展開式

(n∈N*)的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值、特定項(xiàng)等)的一般步驟:第一步,利用二項(xiàng)式定理寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tk+1=,常把字母和系數(shù)分離開來(注意符號(hào)不要出錯(cuò));第二步,根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項(xiàng)要求指數(shù)為零,有理項(xiàng)要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組),解出k;第三步,把k代入通項(xiàng)公式中,即可求出Tk+1。有時(shí)還需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量。令18-4r=6,得r=3,所以×a3=20a3=160,解得

二項(xiàng)式定理在展開式中的應(yīng)用1.1 求展開式中的特定項(xiàng)求展開式中的特定項(xiàng)時(shí),通常直接運(yùn)用通項(xiàng)公式.具體步驟為:先根據(jù)題中已知條件確定指數(shù)并找到等量關(guān)系,列出方程;然后對(duì)方程求解,求出r的值;最后將r的值代入通項(xiàng)公式中,進(jìn)一步求出特定項(xiàng).解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為故展開式的第3項(xiàng)為240x2,常數(shù)項(xiàng)為160.1.2 求展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)例2求(x2+1)(x-2)7的展開式中x3的系數(shù).解：在展開式中,x3的來源有兩個(gè).所以,x3的系數(shù)是448+560=1

的題型主要有求展開式中的特定項(xiàng)、求特定項(xiàng)的系數(shù)、整除(求余)、求近似值等問題.本文就二項(xiàng)式定理中的“系數(shù)”問題加以歸類和解析.1 利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的系數(shù)變式二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為－20,則含x4項(xiàng)的系數(shù)為( ).A.－6 B.－15 C.6 D.152 求多個(gè)二項(xiàng)式的和(或積)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)例2(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展開式中x3的系數(shù)為_________.例3(x＋y－2z)5的展開式中xy2z2的系數(shù)是( )

技巧.1 二項(xiàng)展開式2 求常數(shù)項(xiàng)3 求指定項(xiàng)的系數(shù)例3(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為( ).A.10 B.20 C.30 D.604 求有理項(xiàng)例4二項(xiàng)式的展開式中,有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有( ).A.4項(xiàng) B.5項(xiàng) C.6項(xiàng) D.7項(xiàng)5 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)或展開式系數(shù)最大的項(xiàng)例5(1＋2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為________;展開式系數(shù)最大的項(xiàng)為_________.所以r＝5或6(因?yàn)閞∈{0,1,

說明.1 二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)問題特定項(xiàng)系數(shù)問題主要包括求展開式中的第n項(xiàng)、求展開式中的特定項(xiàng)、已知展開式的某項(xiàng)求特定項(xiàng)的系數(shù)等,一般可借助二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式來求解.例1已知在的展開式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求:(1)n的值;(2)展開式中第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及x5的系數(shù);(3)展開式中的所有有理項(xiàng).2 三項(xiàng)式或乘積形式的展開式問題求解有關(guān)三項(xiàng)式或乘積形式的展開式問題,關(guān)鍵是弄清展開式的特征,將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式進(jìn)行處理,解題時(shí)可以利用乘法原理進(jìn)行求解.3 二項(xiàng)

式(a＋b)n展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的2)二項(xiàng)式(a＋b)n展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等,即2.2 賦值法求展開式系數(shù)和3 應(yīng)用舉例3.1 求特定項(xiàng)系數(shù)例1(2020年北京卷3)在的展開式中,x2的系數(shù)為( ).A.－5 B.5 C.－10 D.10方法3(x2＋4x－5)4表示4個(gè)(x2＋4x－5)的乘積,要得到x的一次項(xiàng),則必須在1 個(gè)(x2＋4x－5)中選擇4x,同時(shí)其余3個(gè)(x2＋4x－5)中均選擇(－5),由排列組合知識(shí)

容.其中,二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和是高考與模擬考試命題中的常見考查內(nèi)容,與此相關(guān)的變式問題——系數(shù)的絕對(duì)值之和,也頻頻見于各類考試的試卷之中.但是,一類不易察覺的錯(cuò)誤在試題命制與求解時(shí),因其自身的隱蔽性,往往真假難辨,是非難分,常常被當(dāng)成“真經(jīng)”,以訛傳訛.1 通性通法我們從以下常見且并不復(fù)雜的試題為例,以呈現(xiàn)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和的求解策略.例1(2016 年聯(lián)賽黑龍江預(yù)賽第7 題)設(shè)(2x ?1)6=a6x6+a5x5+···+a1x+a0,

了基本的冪級(jí)數(shù)展開式的若干應(yīng)用,包括利用基本的冪級(jí)數(shù)展開式判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)等，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法和創(chuàng)新能力.本題若直接用求導(dǎo)法則求f(3)(0),則計(jì)算量很大，而用f(x)的麥克勞林展開式，計(jì)算非常簡捷.上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得在上式中令x=1，得本題直接用sinx的麥克勞林展開式往要求的結(jié)果湊，計(jì)算簡捷，目的明確.本題直接用cosx的麥克勞林展開式往要求的結(jié)果湊，

知識(shí)點(diǎn).求三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)問題經(jīng)常出現(xiàn)在二項(xiàng)式定理的試題中.該類問題的難度一般不大，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，但計(jì)算量較大.下面，筆者介紹幾個(gè)求三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)的“妙招”.一、采用分組法運(yùn)用分組法求三項(xiàng)展開式的系數(shù)，需將三項(xiàng)展開式中的兩項(xiàng)看作一個(gè)整體，然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理將該三項(xiàng)式展開，再將這兩項(xiàng)運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，最后綜合所得的結(jié)果，即可求出三項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù).在運(yùn)用分組法解題時(shí)，要仔細(xì)觀察各項(xiàng)中的系數(shù)、變量的次數(shù)，合理化簡并合并同類項(xiàng).例1

容主要是求二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)和二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)的系數(shù)等基礎(chǔ)問題.1 核心知識(shí)概覽1.1 二項(xiàng)式定理及有關(guān)概念2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:Tr＋1＝，它表示展開式中的第r＋1項(xiàng).1.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1)對(duì)稱性:在二項(xiàng)展開式中與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即3)最大值:a)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為-;b)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，最大值為4)二項(xiàng)式系數(shù)的和:二項(xiàng)式(a＋b)n展開

(n∈N*)的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的問題例1(1)(2019年天津卷理的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________.A.－210 B.－960 C.960 D.210解析(2)依題意得2n＝1024，解得n＝10.又易知展開式的通項(xiàng)為由2r－10＝4，得r＝7，從而有－960，所以x4的系數(shù)是－960.故選B.點(diǎn)評(píng)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的處理策略:先將展開式的通項(xiàng)公式化為只含有一個(gè)字母的形式.求展開式中的特定項(xiàng)可依據(jù)條件寫出第

)，凡涉及二項(xiàng)展開式的項(xiàng)或系數(shù)的問題，均可考慮用通項(xiàng)公式求解.1.1 求特定項(xiàng)例1(2019年浙江卷13)在二項(xiàng)式(2＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_________.分析寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的要求即可作答.解二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為當(dāng)k＝0時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)當(dāng)k＝1，3，5，7，9時(shí)，系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5.點(diǎn)評(píng)本題屬于基礎(chǔ)題，主要考查二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的求法，解題關(guān)鍵在于熟

成立以下的級(jí)數(shù)展開式在(1.2)式中若αk取值為實(shí)數(shù)(包括無理數(shù)), 則稱此級(jí)數(shù)為psi級(jí)數(shù)[10]; 若αk取值僅為有理數(shù),稱此級(jí)數(shù)為Puiseux級(jí)數(shù)[11].本文考慮αk為實(shí)數(shù)的一般情形.我們通過Laplace變換導(dǎo)出積分方程(1.1)的解在零點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(僅對(duì)核函數(shù)代數(shù)奇異情形)漸近展開式的一般形式, 其在零點(diǎn)的展開式可以作為方程(1.1)當(dāng)x比較小時(shí)的近似解; 其在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的展開式可以作為方程(1.1)當(dāng)x比較大時(shí)的近似解.對(duì)這些展開式做Pad逼

同尺度的內(nèi)、外展開式，其中每一個(gè)展開式在一部分區(qū)域上有效，并使相鄰展開式的有效區(qū)域相互重疊，然后按匹配原則進(jìn)行匹配，形成在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開式，從而得到該問題具有角層性質(zhì)的近似解。2 主要結(jié)果考慮如下形式的二次邊值問題εy″=f(x)(1-y′2)，0(1)y(0)=A，y(1)=B(2)其中:ε>0為小參數(shù);f(x)為區(qū)間[0，1]上的光滑函數(shù)且f(x)>0;A，B為給定常數(shù)滿足|A-B|先確定問題(1)，(2)內(nèi)層的位置。設(shè)外展開式為如下冪級(jí)

方法需要涉及內(nèi)展開式與外展開式之間的匹配，是一項(xiàng)復(fù)雜的技術(shù)性的工作。2 主要結(jié)果為了構(gòu)造出在x=0 處具有內(nèi)層性質(zhì)的校正項(xiàng)，分以下4步進(jìn)行。2.1 構(gòu)造外展開式的第一項(xiàng)設(shè)問題(1)，(2)的外展開式具有形式將(4)代入(1)，比較方程兩邊ε的零次冪系數(shù)得到：方程(5)滿足邊界條件y(‐1)=1和y(1)=1的解分別為因此可取作為外部解的零次近似。由于y0(x)在x=0處連續(xù)但不可微，故在x=0 處出現(xiàn)了角層現(xiàn)象，如圖1所示。圖1 2.2 構(gòu)造內(nèi)展開式的第一

a+b)n 的展開式是什么?探究：如何利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展開式? 繼而猜想一下(a+b)n的展開式是什么?(1)根據(jù)乘法公式將(a+b)2,(a+b)3展開,并將各項(xiàng)系數(shù)用組合數(shù)表示,有下列結(jié)論：②(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.(2)類比上述方法,將(a+b)4展開,你能得到什么?(a+b)4= (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各項(xiàng)都是

0)一、用于求展開式中的特定項(xiàng)或系數(shù)(1)求展開式中的有理項(xiàng)；(2)求展開式中的有理項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(3)求展開式中的有理項(xiàng)的系數(shù).例2(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是( ).A.56 B.84 C.112 D.168點(diǎn)評(píng)解此問題的關(guān)鍵是求(1+x)8的展開式中x2的系數(shù)與(1+y)4的展開式中y2的系數(shù)的積.若是求一個(gè)三項(xiàng)式的系數(shù)問題，則應(yīng)利用公式把三項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)(可因式分解)或把兩項(xiàng)看成一項(xiàng)，然后利用二項(xiàng)式定理展開求解.二、用于求二項(xiàng)

求二項(xiàng)(三項(xiàng))展開式中的指定項(xiàng)(系數(shù)),會(huì)起到事半功倍的效果.一、一個(gè)二項(xiàng)式展開式中的指定項(xiàng)(系數(shù))例題1在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為____(用數(shù)字作答).所以在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為60.故答案為：15．二、兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開式的指定項(xiàng)(系數(shù))A．15 B．20 C．30 D．35評(píng)析對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積或者幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))的問題，可以利用類似單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法或者多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式和的

理揭示了二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)等內(nèi)容之間的聯(lián)系和基本規(guī)律。通過對(duì)近幾年全國各地高考試卷的分析可以看出，二項(xiàng)式定理是歷年高考的必考內(nèi)容，高考試題多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題?？疾榈念}型也比較穩(wěn)定，主要考查兩點(diǎn)：（1）考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，以求二項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)為載體，特別關(guān)注兩個(gè)多項(xiàng)式乘積展開式指定冪的系數(shù)，以及三項(xiàng)式展示式指定冪的系數(shù)。（2）考查二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)，特別關(guān)注賦值法處理系數(shù)

一、求二項(xiàng)式展開式中滿足條件的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)通項(xiàng)公式可以表示展開式中的每一項(xiàng),也就可以求解其中某一項(xiàng)的值。例1在二項(xiàng)式的展開式中,含有x3項(xiàng)的系數(shù)為____。解析：要求二項(xiàng)式展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù),只需知道其通項(xiàng)公式(即第r+1項(xiàng)),通過系數(shù)確定r的值,即可計(jì)算求解。由題意知,該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=所以12-3r=3,解得-20x3,即含有x3項(xiàng)的系數(shù)為-20。例2在二項(xiàng)式的展開式中,含有x9的項(xiàng)為____。解析：本題要求的是含有x9的項(xiàng),所以不僅

1）考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，包括求展開式的特定項(xiàng)、有理項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)等；（2）考查二項(xiàng)式系數(shù)（或系數(shù)）的最值、和（部分系數(shù)和）等；（3）考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，包括求近似值、整除與余數(shù)等。本文通過例題分析二項(xiàng)式定理相關(guān)經(jīng)典題型的解題策略，與讀者分享交流。一、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式1.形如（a+b）n 的展開式問題例1若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于（ ）。A.3 B.4 C.5 D.6解析：由二項(xiàng)式定理知且k∈N），令當(dāng)k=4時(shí)，n取到最小值為5。故選

二項(xiàng)之和的乘方展開式,它與多項(xiàng)式乘法有聯(lián)系,高考中二項(xiàng)式定理的試題幾乎年年都有,試題的難度與課本習(xí)題相當(dāng),大多為容易題或中等難度的試題,題型比較穩(wěn)定,通常以選擇題或填空題形式出現(xiàn),有時(shí)也與應(yīng)用問題結(jié)合在一起求某些數(shù)、式的近似值.下文結(jié)合實(shí)例對(duì)二項(xiàng)式定理的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)梳理.一、二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的考查題型1 二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的考查例1(2019年高考天津卷)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為____.解析展開式的通項(xiàng)為Tr+1=令8-4r=0,得r=2,所以常數(shù)項(xiàng)為故

腳點(diǎn)總是與二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)相關(guān). 二項(xiàng)式公式看似單一，但“歲歲年年題不同”，面對(duì)試題，須詳究細(xì)察，分析揣摩，方可靈活應(yīng)用，游刃有余. 本文擬就高考中有關(guān)二項(xiàng)式定理應(yīng)用的試題作“全掃描”，并進(jìn)行分類分析與解，旨在把握命題方向，探索解題規(guī)律，揭示解題方法.一、求展開式中的某一指定項(xiàng)例1. （2x3-■）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ ）A. 14 B. -14 C. 42 D. -42分析與解：Tr+1=■（2x3）7-r（-■）r=（-1）r■

求常數(shù)項(xiàng)例1的展開式中常數(shù)項(xiàng)(用數(shù)字作答)解析：由題意知,其展開式的通項(xiàng)為Tr+1令6-2r=0,得r=3。點(diǎn)評(píng)：本題直接運(yùn)用通項(xiàng)公式,要求常數(shù)項(xiàng),則x的指數(shù)為0,求出整數(shù)r,用通項(xiàng)公式注意(-1)r不能漏掉。例2若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為( )。A.-40 B.-20 C.20 D.40解析：令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,a=1。由題意知的展開式的通項(xiàng)為令5-2r=1,得r=2;令5-2r=-1,得r=3。所以展開式的常

即二項(xiàng)式乘方的展開式,在高考中備受青睞,下面就二項(xiàng)式定理在高考中的幾類題型加以歸納總結(jié),以供同學(xué)們參考。題型一 通項(xiàng)問題例1的展開式中,x3的系數(shù)為__。解析的展開式的通項(xiàng)為例2在的二項(xiàng)式中,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則常數(shù)項(xiàng)為__。解析：因?yàn)槎?xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n=256,所以n=8。二項(xiàng)式展開式中的通項(xiàng)為Tr+1=點(diǎn)評(píng)：本題研究的是二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng),對(duì)于此類問題可以從通項(xiàng)入手,也可以采用指數(shù)分配的原則進(jìn)行處理。展開式中的常

理主要圍繞“求展開式滿足條件的特定項(xiàng)或系數(shù)和”等展開，凸顯“等價(jià)轉(zhuǎn)化”、“整體思維”、“分類與整合”、“通項(xiàng)法”和“賦值法”等思想和方法的具體應(yīng)用。題型1——“通項(xiàng)分析法”求特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)例1的展開式中x5的系數(shù)是-80，則實(shí)數(shù)a=____。解析：由特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，系逆向思維問題，先寫出展開項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再參照指數(shù)和項(xiàng)系數(shù)列方程求解。品味：由(a+b)n(n∈N*)型求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，是指展開式中的某一項(xiàng)，先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng)再把系數(shù)與字母分離出來

。一般考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)、展開式系數(shù)、某項(xiàng)或者項(xiàng)數(shù)等，甚至有時(shí)還會(huì)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)綜合考查。整體難度不大，屬于完全可以掌握的知識(shí)。如果有好的解題方法和意識(shí)，做到基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，重難點(diǎn)明確清晰，規(guī)避易錯(cuò)問題，就會(huì)收到事半功倍的效果!易錯(cuò)題型1：混淆二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)在二項(xiàng)展開式中，利用通項(xiàng)公式求展開式中具有某些特性的項(xiàng)是一類典型問題，須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。二項(xiàng)式系數(shù)是二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)所含有的組合數(shù)，即，而項(xiàng)的系數(shù)是各項(xiàng)的字母

1)一、二項(xiàng)式展開式1．二項(xiàng)式展開式的正用解法1 原式二項(xiàng)式展開式中有三個(gè)量，它們是二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)、展開式，題目已知二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)求展開式即三個(gè)量的關(guān)系的知二求一，解法1直接用二項(xiàng)式定理展開從而求解.題目解法2化簡后再展開的求解方法.化簡后分子轉(zhuǎn)化為已知二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)求展開式即三個(gè)量的關(guān)系的知二求一，從而再用二項(xiàng)式定理展開使問題得以解決.點(diǎn)評(píng) 熟記二項(xiàng)式定理,是解答與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件,對(duì)比較復(fù)雜的二項(xiàng)式,有時(shí)先化簡

引 言冪級(jí)數(shù)的展開式在數(shù)學(xué)研究及工程計(jì)算等廣泛領(lǐng)域中有著極其重要的作用，人們對(duì)于sinz,cosz冪級(jí)數(shù)的展開式比較熟悉，應(yīng)用自如，但一般的高等數(shù)學(xué)書中都沒有tanz,cotz,secz,cscz函數(shù)在復(fù)數(shù)域上冪級(jí)數(shù)的展開式，是因?yàn)槠涓唠A導(dǎo)數(shù)不好求.即使在工具書[2-6]中查到公式，也感到陌生、困難，望而生畏，一知半解不知來龍去脈，更談不上理解；但這幾個(gè)冪級(jí)數(shù)展開式在數(shù)學(xué)研究，科學(xué)計(jì)算，工程應(yīng)用等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用.本文借助于高階無窮小量在級(jí)數(shù)除法中的應(yīng)用

+b+c)9的展開式中,a2b3c4的系數(shù)為( )。A.126 B.1260C.1296 D.30242.(2x+x)4的展開式中x3的系數(shù)是( )。A.6 B.12 C.24 D.48A.7 B.6 C.5 D.44.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a0+a1+a2+…+an=30,則n=( )。A.3 B.4 C.5 D.75.若(x+3y)n的展開式的系數(shù)和等于(3a+4b)10的展開式的二項(xiàng)式

納。一、求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)系數(shù)1.“(a+b)n”型的展開式點(diǎn)評(píng):(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者是指,與a,b無關(guān);后者是指該項(xiàng)除字母以外的部分,各項(xiàng)的系數(shù)不僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān),而且也與a,b有關(guān)。2.“(a+b+c)n”型的展開式例2 (2015年新課標(biāo)Ⅰ卷)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( )。A.10 B.20 C.30 D.60解法一:(x2+x+y)5的5個(gè)因式中,2個(gè)因式中取x2,剩余的

構(gòu)形式與二項(xiàng)式展開式相似,因而構(gòu)造二項(xiàng)式求證。證明:(1)在二項(xiàng)式定理中,令a=1,b=2,得(1+2)n=·22+…+,化簡后為3n=1++…+,所證等式成立。點(diǎn)撥:本題(1)用的是賦值法,而(2)用的則是一種構(gòu)造法,在有關(guān)組合恒等式的證明中,常采用這種方法。二、化歸轉(zhuǎn)化思想例2 (1)求(1-x)3(1+x)10的展開式中x5的系數(shù);(2)x＞0的展開式中的常數(shù)項(xiàng)。分析:本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開式,但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式問題。(1)可以視為兩個(gè)二項(xiàng)

7)班 姜大鵬展開式系數(shù)求解方法感悟■江蘇省響水中學(xué)高三(7)班 姜大鵬求展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)是二項(xiàng)式定理的重要內(nèi)容,也是高考的常考內(nèi)容,下面談?wù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">展開式系數(shù)的求解方法。一、利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解方法感悟:求一個(gè)二項(xiàng)式或兩個(gè)二項(xiàng)式積的展開式的系數(shù),可利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),先由條件確定r,再求出指定項(xiàng)的系數(shù)。A.6 B.7 C.8 D.9二、利用賦值法求解方法感悟:關(guān)于x的二項(xiàng)式(ax+b)n(a,b是常數(shù))的展開式可以看成關(guān)于x的函數(shù),當(dāng)x賦予某一值時(shí),可

系數(shù)問題一、求展開式中項(xiàng)的系數(shù)【例1】(2016·北京)在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答)二、求展開式中與系數(shù)相關(guān)的參數(shù)【點(diǎn)評(píng)】已知二項(xiàng)式展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，求相關(guān)參數(shù)的值，是二項(xiàng)式定理的逆向應(yīng)用.解這類問題主要是利用通項(xiàng)公式，建立關(guān)于參數(shù)的方程，由待定系數(shù)法求解.三、求兩個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中項(xiàng)的系數(shù)【例3】(2014·浙江理·5)在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)

要求解二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、最大項(xiàng)等問題。而它的通項(xiàng)公式則是求解這類問題最基本的工具,下面給出幾種常見題型及其解法。一、求項(xiàng)的系數(shù)A.16 B.70 C.560 D.1120點(diǎn)評(píng):在二項(xiàng)式的展開式中,“項(xiàng)的系數(shù)”與“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”是兩個(gè)截然不同的概念,如(x+6)6的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)是·63=4320,而第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)卻是=20。二、求常數(shù)項(xiàng)解:由Tr+1=(2x)6-r(-1)rx6-2r·26-2r,令6-2r=0,得r=

法1是用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)來求解的，往往涉及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算，比較復(fù)雜；解法2是先用換元法，這樣就避免了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算(而是整數(shù)冪運(yùn)算)，接下來往往可直接寫出答案，即使使用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求解也很簡潔.解112.可得2n=256，所以n=8.因?yàn)閤2y2=s4t4，所以本題即求(s3-t3)8的展開式中s12t12的系數(shù).(t3-t-2)5展開式的通項(xiàng)為令15-5k=0，得k=3.可得所求答案即(t3-1)6的二項(xiàng)展開式中t6的系數(shù).[1]甘志國.2016

內(nèi)容，主要考察展開式的運(yùn)用及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。為更好的學(xué)習(xí)和掌握這部分知識(shí)，現(xiàn)將其常見題型歸納如下：一、求特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)這是二項(xiàng)式定理的典型題型，解法是確定通項(xiàng)公式中r的值或取值范圍，但應(yīng)注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。例1：在（1-x2）20的展開式中，如果第4r項(xiàng)和第r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求r的值.解析：由題，得4r-1=r+1或4r-1+r+1=20，解得r=4.例2：若展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中含x的七次冪的項(xiàng)及其系數(shù)

（a+b）n]展開式中的第[k+1]（[k∈N*]）項(xiàng)[Cknan-kbk]叫作展開式的通項(xiàng)，用[Tk+1]表示，即[Tk+1=Cknan-kbk]. 二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)很重要，利用它可以解決很多問題.例1 求[（x+12x4）8]的展開式中的有理項(xiàng).分析 寫出這個(gè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，當(dāng)通項(xiàng)中[x]的次數(shù)為整數(shù)時(shí)，該項(xiàng)即為有理項(xiàng).解 ∵[（x+12x4）8=（x12+12x-14）8]，∴[Tk+1=Ck8（x12）8-k（12x-14）k=12kCk8x

經(jīng)常涉及三項(xiàng)式展開式的問題，如求三項(xiàng)式展開式中的某一項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)等. 對(duì)特殊類型的三項(xiàng)式而言，可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問題求解，而對(duì)于一般三項(xiàng)式，則問題顯得較為復(fù)雜. 本文將通過具體例子來說明三項(xiàng)式展開式問題的求解方法，并在二項(xiàng)式展開式問題的基礎(chǔ)上，推廣得出求三項(xiàng)式展開式中系數(shù)問題的一般方法.轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解例1 求[（x2+1x+2）5]的展開式中的常數(shù)項(xiàng).解析 方法一：∵[（x2+1x+2）5]=[[12（x+2x）2]5=2-5×（x+2x）10]，其通項(xiàng)

)?一類二項(xiàng)式展開式問題的解法探究黃 瓊(廣東省陽江市陽西縣第二中學(xué)，529800)一、問題的提出2016年廣州市一模給出如下一道試題：問題1 在(x2-x-2)4的展開式中,x3的系數(shù)為______.(用數(shù)字填寫答案)分析1 為了能夠使用二項(xiàng)式定理,因此可以考慮將x2-x-2分解因式,再用分類討論.解法1 由于(x2-x-2)4=(x+1)4(x-2)4,因此(x2-x-2)4的展開式中x3的系數(shù)應(yīng)為(x+1)4的展開式中的x3的系數(shù)與(x-2)4的常數(shù)

—二項(xiàng)式乘方的展開式，是培養(yǎng)觀察、歸納能力的好題材. 二項(xiàng)式定理是以公式形式表現(xiàn)二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面內(nèi)在聯(lián)系的重要定理，集中體現(xiàn)了二項(xiàng)式展開式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化. 它是求展開式的某些項(xiàng)（如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）以及系數(shù)的重要公式.二項(xiàng)式定理在高考中每年一道題，試題難度不大，與教材習(xí)題相當(dāng). 因此，學(xué)習(xí)時(shí)要重視基礎(chǔ)，熟練掌握二項(xiàng)式定理的展開式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等原理，不必追求難解題

準(zhǔn)確把握二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,觀察出相應(yīng)的項(xiàng),即可順利求解.由題可知2二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問題A180;B90;C45;D360變式(2013年新課標(biāo)Ⅰ卷) 設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=().A5;B6;C7;D83二項(xiàng)式系數(shù)和問題例3若(x2+1/x3)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則n=______,其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.(用數(shù)字作答)

值法是解決二項(xiàng)展開式中有關(guān)系數(shù)問題的重要手段，許多復(fù)雜的與系數(shù)有關(guān)的問題均可利用賦值法解決.■例1 在■+■8的展開式中，含x的非整數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為（ ）A. 72 B. 112 C. 184 D. 256思索 根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，再進(jìn)行整理化簡.由x的指數(shù)為整數(shù)，確定哪幾項(xiàng)是整數(shù)次冪的項(xiàng)，最后計(jì)算出非整數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和.破解 Tr+1=C■■（■）8-r■r=C■■·x■，r=0，1，2，···，8，所以當(dāng)r=0，4，8時(shí)，x的

定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.《考綱說明》中要求考生會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題，會(huì)用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)系數(shù)或展開式系數(shù)，會(huì)用賦值法求系數(shù)和.？搖？搖endprint理解二項(xiàng)式定理；會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.《考綱說明》中要求考生會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題，會(huì)用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)系數(shù)或展開式系數(shù)，會(huì)用賦值法求系數(shù)和.？搖？搖endprint理解二項(xiàng)式定理；會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.

題的外部解的內(nèi)展開式（yo）i與內(nèi)部解的外展開式（yi）o，利用匹配原理求出解的漸近展開式，得到這類問題的一般漸近解，豐富及推廣已有文獻(xiàn)中相應(yīng)的結(jié)論．無限長；非線性；攝動(dòng)；漸近展開式；匹配0 引 言在眾多領(lǐng)域中都存在著亟待解決的非線性問題，但在許多情形下非線性問題很難求得精確解，甚至不存在精確解．對(duì)于非線性問題，如果能夠求得具有較高精度的近似解析解，無疑是十分有意義的工作．?dāng)z動(dòng)方法是運(yùn)用這種思想解決非線性問題的主要數(shù)學(xué)方法之一，它在工程、經(jīng)濟(jì)、航天、金融等