用特征值和特征向量對(duì)一般線性遞推關(guān)系的討論

【摘要】本文推導(dǎo)出一種方法，通過(guò)此方法可以利用特征值與特征向量求線性遞推關(guān)系中的通項(xiàng)公式。

【關(guān)鍵詞】遞推關(guān)系 特征值 特征向量。

正文：? ?用特征值和特征向量對(duì)一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論。

設(shè)k階線性循環(huán)數(shù)列{xn}滿足遞推關(guān)系：

[xn=a1xn-1+a2xn-2+…+akxn-k，n=k+1，k+2，…]

其中[ai（i=1，2，…k）]是常數(shù)，且[ak]≠0。

方程組

可表示為矩陣形式：

則（1）可寫(xiě)成：

由（2）式遞推得[an-k+1=A2an-k-1=…=An-ka1]

其中[a1=[xk，xk-1，…x2，x1]T]

于是求通項(xiàng)xn就歸結(jié)為求xn-k+1，也就是求[An-k]。

如果A可對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則An-k=PBn-kP-1，由于

從第一列開(kāi)始每一列乘以λ加到后一列上，可得到：

若λ是A的一重特征值，顯然有R（λE-A）=k-1，則線性齊次方程（λE-A）X=0的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量。因此當(dāng)A有k個(gè)特征值時(shí)λ1，λ2，…，λk這k個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別是p1，p2，…pk，以這k個(gè)特征向量為列構(gòu)成的方陣記為P，則P是可逆的，并且P-1AP=B。

例1? 設(shè)數(shù)列{xn}滿足遞推關(guān)系：

求通項(xiàng)xn。

解? {xn}是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組

用矩陣表示為：

并有上式遞推得

其中x1=1，x2=x3=5

由[λE-A]=0，即

得A的特征值為：[λ1=1，λ2=-2，λ3=2]

再有特征方程（[λiE-A）X=0（i=1，2，3）]解得對(duì)應(yīng)于A的特征[λ1，][λ2]，[λ3]值的特征向量分別為：

令

即

代入（3）式得? 。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹錫皞等編《高等代數(shù)》北京師范大學(xué)出版社.

[2]奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關(guān)系上的應(yīng)用.棗莊師專(zhuān)學(xué)報(bào).

作者簡(jiǎn)介：林冬梅，女， ，畢業(yè)于山東師范大學(xué)，數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè).淄博職業(yè)學(xué)院，副教授，從事數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)教學(xué)工作。