【摘 要】 問題引領(lǐng)教學(xué)，是當(dāng)今課堂的基本組織形式. 問題追問，是在原問題問答境域中的“再對話”，是對當(dāng)前學(xué)生理解的再深入，是對問題本質(zhì)的再接近，是對知識意蘊的再挖掘. 教師問題下的追問能有效引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 問題追問;深度學(xué)習(xí);案例

問題引領(lǐng)師生交流對話是教學(xué)中最常見的組織形式，而問題追問是發(fā)生在師生問答境域中的“再對話”，是問題引領(lǐng)課堂的深度表現(xiàn)，具有預(yù)設(shè)性與生成性、深刻性與動態(tài)性、主體二元性等特征，有促進(jìn)解決問題、建構(gòu)知識、形成策略、發(fā)展思維等價值. “深度學(xué)習(xí)是在特定的社會文化情境中，學(xué)習(xí)者在與他人互動以及環(huán)境互動中，關(guān)注知識之間的有機(jī)聯(lián)系，最終能夠遷移并能夠解決實際問題的意義生成的過程. ”[1]問題追問，是教師對學(xué)生當(dāng)前理解的再啟動，是對問題本質(zhì)的再接近，是對知識意蘊的再挖掘. 教師有效的問題追問是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效手段，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生長劑. 本文以“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”為例，展示情境問題導(dǎo)學(xué)過程的同時，突出對原問題的“追問”，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)和素養(yǎng)的生長.

1 追問使“抽象”更深刻

情境 如圖1，黑暗中，你是怎樣通過遠(yuǎn)處汽車自身的燈光判斷該車是上坡還是下坡的？

圖2問題1 這種生活現(xiàn)象反映出怎樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象？

引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界. 教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的理解常常是：道路可以想象成曲線，汽車燈光的指向想象成切線，這樣現(xiàn)實問題就可想象為曲線的切線斜率正負(fù)與曲線上升下降間存在著聯(lián)系. 但是光有這樣的想象還是不夠的， 教師繼續(xù)追問.

追問1 曲線、上升、斜率與數(shù)學(xué)中哪些量有關(guān)，你能建立起它們之間的聯(lián)系嗎？

意圖 引導(dǎo)學(xué)生在原有理解的基礎(chǔ)上，繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，具體過程總結(jié)如下：

山坡 燈光向上 → 上坡

↓↓↓

曲線切線斜率k>0→上升

↓↓↓

函數(shù)y=f（x） f′（x）>0f（x）遞增

（x∈I）通過學(xué)生對追問1的思考，實現(xiàn)二次抽象，觸及到具體的數(shù)學(xué)概念，并把抽象內(nèi)容比對出來，把抽象過程展示出來，讓學(xué)生進(jìn)一步理清具體與抽象的聯(lián)系，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的具體過程，引領(lǐng)學(xué)生體驗、感悟、反思，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維水平. 數(shù)學(xué)家弗萊登塔爾說過“與其說學(xué)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”，道出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì). 史寧中教授所說“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，其中的數(shù)學(xué)眼光就是抽象.

2 追問使“本質(zhì)”更突出

學(xué)生操作：畫出二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象，可把直尺當(dāng)成曲線的切線，移動直尺觀察函數(shù)導(dǎo)數(shù)值變化與函數(shù)單調(diào)性的變化關(guān)系（如圖3）.

教師可利用幾何畫板動態(tài)演示函數(shù)曲線上點運動時該點處切線斜率的變化.

問題2 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)值存在怎樣的關(guān)系？

學(xué)生通過實踐與觀察，直觀想象，不難得出結(jié)論：設(shè)函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）>0，那么f（x）為該區(qū)間上的增函數(shù);如果f′（x）

<0，那么f（x）為該區(qū)間上的減函數(shù). > ? ? 教學(xué)中，多數(shù)老師喜歡學(xué)生的回答符合自己的教學(xué)設(shè)計，從而使課堂教學(xué)順利進(jìn)行，不希望出現(xiàn)偏離教學(xué)設(shè)計的異議，即使聽到有這樣的“雜聲”，也會極力“避讓”. 這樣往往會掩蓋學(xué)生“火熱的思考”，抹殺學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)，很難激起學(xué)生的爭論與互學(xué)，使探究與合作成為虛設(shè).

追問2 學(xué)生們還有其它觀察結(jié)果嗎？

意圖：教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生觀察到斜率數(shù)值變化與曲線增減快慢存在聯(lián)系，如圖4所示：

當(dāng)切線斜率大于零時，斜率數(shù)值越大函數(shù)遞增的越快，但不改變單調(diào)遞增的本質(zhì)特征;同樣當(dāng)切線斜率小于零時也有相應(yīng)的結(jié)論. 此追問不僅讓學(xué)生看到可喜的結(jié)果，更看到變化過程的精彩，體會到只有量變積累到一定程度后才引起質(zhì)變！過程中讓學(xué)生去掉非本質(zhì)屬性，突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，對結(jié)論印象更深刻，同時還能激發(fā)學(xué)生更多的有價值的數(shù)學(xué)聯(lián)想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，學(xué)生的直觀想象能力也得到提升. 所以對數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解仍要遵循實踐—認(rèn)識—再實踐的反復(fù)過程，采取現(xiàn)象與本質(zhì)并重、過程與結(jié)果并重、形式與內(nèi)容并重，這對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義. 正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》所強(qiáng)調(diào)的那樣，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在學(xué)生與情境、問題的有效互動中得到提升的. ……在教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). ”

3 追問使“推理” 成自然

教學(xué)中不少教師通過以上的直觀感知就結(jié)束了對結(jié)論的理解，進(jìn)入應(yīng)用環(huán)節(jié). 事實上，作為函數(shù)變化率的導(dǎo)數(shù)刻畫了函數(shù)在每一點處的瞬時變化趨勢，函數(shù)的單調(diào)性刻畫了函數(shù)在區(qū)間上的變化趨勢，它們之間還是有一定區(qū)別的.

追問3 函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間存在著怎樣的內(nèi)部聯(lián)系呢？

意圖 回顧函數(shù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性概念，對比二者結(jié)構(gòu)的相同處與不同處，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，有效激發(fā)學(xué)生思考，追問并形成二者聯(lián)系. 體現(xiàn)微觀與宏觀、量變與質(zhì)變的哲學(xué)原理，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的智慧之美，過程如下：由f′（x0）>0，即f（x0+Δx）-f（x0）x0+Δx-x0>0，說明f（x）在x0的附近存在一個遞增的“小區(qū)間I0”;在區(qū)間I0內(nèi)靠近右端點處取點x1，又f′（x1）>0，同樣在x1的附近也存在一個遞增的“小區(qū)間I1”;再在區(qū)間I1內(nèi)靠近右端點處取點x2，f′（x2）>0，說明在x2的附近也存在一個遞增的“小區(qū)間I2”;…，通過這樣不停的“傳遞、疊加”，這些遞增的“小區(qū)間In”連成一片，形成一個遞增的大區(qū)間（a，b），從而滿足任意x1，x2∈（a，b），當(dāng)x1

“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”，其中數(shù)學(xué)的思維就是數(shù)學(xué)推理. 數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)、培養(yǎng)理性思維的一個主要途徑，人們依靠邏輯思維能力對感性材料進(jìn)行一系列抽象、概括、分析和綜合，形成概念、判斷或定理的推理與證明，過程中反映了尋找事物的本質(zhì)規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系的數(shù)學(xué)精神.

4 追問使“建模”更穩(wěn)固

問題3 （1）確定f（x）=x2-4x+3在哪個區(qū)間是增函數(shù)，哪個區(qū)間是減函數(shù)？

（2）如何確定函數(shù)f（x）=2x3-6x2+7在哪些區(qū)間是增函數(shù)？

（3）如何確定函數(shù)f（x）=x-lnx的單調(diào)增區(qū)間？

追問4你能否再確定函數(shù)f（x）=sinx-12x（x∈（0，2π））的單調(diào)減區(qū)間？你能掌握解決此類問題的一般方法嗎？

意圖 追問4讓學(xué)生體會在研究函數(shù)單調(diào)性方面導(dǎo)數(shù)是一種超越，是一種延伸，是一種思想方法，它來源于函數(shù)單調(diào)性定義，更高于單調(diào)性定義. 借助函數(shù)單調(diào)性定義的判斷只能局限部分函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)提供了一種“通法”，從而促使學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的判斷形成模式構(gòu)建. “會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”，其中數(shù)學(xué)的語言就是模型. 數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.

5 追問使“精準(zhǔn)”成可能

問題4 研究函數(shù)y=x3的單調(diào)性，你有何發(fā)現(xiàn)？

通過對具體函數(shù)的觀察研究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在某個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于零是該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件. 至此，大多數(shù)課堂學(xué)生的學(xué)習(xí)也就可以結(jié)束了，但也會導(dǎo)致學(xué)生在今后的應(yīng)用中出現(xiàn)混亂：函數(shù)在某個區(qū)間上遞增，到底是用f′（x）>0還是用f′（x）≥0？

追問5 若f′（x）≥0，能否得到函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增？如果函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上是否一定有f′（x）≥0？什么才是函數(shù)在某個區(qū)間單調(diào)遞增（減）的充要條件呢？

意圖 知識教學(xué)不是知識符號的平面表達(dá)，而是對知識內(nèi)在意義的揭示和表達(dá). 鑒于課堂時間的限制，啟發(fā)學(xué)生課后查閱資料進(jìn)行思考并小組討論形成結(jié)果，把課堂探究學(xué)習(xí)引向課外. 并使學(xué)生對本節(jié)課所獲得的結(jié)論有一個完整的科學(xué)認(rèn)識，體會數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性. 深度學(xué)習(xí)是一種整體的學(xué)習(xí)狀態(tài)，它既是一個信息加工過程，同時又是一個充滿著情感、意志、精神、興趣的過程;它不僅是一個個體學(xué)習(xí)過程，還是一個社會過程、文化過程.

可見，追問集中體現(xiàn)了教師的素養(yǎng)、教學(xué)機(jī)智、教學(xué)水平和能力，深刻體現(xiàn)學(xué)生在教師啟發(fā)下的“再創(chuàng)造”過程. 問題追問應(yīng)做到：（1）要有目的性，要有充分的課前預(yù)設(shè)，問題的引向要明確，要突出教學(xué)任務(wù)與目標(biāo)的達(dá)成;（2）要扎實推進(jìn)，要在原問題解決完成，學(xué)生扎實獲得相關(guān)知識、方法、經(jīng)驗積累后再實施追問，讓學(xué)生體會到知識的發(fā)生與發(fā)展;（3）要突出在原問題的關(guān)聯(lián)處實施追問，使問題得以延續(xù)，認(rèn)識得到深化，過程中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題;（4）要即時、智慧追問，問在學(xué)生“懈怠”處、“混沌”處、“憤悱”處、“瓶頸”處，讓教師的引導(dǎo)象“春風(fēng)送雨潤花開”;（5）要突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育，教學(xué)中提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng)是新時期對數(shù)學(xué)教育的總要求，教師要充分理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，思考相應(yīng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)在教學(xué)中的孕育點、生長點，通過問題及深層追問，把對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實到每一節(jié)課中，落實到每一個教學(xué)活動中.

參考文獻(xiàn)

[1] 吳永軍.關(guān)于深度學(xué)習(xí)的再認(rèn)識[J].課程·教材·教法，2019（2）.

作者簡介 徐進(jìn)勇（1970—），男，江蘇連云港人，正高級職稱，省高中數(shù)學(xué)特級教師，省優(yōu)秀教育工作者;研究方向：課堂教學(xué)研究;主要成績：市教學(xué)技能比賽一等獎，市名教師、優(yōu)秀教育園丁、學(xué)科帶頭人等. 發(fā)表論文30余篇，主持省、市規(guī)劃課題5項，獲省教學(xué)研究成果獎二等獎2項.