張建科, 王 源，魏至柔

(1.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710121； 2.南京理工大學(xué) 化工學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

分?jǐn)?shù)階微分方程在流體力學(xué)、黏彈性力學(xué)、生物數(shù)學(xué)、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)以及物理學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，但大多數(shù)問(wèn)題很難得到解析解。目前的近似解析方法包括：同倫擾動(dòng)法(HPM)[1]、李群方法[2]、變分迭代法(VIM)[3]、同倫變換[4]、同倫漸近法[5]、G′/G展開法[6]、多項(xiàng)式最小二乘法[7]、有限差分法[8]等。本文將采用殘差冪級(jí)數(shù)法(RPSM)[9]求分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程的近似解析解，這是一種基于分?jǐn)?shù)階冪級(jí)數(shù)展開的分析方法，已被成功應(yīng)用于多種分?jǐn)?shù)階微分方程。

分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程如下：

(1)

初始條件為

(2)

其中u=u(x,t)，α(0<α<1)是微分階數(shù)參數(shù)，t是時(shí)間，x是空間坐標(biāo)。

當(dāng)α=1時(shí)，方程精確解：

(3)

1 殘差冪級(jí)數(shù)法

定義1[10-11]給定連續(xù)函數(shù)f(t),設(shè)n是大于等于α(α≥0)的最小整數(shù)，則Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

定理1[12]通過(guò)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，可得：

定義2[13-14]當(dāng)n-1<α≤n，t≥t0時(shí)，冪級(jí)數(shù)展開式為

稱之為在t=t0時(shí)的分?jǐn)?shù)階冪級(jí)數(shù)，其中cm是一個(gè)常數(shù)，為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。

定理2[13]設(shè)f表示t=t0時(shí)分?jǐn)?shù)階冪級(jí)數(shù)的展開形式，則f(t)為

若Dmαf(t)∈(t0,t0+R),m=0,1,2,…，則分?jǐn)?shù)階冪級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)cm為

其中R是收斂半徑。

定義3[14]當(dāng)n-1<α≤n，t≥t0時(shí)，冪級(jí)數(shù)展開式為

稱之為t=t0時(shí)的廣義分?jǐn)?shù)階冪級(jí)數(shù)。其中t是變量，fm是關(guān)于x的函數(shù)。

定理3[13-14]假設(shè)u(x,t)在t=t0時(shí)的廣義分?jǐn)?shù)階冪級(jí)數(shù)展開式為

(4)

則分?jǐn)?shù)階冪級(jí)數(shù)展開式可被寫為

定義u(x,t)的冪級(jí)數(shù)展開式的前i+1項(xiàng)和ui(x,t)為

(5)

該展開式為式(1)的近似解。

如果t=0,u(x,0)=f0(x),基于式(1)的基礎(chǔ)上定義第i個(gè)殘差函數(shù)為

(6)

為了得到fn(x),令：

2 殘差冪級(jí)數(shù)法計(jì)算分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程

本文中Rosenau-Haynam方程的初始條件是式(2)，α=1時(shí)精確解是式(3)，第i個(gè)殘差函數(shù)Resi(x,t)如式(6)。

第一步，令i=1，則分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程為

將i=1代入式(5)得：

則：

第二步，令t=0,則：

且：

則：

第三步，依照上法：

令：

因此,分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程的三項(xiàng)近似解為

3 結(jié)果分析

使用殘差冪級(jí)數(shù)法計(jì)算了分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程的近似解析解。在表1—表3中對(duì)x和t分別取與文獻(xiàn)[1]相同的值以便與之比較。

表1 當(dāng)α=1時(shí)殘差冪級(jí)數(shù)法的絕對(duì)誤差

表1中，在相同的x、t之下令α=1、c=0.5，求方程的精確解和近似解，絕對(duì)誤差如表中所示?？梢钥闯鲈趚不變的條件下t越大，誤差越大；在t不變的條件下x越大，誤差越小。

表2 殘差冪級(jí)數(shù)法與變分迭代法絕對(duì)誤差對(duì)比

表2中，在相同的x、t下令α=1、c=0.5，在展開相同的項(xiàng)數(shù)條件下，將殘差冪級(jí)數(shù)法求得的誤差與文獻(xiàn)[1]中給出的變分迭代法三項(xiàng)近似解的表達(dá)式求得的誤差進(jìn)行了比較，由表中看出殘差冪級(jí)數(shù)法求得的誤差更小、精度更高。

表3 不同α與x對(duì)三項(xiàng)殘差函數(shù)值的影響

表3中，得到三項(xiàng)殘差函數(shù)Res3(x,t)的值。如果t和α的值是固定的，則Res3(x,t)的值隨著x的增加而增大。當(dāng)Res3(x,t)的值接近0時(shí)，近似解接近精確解。

4 結(jié) 論

利用殘差冪級(jí)數(shù)法求解分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程的解析解，并通過(guò)表的方式展現(xiàn)出解的精度，在相同條件下與變分迭代法(VIM)做了比較。結(jié)果表明殘差冪級(jí)數(shù)法所得的解更接近精確解，是求解分?jǐn)?shù)階Rosenau-Haynam方程近似解析解的一種有效方法。