平實(shí)中見(jiàn)本質(zhì) 融合中顯精彩

【摘 要】 向量兼顯“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)與“形”的直觀，是溝通代數(shù)與幾何的重要工具.縱觀2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考中的向量試題，平實(shí)中彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，融合中呈現(xiàn)精彩方法.從考查的重點(diǎn)知識(shí)、解決的主要途徑、試題的總體分布以及與其它知識(shí)的交匯等方面對(duì)2019年高考向量問(wèn)題進(jìn)行評(píng)析，歸結(jié)出一些對(duì)高考向量復(fù)習(xí)的合理化建議.

【關(guān)鍵詞】 2019年高考;向量;試題;評(píng)析

1 高考對(duì)“向量”的考查要求

在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）中，對(duì)“向量”知識(shí)進(jìn)行了深度刻畫(huà)，其內(nèi)容包括：“掌握向量的線性運(yùn)算，了解向量的基本定理并掌握其坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算，能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力”＼[1＼].所以學(xué)生首先應(yīng)正確理解向量的概念和幾何意義，并能進(jìn)行向量的運(yùn)算操作;其次在形與數(shù)的轉(zhuǎn)化中靈活地解決問(wèn)題，體現(xiàn)向量解題的工具性作用.2019年全國(guó)高考向量試題遵循了“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重方法和素養(yǎng)考查”的原則.在知識(shí)層面，直接考查向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、垂直或平行、基底、?；驃A角等;在方法層面，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合、化歸、分類(lèi)討論等思想方法;在素養(yǎng)層面，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 2019年高考向量試題的總體分布和解決途徑

2019年全國(guó)及各省市高考試題（不包括解答題中立體幾何、三角函數(shù)、解析幾何涉及向量知識(shí)的題目）中，全國(guó)（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）文理卷、北京文理卷、天津文理卷、浙江卷、江蘇卷和上海卷都基本只有1個(gè)小題（選擇或填空），其中以考查向量的線性運(yùn)算、模、夾角、垂直與平行、基底、數(shù)量積這些知識(shí)的居多.全國(guó)（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）文理卷、北京文科卷和上海卷對(duì)向量?jī)?nèi)容的考查問(wèn)題處在試卷的低中檔位置上，北京理科卷、天津文理卷、浙江卷、江蘇卷對(duì)向量?jī)?nèi)容的考查問(wèn)題處在試卷的難題位置上，具體情況見(jiàn)表1.這些試題對(duì)考生的要求比較高，幾乎都是 “平樸中見(jiàn)精巧雅致，解法上顯多樣靈巧”，將向量“數(shù)與形”的雙重性表現(xiàn)地淋漓盡致＼[2＼].向量問(wèn)題雖然紛繁復(fù)雜，但是向量問(wèn)題的解決途徑一般有兩個(gè)：一是幾何法，通過(guò)向量的幾何意義，以及向量的基本運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何中的問(wèn)題，直接利用平面幾何中的相關(guān)知識(shí)就能得到解決;二是代數(shù)法，從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、基底分解及坐標(biāo)運(yùn)用等方面思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題來(lái)解決.

3 2019年高考向量試題的評(píng)析

向量在知識(shí)的呈現(xiàn)上，既具有加減、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算的代數(shù)形式，又兼?zhèn)浼訙p、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義，呈現(xiàn)形式的多樣性和解決方法的靈活性給高考提供了多渠道的命題視角.筆者以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)文理和各省市文理13份真題卷為例，擷取若干典型問(wèn)題進(jìn)行評(píng)析.

3.1 加強(qiáng)向量基本運(yùn)算的考查

平面向量的線性與數(shù)量積運(yùn)算環(huán)境下平行、垂直、夾角和模的問(wèn)題是平面向量的基礎(chǔ)內(nèi)容，它們成為了高考考查的基點(diǎn).

3.1.1 坐標(biāo)運(yùn)算

例1 （2019年上海3）若a=（1，0，2），b=（2，1，0），則a與b的夾角為

.

例2 （2019年北京文9）已知向量a=（-4，3），b=（6，m），且a⊥b，則m=

.

例3 （2019年全國(guó)Ⅲ文13）已知向量a=（2，2），b=（-8，6），則cos〈a，b〉=

.

例4 （2019年全國(guó)Ⅱ理3）已知AB=（2，3），AC=（3，t），|BC|=1，則AB·BC=

.

A.-3B.-2C.2D. 3

例5 （2019年全國(guó)Ⅱ文3）已知向量a=（2，3），b=（3，2），則|a-b|=（）.

A.2B.2C.52D. 50

3.1.2 代數(shù)運(yùn)算

例6 （2019年全國(guó)Ⅰ理7文8）已知非零向量a，b滿(mǎn)足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，則a與b的夾角為（）.

A.π6B.π3C.2π3D. 5π6

例7 （2019年全國(guó)Ⅲ理13）已知a，b為單位向量，且a·b=0，若c=2a-5b，則cos〈a，c〉=

.

評(píng)析 2019年高考，低中等難度的向量問(wèn)題的考查基本上是基于線性和數(shù)量積運(yùn)算，從坐標(biāo)和代數(shù)運(yùn)算兩種方式，展開(kāi)對(duì)平行、垂直、夾角和模等問(wèn)題的考查.學(xué)生只要熟練掌握好向量的線性和數(shù)量積運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，特別是熟練掌握平行、垂直、夾角、模與數(shù)量積的關(guān)系就可以迎刃而解. 向量基本運(yùn)算既是高考對(duì)向量考查的基點(diǎn)，又是推理論證、運(yùn)算求解、聯(lián)系遷移的依據(jù).

3.2 重視幾何推理與向量運(yùn)算相結(jié)合

由于向量兼具幾何和代數(shù)的特性，2019年高考向量試題的解決，既要注重向量運(yùn)算（代數(shù)與坐標(biāo)運(yùn)算），同時(shí)也需要幾何推理相輔助，以達(dá)到幾何推理與向量運(yùn)算的融合使用.

例8 （2019年江蘇12）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若AB·AC=6AO·EC，則ABAC的值是

.

解 法1 作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，故AFBC=AEEB=12，所以AF=12BC=CD，所以AO=OD，故AB·AC=6AO·EC=3AD·EC=3×12（AB+AC）×（AC-13AB）.

化簡(jiǎn)得3|AC|2=|AB|2，所以ABAC=3.

法2 過(guò)D作DG∥AB，由于DG瘙 綊 12BE，BE=2EA，所以AE瘙 綊 DG，所以AO=OD，下同解法1.

法3 作DH∥CE，則BH=HE=EA，所以AO=OD，下同解法1.

法4 作EI∥BC，則IEBD=IECD=13，所以IOOD=13，而AIID=12，所以AO=OD，下同解法1.

法5 由梅氏定理可知AEEB·BCCD·DOOA=1，而D是BC的中點(diǎn)，BE=2EA，所以AO=OD，下同解法1.

法6 AD=12（AB+AC），令A(yù)O=λAD，則AO=λ2（AB+AC）=3λ2AE+λ2AC，由于E，O，C三點(diǎn)共線，所以3λ2+λ2=1，故λ=12，所以所以AO=OD，下同解法1.

法7 設(shè)AO=λAD=λ2（AB+AC），另一方面AO=μ（13AB）+（1-μ）AC，所以12λ=13μ，

12λ=1-μ，

解得λ=12，下同解法1.

例9 （2019年天津理14文14）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=23，AD=5，∠A=300，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且AE=BE，則BD·AE=

.

法1 BD·AE=（BA+AD）·（AB+BE）=-|AB|2+BA·BE+AD·AB+AD·BE=-12+6+15-10=-1.

法2 BD·AE=（BA+AD）·AE=BA·AE+AD·AE=23×2×cos1500+5×2×cos600=-1.

法3 BD·AE=（BE+EA+AD）·AE=-2-4+5=-1.

法4 如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，3），E（1，3），D（5，0），所以AE=（1，3），BD=（2，-3），BD·AE=2-3=-1.

法5 作BF∥AE，設(shè)∠CBD=θ，BD=25+12-2×5×23×32=7，sinθ=37，cosθ=27.cos∠FBD=cos（θ+π3）=-714，BD·AE=7×2×（-714）=-1.

法6 過(guò)B作BH⊥AD，則BD·AE=（25AD-HB）·（15AD+HB）=225×25-3=-1.

法7 取AB的中點(diǎn)M，由于AE=BE，所以EM⊥AB，BD·AE=（AD-AB）·（AM+ME）=AD·AM+AD·ME-AB·AM-AB·ME =152-52-6=-1.

法8 BD·AE=（BH+HD）·（AH+HB+BE）=6-3-4=-1.

評(píng)析 以上兩個(gè)高考向量問(wèn)題都具有一定的綜合性、靈活性和解法的發(fā)散性.代數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算相結(jié)合，幾何推理和向量運(yùn)算相結(jié)合，直接運(yùn)算和轉(zhuǎn)化運(yùn)算相結(jié)合，坐標(biāo)基底和非坐標(biāo)基底相結(jié)合，向量“身份”的多元性生發(fā)了解決方法的“融合”性.

2.3 突出向量與其它知識(shí)的交匯

數(shù)學(xué)的抽象性、系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在深刻的內(nèi)在聯(lián)系.平面向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁，特別是與不等式、函數(shù)、幾何等知識(shí)都有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.因此，向量與其它知識(shí)的交匯自然受到高考命題者青睞.

例10 （2019年北京理7）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB+AC|>|BC|”的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

法1 AB與AC的夾角為銳角AB·AC>0|AB+AC|2-|BC|2=（|AB|2+|AC|2+2|AB||AC|cosθ）-（|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cosθ）=4AB·AC>0|AB+AC|>|BC|.

法2 AB與AC的夾角為銳角AB·AC>0且|AB|2+|AC|2-|BC|2>0|AB+AC|2-|BC|2=（|AB|2+|AC|2-|BC|2）+2AB·AC>0|AB+AC|>|BC|.

法3 |AB+AC|>|BC||AB+AC|>|AC-AB|AB·AC>0AB與AC的夾角為銳角.

例11 （2019年浙江17）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)每個(gè)λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1時(shí)，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值為

，最大值為

.

解法1 |λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|λ1AB+λ2AD-λ3AB-λ4AD+λ5（AB+AD）+λ6（AD-AB）|=|（λ1-λ3+λ5-λ6）AB+（λ2-λ4+λ5+λ6）AD|=[（λ1-λ3）+（λ5-λ6）]2+[（λ2-λ4）+（λ5+λ6）]2（*）

由于每個(gè)λi（i=1，2，3，4，5，6）可獨(dú)立取遍±1，（*）式中λ1-λ3和λ2-λ4都可獨(dú)立取-2，0，2，而λ5-λ6和λ5+λ6取值范圍也為-2，0，2，不管λ5-λ6和λ5+λ6如何取值，只要λ1-λ3=λ6-λ5且λ2-λ4=-（λ5+λ6）時(shí)，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|取到最小值為0.

另一方面

[（λ1-λ3）+（λ5-λ6）]2+[（λ2-λ4）+（λ5+λ6）]2≤（2+|λ5-λ6|）2+（2+|λ5+λ6|）2=8+2（λ52+λ62）+4（|λ5-λ6|+|λ5+λ6|）=8+2（1+1）+4×2=25.

所以|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最大值為25.

法2 如圖4，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）則|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=

|λ1（1，0）+λ2（0，1）+λ3（-1，0）+λ4（0，-1）+λ5（1，1）+λ6（-1，1）|=

|（λ1-λ3+λ5-λ6，λ2-λ4+λ5+λ6）|

=[（λ1-λ3）+（λ5-λ6）]2+[（λ2-λ4）+（λ5+λ6）]2.

下同解法1.

法3 令A(yù)B=e1，BC=e2，則AC=e1+e2，BD=e2-e1，記λ5AC+λ6BD=e3，那么|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|λ1e1+λ2e2-λ3e1-λ4e2+e3|=|（λ1-λ3）e1+（λ2-λ4）e2+e3|.

由于λ1-λ3和λ2-λ4都可獨(dú)立取-2，0，2，e3=λ5AC+λ6BD=（λ5-λ6）e1+（λ5+λ6）e2=±2e1或±2e2.當(dāng)λ1-λ3=2，λ2-λ4=0，e3=-2e1時(shí)，|（λ1-λ3）e1+（λ2-λ4）e2+e3|取到最小值為0;另一方面|（λ1-λ3）e1+（λ2-λ4）e2+e3|≤|2e1+2e2+2e1|=|4e1+2e2|=25，當(dāng)λ1-λ3=2，λ2-λ4=2，e3=2e1時(shí)可以取到最大值為25.

評(píng)析 向量的知識(shí)交匯型試題是考查學(xué)生的知識(shí)統(tǒng)整能力、數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用能力和邏輯思維能力的題型，以上兩個(gè)高考向量問(wèn)題注重了向量與不等式、離散取值的多變量函數(shù)等知識(shí)的融合，凸顯了向量問(wèn)題中基底思想的應(yīng)用，應(yīng)予以關(guān)注. 在復(fù)習(xí)向量時(shí)，可重點(diǎn)關(guān)注向量與幾何、函數(shù)、三角、不等式等知識(shí)的交匯.在解決的途徑上一般也可以從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面來(lái)入手，將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題或從向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、基底分解及坐標(biāo)運(yùn)用等方面思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題來(lái)解決.

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）＼[S＼].北京：人民教育出版社，2018.1.

[2] 方孝釧.精美的高考向量試題中揮不去的幾何情結(jié)＼[J＼].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011（10）：24-26.

作者簡(jiǎn)介 方治（1978—），男，浙江省義烏中學(xué)科研處主任，中學(xué)高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育. 曾榮獲全國(guó)優(yōu)秀教練員、浙江省教壇新秀、浙江省師德楷模、浙派名師培養(yǎng)人選，個(gè)人執(zhí)筆的課題獲省一等獎(jiǎng)一次，省二等獎(jiǎng)一次，有多篇論文發(fā)表.