武錦輝， 王 高， 劉 吉

（1.中北大學儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室，太原030051；2.中北大學電子測試技術(shù)重點實驗室，太原030051）

0 引言

國防及工業(yè)生產(chǎn)中，惡劣環(huán)境下的腔內(nèi)溫度測量如發(fā)動機燃燒室、鍋爐爐膛、熱流管道等無法直接進行。這些測溫應(yīng)用由于測試條件惡劣、溫度高、變化快并伴有高壓或高速氣流流動，常為不可重復(fù)的一次過程。因此，對測溫傳感器提出了更為苛刻要求。

傳統(tǒng)的接觸式測試方法需破壞整體結(jié)構(gòu)或增加附加測溫組件，且存在安裝困難、測量位置單一、材料抗高溫性能要求高等問題［1-3］；而非接觸式如超聲測量法、紅外測溫法［4-6］無法直接測量內(nèi)部溫度，也需要通過測量外表溫度來內(nèi)推腔內(nèi)溫度。另外，如航空發(fā)動機燃燒室、熱電鍋爐、鋼企高爐爐膛由于溫度高、變化快等原因，傳統(tǒng)的單點測量溫度方法達不到實際的需求［7］，為獲取內(nèi)腔溫度必須深入分析殼體材料的熱傳遞過程。

本文按照熱力學和彈性力學理論將鋼質(zhì)薄板材料看作封閉系統(tǒng)，并且要求材料均勻、連續(xù)，各個方向上的力學性質(zhì)相同?；谝陨弦?guī)定建立鋼質(zhì)薄板熱變形固體物態(tài)方程，即建立薄板溫度與幾何、力學等參量之間的函數(shù)關(guān)系方程式，解決目前熱變形模型分析按照傳統(tǒng)方法無法求解的問題，并對薄板的熱變形過程進行仿真驗證，分析了恒定溫度場與薄板受熱應(yīng)變的對應(yīng)關(guān)系。

1 熱變形理論分析

物體的受熱變形有彈性變形和塑性變形，一般裝備正常運行為彈性變形。研究物體彈性的受力變形，首先如下假設(shè)：被研究物體是滿足Hooke定律即應(yīng)變和應(yīng)力成比例；研究彈性體是均勻、連續(xù)、各向同性，材料彈性模量相同且彈性體的位移／變形遠小于本體尺寸［8］。然后，結(jié)合靜態(tài)力學Navier方程（平衡方程）、Cauchy方程（幾何方程）、物理學應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系理論建立應(yīng)力與位移（形變）的方程關(guān)系。

彈性體受熱變形時，彈性體內(nèi)各晶體由于幾何位置的不同必然會造成受熱溫度的差異，導致熱變形不同。但由于它們之間相互制約，在內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力，也導致了熱彈性體發(fā)生變形。內(nèi)部結(jié)構(gòu)隨著溫度的升高發(fā)生膨脹，根據(jù)熱傳導理論作用在彈性體上的溫度場分布，研究溫度場的分布情況，獲取彈性體的應(yīng)力。

假設(shè)理想熱變形溫度場為均勻的，且彈性體材料各向同性，彈性體上的溫度受熱均勻，從應(yīng)用廣義Hooke定律公式可以表示彈性體內(nèi)溫度變化和應(yīng)力共同作用引起的應(yīng)變［9］。根據(jù)廣義Hooke定律、幾何方程、平衡方程，可以消去應(yīng)變和應(yīng)力量，獲得位移量和溫度表示的熱變形方程［10-11］。如果要求出熱變形位移關(guān)系，必須獲取溫度分布數(shù)據(jù)后求解微分方程。但該微分方程在力學求解過程中，除去一些特殊情況外，一般很難求出其解［12］。

2 應(yīng)變-溫度模型的建立

2.1 熱應(yīng)變方程的建立

本文研究的熱變形介質(zhì)擬采用厚度為1mm、直徑為50mm的圓盤且徑向固定，均勻溫度場對金屬薄板單面加熱。熱變形介質(zhì)受熱示意圖如圖1所示。

圖1 熱變形介質(zhì)受熱示意圖Fig.1 Schematic diagram of thermal deformation material heating

根據(jù)實際介質(zhì)參數(shù)，研究對象可以看作為圓柱體，具有軸對稱的特性。因此，可以對上述一般狀態(tài)平衡方程、幾何方程、物理方程按照軸對稱原則簡化。

首先軸對稱平衡方程，運用圓柱坐標表示

由于薄板不受外力作用，故有R＝Z＝0，空間軸對稱物體的平衡方程簡化。

由于軸對稱關(guān)系不存在切向位移，物體內(nèi)一點的應(yīng)變分量與位移關(guān)系為

式（2）中，u、ω分別為質(zhì)點沿r（徑）方向和z軸方向的位移。

為了獲得軸對稱熱彈性體的應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系，按照線性熱應(yīng)力理論，應(yīng)變是溫度變化T和應(yīng)力共同引起的。因此，獲得圓柱坐標下軸對稱對象的廣義Hooke定律，關(guān)系為應(yīng)力和溫差表示的應(yīng)變關(guān)系。

2.2 熱應(yīng)變方程的求解

計算軸向和徑向應(yīng)力表達式，將公式轉(zhuǎn)換為溫差和應(yīng)變表示應(yīng)力的函數(shù)將式（2）代入式（4），就得到了位移和溫差表示應(yīng)力的關(guān)系式

其中，徑向位移、軸向位移和溫度均為r和z的函數(shù)， 可以表示為u（r，z）、ω（r，z）和T（r，z）。

由于圓盤厚徑比非常小，在彈性力學中可以近似為平面問題。因此，徑向位移和軸向位移函數(shù)可以近似為

根據(jù)設(shè)計的初始溫度場條件，溫度場對圓盤為單面均勻加熱。因此，在薄板的兩面形成兩個不同的溫度場。定義未加熱面初始溫度為T0，溫度函數(shù)關(guān)系可以表示為

式（8）中，k為薄板的熱傳導系數(shù)。

將式（5）的應(yīng)力表達式代入式（1）得到兩個方程， 并將式（6）、 式（7）、 式（8）代入求解位移函數(shù)u（r，z）和ω（r，z）中， 得

式（9）中，C1、C2、C3、C4為受邊界條件約束的待定系數(shù)，按照r的邊界條件求取待定系數(shù)。當r＝0時， 有

3 金屬薄板的熱變形仿真分析

基于上述熱變形彈性理論分析和數(shù)學模型的建立，應(yīng)用ANSYS分析圓形金屬薄板受熱狀態(tài)下各點的熱變形和熱應(yīng)力分布。

設(shè)置單元的材料屬性，材料選為結(jié)構(gòu)鋼，如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)鋼熱物理參數(shù)Table 1 Thermophysical parameters of structural steel

3.1 仿真環(huán)境設(shè)置

在ANSYS中建立分析模型，建立xyz坐標系。本次仿真模型圓盤為普通鋼板，圓盤的半徑為50mm、厚度為1mm，熱源的半徑設(shè)計為50mm；溫度加載，環(huán)境溫度設(shè)置為23℃，表面上施加生熱載荷，根據(jù)發(fā)熱器的功率和圓盤的體積計算得到熱生成為0.25×1010W／m3，空氣的對流換熱系數(shù)取15W／（m2·℃）。熱源選恒溫源，持續(xù)對鋼板單面加熱。

3.2 溫度場軸向位移變化

圖2為中心點軸向位移隨時間變化的曲線圖。其中，徑向位移由于初始條件要求徑向約束，因此在變形過程中，徑向位移始終圍繞著位移零點振動，隨著溫度的上升，振動加劇。軸向位移隨著金屬薄板升溫，近似線性增加，位移量與時間在熱平衡到來之前成正比。其中，縱坐標軸的負號僅代表方向熱變形位移方向。由于軸向位移向負方向延伸，因此表明金屬表面在單面受到溫度場作用的情況下，產(chǎn)生的位移與溫度場方向相反。因此，可以得出以下結(jié)論：金屬薄板在受單面溫度場加熱過程中，中心點軸向位移隨時間變化基本上是線性的，變化曲線近似為一條直線，位移隨著時間的增加而增加，位移的大小與溫度的增加成正比。

如圖3（a）所示，同心圓帶的大小代表節(jié)點的范圍，同心的顏色代表節(jié)點的位移大小和方向，與下面給出的數(shù)據(jù)中各顏色所代表的位移范圍和方向相對應(yīng)。 從圖3（b）～圖3（d）可以明顯看出， 金屬薄板軸向位移變化后呈中心位移大、邊緣位移小的漏斗狀。圓盤上各節(jié)點以中心點為圓心，不同顏色圓環(huán)區(qū)域?qū)?yīng)各自的位移范圍和方向。從圓心沿徑向圓環(huán)上各節(jié)點的位移逐漸減小，最后一個條紋位移量為0m。

圖3 溫度與軸向位移關(guān)系Fig.3 Relationship between temperature and axial displacement

溫度場作用下最終的節(jié)點沿軸向截面位移變化曲線如圖4所示。從圖4中可以看出，圓盤中心點軸向位移最大，最大直徑處位移為0m，圓盤中間節(jié)點位移量的變化呈現(xiàn)拋物線狀。該變化曲線滿足應(yīng)變-溫度模型公式所示的二次方程，將該仿真結(jié)果代入公式可求得與仿真結(jié)果一致的二次方程關(guān)系式。計算該仿真模型溫度應(yīng)變關(guān)系式得

圖4 最終溫度場下軸向位移變化曲線Fig.4 Change curve of axial displacement in the final temperature field

比較50℃、75℃、100℃時中心點軸向位移理論模型計算數(shù)據(jù)與ANSYS仿真結(jié)果，如表2所示。

表2 軸向位移模型計算數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果比較Table 2 Comparison between calculated data of axial displacement model and simulation results

由表2可知，應(yīng)變溫度關(guān)系模型得到的結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，為下一步采用散斑干涉或其它微位移測量方法進一步驗證提供了理論依據(jù)。

4 結(jié)論

在深入研究溫度場、熱傳導、熱變形彈性和熱彈性熱變形理論的基礎(chǔ)上，本文提出了求解單軸面溫度場對金屬圓盤加熱變形分析。利用熱彈性力學平衡方程、幾何方程、物理方程，按照軸對稱原則建立了金屬圓盤熱變形與溫度場的數(shù)學模型，得到薄板軸向位移與溫度的函數(shù)關(guān)系。為驗證數(shù)學模型的有效性，利用ANSYS軟件對結(jié)構(gòu)鋼材料（厚度為1mm，直徑為50mm）圓盤進行了有限元計算仿真。根據(jù)仿真結(jié)果與數(shù)學模型計算數(shù)據(jù)的比較，數(shù)學模型建立的溫度為自變量的位移函數(shù)符合仿真結(jié)果，上述理論為實際激光散斑干涉測溫、紅外表面測量等非破壞性內(nèi)推溫度計算提供了可行性依據(jù)。