絕緣相(HI)不會產(chǎn)生.在電荷部分，不動點(diǎn)在自旋部分，不動點(diǎn)自旋場由表1計算可知，序參量OCDW= OBOW=OBSDW=0，只有序參量OSDWz取非零值.因此，相圖中的這個區(qū)域?qū)?yīng)絕緣的自旋密度波相態(tài)(SDW).

區(qū)域B: ?J⊥/20,?s=0).在電荷部分，不動點(diǎn)電荷場在自旋部分，不動點(diǎn)自旋場φs振蕩，是漲落場.由表1計算可知，序參量OCDW=OBSDW=0，序參量OSDWz，OBOW和OSDW±可以同時取非零值.為了進(jìn)一步確定基態(tài)相，我們比較三者的關(guān)聯(lián)函數(shù)(不計對數(shù)修正)，

區(qū)域C: (J⊥+U)/20,?s>0)，無自旋能隙的Mott絕緣相(MI)和Haldane絕緣相(HI)不會出現(xiàn).在電荷部分，不動點(diǎn)同樣地，在自旋部分，不動點(diǎn)自旋場由表1計算可知，序參量OCDW=OBOW=OSDWz=0，只有序參量OBSDWz取非零值.因此，相圖中的這個區(qū)域?qū)?yīng)絕緣的鍵序自旋密度波相態(tài)(BSDW).

區(qū)域D: V⊥>max{(J⊥+U)/2;?J⊥/2}，電荷激發(fā)有能隙，但自旋激發(fā)無能隙(?c>0,?s=0).在電荷部分，不動點(diǎn)電荷場在自旋部分，不動點(diǎn)自旋場φs振蕩，是漲落場.通過表1計算可知，序參量OSDWz=OSDW±=OBOW=0，序參量OCDW，OBSDWz和OBSDW±可以同時取非零值.為了確定最終的基態(tài)相，我們比較相應(yīng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)(不計對數(shù)修正)，

圖2 半滿下一維t-U-V⊥-J⊥模型的弱耦合基態(tài)相圖.高斯相變線V⊥+J⊥/2=0 和自旋-能隙相變線V⊥?J⊥/2=U/2把相平面分為四個不同的相區(qū)Fig 2 The weak-coupling phase diagram of the 1D t-U-V⊥-J⊥model at half filling.The Gaussian transition V⊥+J⊥/2=0 and the spin-gap transition V⊥?J⊥/2=U/2 divide the plane into four phases.

3 結(jié)論

通過低能場理論方法我們研究了一維各向異性的擴(kuò)展Hubbard模型，其中最近鄰電荷庫侖作用和自旋交換作用都與電子自旋有關(guān)，且是U(1)對稱性的.在弱耦合區(qū)域，我們利用玻色化技術(shù)把費(fèi)米體系轉(zhuǎn)化為玻色場算符來表示.在自旋-電荷分離假設(shè)下，我們運(yùn)用重整化群方法獨(dú)立分析體系的低能電荷激發(fā)和自旋激發(fā).在半滿下，倒逆過程總是相關(guān)的，基態(tài)是絕緣體.在反鐵磁交換區(qū)域，后向散射過程是無關(guān)的，低能自旋激發(fā)總是無能隙的，自旋-能隙相變發(fā)生在鐵磁區(qū)域.高斯相變線2V⊥?J⊥=2U和自旋-能隙相變線2V⊥+J⊥=0把相圖分為四個不同的相區(qū).通過序參量和關(guān)聯(lián)函數(shù)計算，我們得到了模型的基態(tài)相圖，由SDW，BSDW，MI和HI組成.我們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)V⊥排斥作用不存在時，在鐵磁交換J⊥≤?U的區(qū)域，電荷激發(fā)能隙消失，BSDW相受到抑制，HLE金屬相形成.同時，在基態(tài)中二個準(zhǔn)長程序的絕緣相CDW和BOW 并沒出現(xiàn).研究結(jié)果揭示了各向異性的擴(kuò)展Hubbard模型與各向同性的模型是不同的，各向異性的相互作用對體系的基態(tài)相圖有著重要的影響.