探索開放式數(shù)學教學

梅慧娟

開放式數(shù)學教學研究已經(jīng)進行了很多年。1971年，日本一個27人的學者群體，率先研究數(shù)學開放題的教學問題，并于1977年發(fā)表了名為《算術、數(shù)學課的開放式問題改善教學的新方案》的報告。隨著數(shù)學開放題成為中、高考的新題型，研究數(shù)學開放題的人越來越多。為了探索開放式數(shù)學教學，我從課外活動課到新課的講授，做了十分有益的開放式教學嘗試，由此，我認為目前的開放式數(shù)學教學研究應該是一個從數(shù)學開放題教學到開放式數(shù)學教學不斷漸進的過程。

一、數(shù)學開放題

1.數(shù)學開放題的概念

所謂開放題，國外叫做“open-ended problem”，即開放結果的問題。我們不應該狹義地去理解數(shù)學開放題，因為數(shù)學開放題是直接針對課堂教學改革而提出的，在研究數(shù)學開放題時，應該更多地考慮教學的因素。我認為：解決方向不唯一的數(shù)學題是數(shù)學開放題。因為它不僅僅考慮題，更重要的是考慮人，也就是說，它從數(shù)學和教學兩個方面來規(guī)定數(shù)學開放題。

2.數(shù)學開放題的基本類型

數(shù)學命題一般可以根據(jù)思維形式分成∶假設—推理—判斷三部分，據(jù)此數(shù)學開放題可分為4種基本類型。

（1）條件開放題：開放題未知的要素是假設;

例如：為使下列各式可以分解因式（整數(shù)范圍內(nèi)） ?可以取哪些整數(shù)？試分別寫出 幾個值.① ? ?②

（2）結論開放題：未知的要素是判斷。

例如：CD是 的斜邊AB上的高，盡可能找出圖形的形狀和大小之間存在的各種關系.

（3）策略開放題：未知的要素是推理;

例如：有一塊長4米，寬3米的園地，現(xiàn)要在園地上辟一個花圃，使花圃的面積是園地的一半，問如何設計？給出你設計的圖案并作出有關的計算.

（4）綜合開放題：有的問題只給出情景，其條件、解題方法與結論都要主體自行設定與尋找，這類題稱為綜合開放題。

二、開放式數(shù)學教學

1.開放式數(shù)學教學的特點

（1）開放式數(shù)學教學有利于發(fā)掘每個學生的數(shù)學潛能。

（2）開放式數(shù)學教學有利于學生更多地交流與合作。

（3）開放式數(shù)學教學有利于滿足學生的心理需要。

（4）開放式數(shù)學教學有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。

2.開放式數(shù)學教學方法

（1）培養(yǎng)學生數(shù)學語言的開放性，提高學生數(shù)學語言表達能力。

數(shù)學語言是培養(yǎng)學生良好的個性品質(zhì)和初步的辨證唯物主義觀點的有效途徑。通過對適應日常生活、參加生產(chǎn)和進一步學習三個方面所必須的代數(shù)、幾何的基礎知識的學習和基本技能的培養(yǎng)，逐步掌握和豐富優(yōu)美的數(shù)學語言。通過師生對話、學生討論、課堂練習等形式充分表達出來。因此，我引導學生重視∶①提高口頭語言表達能力，注意簡潔性;②提高文字語言表達能力，注意書寫的嚴謹性;③提高圖形語言、符號語言和文字語言的轉化能力。

（2）重視學生能力的培養(yǎng)，全面實施開放式數(shù)學教學。

在開放式數(shù)學教學中，要培養(yǎng)學生三個方面十種能力。第一個方面是基本能力，它包括運算能力、空間能力和邏輯思維能力;第二個方面是一般能力，它包括觀察能力、理解能力、記憶能力和應用能力;第三個方面是特殊能力，它包括學生個體的自學能力、抽象能力和探究能力。

①培養(yǎng)學生的求同思維能力

求同思維是從已知材料中進行比較、歸納、總結，得出規(guī)律性的知識，尋找問題的同一答案，進行聯(lián)想與類比，這與培養(yǎng)學生的求同思維密切相關。

在“相似三角形”的教學中，我讓學生把“全等三角形”的相關知識進行比較，找出異同點，如“相似三角形”的判定與“全等三角形”判定的SAS，ASA，AAS，SSS等有些相似，但也有所區(qū)別，可以讓學生通過類比得出結論。

②培養(yǎng)學生逆向思維能力

在教學中，除了向?qū)W生進行正向思維訓練外，還應不失時機地設計逆向性問題，培養(yǎng)學生逆向思維能力，使兩者相互促進。實踐中，我設計了這樣的開放問題：當條件變化時，結論如何變化？即矩形（菱形、正方形、梯形、等腰梯形、對角線垂直的四邊形、對角線相等的四邊形等）各邊中點依次連結而成什么樣的四邊形？另外，還可以設計為：當結論變化時要求條件如何？即要依次連結四邊中點得到的四邊形為矩形（菱形、正方形）時，條件應如何變化？最后，可以問學生：結論能否為梯形，為什么？這樣的設計就迫使學生做逆向探求，思維要求更高，逆向思維能力得到培養(yǎng)。

③增強學生思維的批判性

由于開放題的結論常常是未知的或不確定的，有的有待于猜想，有的存在多種可能，這就為培養(yǎng)學生思維的批判性提供了極好的機遇與素材。在“圓”的教學中，有這樣的題：相交兩圓的公共弦長為24，兩圓半徑分別為15和20，求圓心距。有部分學生能夠應用所學的知識作答，結果有兩種答案，但大部分學生處于困惑狀態(tài)，于是，我積極引導學生進行討論，在爭議中變得聰明起來，通過“批判自己”，使學生思維的批判性不斷完善與提高。

④提高學生思維的創(chuàng)造性

教學中通過多角度、多方位、多層次地探求解題思路和方法，開闊學生的思路。由于開放題常會給思維的定向帶來困難，這就要求學生既掌握常規(guī)的思維過程，又能獨巨匠心，出奇制勝。

例如：已知a≠b，3a2+4a-1=0， ，求 的值。本題可用常規(guī)法求出a、b 后代入求值;但引導學生用a、 構造一個一元二次方程，由根與系數(shù)關系，輕松求解。

在初中數(shù)學教材中，有很多內(nèi)容與物理、化學、生物、歷史、地理等相聯(lián)系，這就不但要求數(shù)學教師在熟悉和掌握教學課標的同時，還要了解相關學科的知識，切實教好數(shù)學內(nèi)容，使數(shù)學課向物理、化學、生物、歷史、地理等學科進行教學開放，做到數(shù)學教學為相關學科的教學服務，增強學生橫向?qū)W習數(shù)學的積極性，提高創(chuàng)新思維能力，真正把數(shù)學變成各學科不可缺少的基礎課程。實踐證明開放式數(shù)學教學是可為的，是值得我們認真、深入探索的。