關(guān)于中心極限定理的理解

李華燦　吳龍勝　李群芳

摘 要 正態(tài)分布是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的分布，其特點(diǎn)可概括為中間大兩頭小，文中具體論述如何從正態(tài)分布的應(yīng)用背景掌握“2”個(gè)中心極限定理。

關(guān)鍵詞 極限定理 單調(diào)不減 正態(tài)分布 中心極限定理

中圖分類號(hào)：O172.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1關(guān)于正態(tài)分布的基本介紹

正態(tài)分布是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的分布，其取值具有中間大兩頭小的特點(diǎn)，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中它嚴(yán)格的定義是：若隨機(jī)變量X具有概率密度，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為，其中，，正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的核心內(nèi)容，在二維連續(xù)性隨機(jī)變量、數(shù)字特征、中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的統(tǒng)計(jì)量分布以及區(qū)間估計(jì)等內(nèi)容中反復(fù)涉及，關(guān)于正態(tài)分布我們要把握以下兩點(diǎn)：一是一維正態(tài)分布的概率密度僅由兩個(gè)參數(shù)決定，即，其分別為該正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差;二是對(duì)于一般的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以通過標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來研究。

2從正態(tài)分布的應(yīng)用背景掌握“2”個(gè)中心極限定理

正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有非常重要的作用和地位，現(xiàn)實(shí)世界中許多實(shí)例均可以視為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，如各種測(cè)量的誤差、人的生理特征、工廠產(chǎn)品的尺寸、農(nóng)作物的收獲量、海洋波浪的高度、金屬線的抗拉強(qiáng)度、熱噪聲電流強(qiáng)度、學(xué)生們的考試成績等。一般而言，如果一隨機(jī)變量可看成眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加時(shí)，即，則隨機(jī)變量可看成服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。結(jié)合正態(tài)分布和隨機(jī)變量的數(shù)字特征的理論可知：，，因此可看成服從 的正態(tài)分布，基于此就很容易得到兩個(gè)中心極限定理：（1）設(shè)隨機(jī)變量，，…，，…相互獨(dú)立，且服從同一分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則由以上分析可知：當(dāng)，可看成服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。又

故，從而，則所對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)對(duì)任意的滿足。上述內(nèi)容就是同分布的中心極限定理，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)其值有專門的表可查。（2）又設(shè)服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，則有? ? ?，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。事實(shí)上，若，那么可表示成n個(gè)相互獨(dú)立的服0-1分布的隨機(jī)變量的和，即，故當(dāng)時(shí)，看成服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。又，，故，從而，故，于是可得。上述內(nèi)容即為德莫弗——拉普拉斯中心極限定理。

基金項(xiàng)目：江西省教改課題（JXJG-17-46-3）。

作者簡(jiǎn)介：李華燦（1985-），男，碩士，講師。

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