楊哲
【摘 要】本文采用邊積分析法證明了孿生素數(shù)猜想,即此法證明了孿生素數(shù)有無限多個。
【關(guān)鍵詞】孿生素數(shù)猜想;張益唐;孿生素數(shù)無限定理;邊際區(qū)間;邊積分析法
一、引言
張益唐論文“素數(shù)間的有界距離[1]”稱證明了孿生素數(shù)猜想一個弱化形式。
本文另辟蹊徑,采用“邊際分析法”證明了孿生素數(shù)猜想。
二、定理
設p為孿生素數(shù)對中比較小的那一個孿生素數(shù),用x(p,p+2)表示孿生素數(shù)對的個數(shù)。
孿生素數(shù)無限定理:使得p+2仍然為素數(shù)的素數(shù)p有無窮多個。
表達式:x(p,p+2)→+∞.
三、方法
1.分析
設n,k均為正整數(shù),對于任意一個偶數(shù)2n都存在一個邊際區(qū)間[2n,2(n+k)],只要這個區(qū)間足夠大(即只要k足夠大),總是存在有孿生素數(shù)對。
(1)邊際區(qū)間(12,24]:
在12的邊際區(qū)間(12,24],可以找到一個孿生素數(shù)對(11,13)
14=7+7=(7-1)+(7+1)=6+8,,16=8+8=(8-1)+(8+1)=7+9,
18=9+9=(9-1)+(9+1)=8+10,20=10+10=(10-1)+(10+1)=9+11,
22=11+11=(11-1)+(11+1)=10+12,
24=12+12=(12-1)+(12+1)=11+13(是孿生素數(shù)對)
(2)邊際區(qū)間(24,38]:
在24的邊際區(qū)間(24,38],可以找到一個孿生素數(shù)對(17,19)
26=13+13=(13-1)+(13+1)=12+14,28=14+14=(14-1)+(14+1)=13+15,
30=15+15=(15-1)+(15+1)=14+16,30=15+15=(15-1)+(15+1)=14+16,
32=16+16=(16-1)+(16+10=15+17,34=17+17=(17-1)+(17+1)=16+18,
36=18+18=(18-1)+(18+1)=17+19(是孿生素數(shù)對)
(3)邊際區(qū)間(38,60]:
在38的邊際區(qū)間(38,60],可以找到一個孿生素數(shù)對(29,31)
38=19+19=(19-1)+(19+1)=18+20
40=20+20=(20-1)+(20+1)=19+21
42=21+21=(21-1)+(21+1)=20+22
44=22+22=(22-1)+(22+1)=21+23
46=23+23=(23-1)+(23+1)=22+24
48=24+24=(24-1)+(24+1)=23+25
50=25+25=(25-1)+(25+1)=24+26
52=26+26=(26-1)+(26+1)=25+27
54=27+27=(27-1)+(27+1)=26+28
56=28+28=(28-1)+(28+1)=27+29
58=29+29=(29-1)+(29+1)=28+30
60=30+30=(30-1)+(30+1)=29+31(是孿生素數(shù)對)
(4)邊際區(qū)間(60,84]:
在60的邊際區(qū)間(60,84],可以找到一個孿生素數(shù)對(41,43)
62=31+31=(31-1)+(31+1)=30+32
64=32+32=(32-1)+(32+1)=31+33
66=33+33=(33-1)+(33+1)=32+34
68=34+34=(34-1)+(34+1)=33+35
70=35+35=(35-1)+(35+1)=34+36
72=36+36=(36-1)+(36+1)=35+37
74=37+37=(37-1)+(37+1)=36+38
76=38+38=(38-1)+(38+1)=37+39
78=39+39=(39-1)+(39+1)=38+40
80=40+40=(40-1)+(40+1)=39+41
82=41+41=(41-1)+(41+1)=40+42
84=42+42=(42-1)+(42+1)=41+43(是孿生素數(shù)對)
只要k足夠大,在2n的邊際區(qū)間總存在有孿生素數(shù)對。
2.定理
邊際定理:對于任意一個正整數(shù)n總是存在有足夠大的正整數(shù)k,使得偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]都存在有一個孿生素數(shù)對(p,p+2).
表達式:2(n+k)=(n+k-1)+(n+k+1)=p+(p+2),其中:p=n+k-1,p+2=n+k+1.
證明:
設p為素數(shù)并且使得p+2仍然為素數(shù),設m=n+k為等差數(shù)列p,m,p+2的等差中項。
有:m=n+k=p+1.
則:m-1=p=n+k-1,m+1=p'+1+1=p+2=(n+k-1)+2=n+k+1,
即:p=n+k-1,p+2=n+k+1.
所以,只要正整數(shù)k足夠大,對于任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]總是有:
2(n+k)=(n+k)+(n+k)=(n+k-1)+(n+k+1)=p+(p+2)等式成立。
所以,只要正整數(shù)k足夠大,在任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]總是有孿生素數(shù)對(P=n+k-1,p+2=n+k+1)存在。
所以,邊際定理成立。
四、證明
證明孿生素數(shù)猜想,就是證明孿生素數(shù)無限定理。
依據(jù)邊際定理,只要正整數(shù)k足夠大,在任意一個偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]都存在有孿生素數(shù)對(p=n+k-1,p+2=n+k+1)。
而且當n無限大時任意偶數(shù)2n的邊際區(qū)間[2n,2(n+k)]有無限多個,所以它使得孿生素數(shù)對(p=n+k-1,p+2=n+k+1)有無限多個。
所以孿生素數(shù)對(p,p+2)有無限多個,即使得p+2仍然為素數(shù)的素數(shù)p有無限多個。
于是,孿生素數(shù)猜想得到證明,即孿生素數(shù)無限定理得到證明。
【參考文獻】
[1]張益唐,素數(shù)間的有界距離,(美國)數(shù)學年刊,179(2014):1121-1174.