指導(dǎo)建模，提升解決數(shù)學(xué)問題能力

江蘇省淮州中學(xué) 李錦國(guó)

建模能力是學(xué)生綜合能力的重要組成，建模能力的培養(yǎng)不僅可以幫助學(xué)生內(nèi)化對(duì)新知的系統(tǒng)認(rèn)知，更能促進(jìn)學(xué)生深度領(lǐng)會(huì)和理解知識(shí)，形成對(duì)數(shù)學(xué)的深層次認(rèn)識(shí)。為此，我們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要不斷滲透數(shù)學(xué)建模思想的教育，引導(dǎo)學(xué)生真正融入數(shù)學(xué)的內(nèi)在。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)模型有：方程模型、函數(shù)模型和幾何模型等等，建立這三種模型的基礎(chǔ)是對(duì)題干條件進(jìn)行分析，探究其中的等量關(guān)系、變量關(guān)系和位置關(guān)系。下面就結(jié)合具體的例題對(duì)如何探究這三種關(guān)系，切實(shí)地提高學(xué)生的建模能力展開論述。

一、分析等量關(guān)系，建立方程模型

等量及不等關(guān)系是生活中最常見到的數(shù)學(xué)關(guān)系，在生活實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景，如何指導(dǎo)學(xué)生提煉出題干中的等量關(guān)系，正確地列出方程是教師的重要任務(wù)。在根據(jù)數(shù)學(xué)等量關(guān)系建立方程模型時(shí)，最首要的任務(wù)就是先找到題干中給出了幾種變量，然后依次分析每一種變量所對(duì)應(yīng)的等量及不等關(guān)系，之后列出多元方程組進(jìn)行求解。

比如，在講解“不等關(guān)系與不等式”這一小節(jié)的內(nèi)容時(shí)，就指導(dǎo)學(xué)生分析題干中的不等關(guān)系，列出方程組模型，解決問題。有習(xí)題如下：某地需要租車接待旅行團(tuán)290 名旅客，共有100 件行李，計(jì)劃租用甲、乙兩種車共8 輛，甲型車可以載客40 人和10 件行李，乙型車最多載客30 人和行李20 件，求出共有幾種租車方案。在這一題中的不等關(guān)系需要根據(jù)生活常識(shí)提煉得出，最后租用的車必須能夠滿足載290 旅客和100 件行李的需求。所以可以設(shè)租用甲車x輛，則乙車為(8-x)輛，可以列出方程，從而得出最終結(jié)果。

由此可見，指導(dǎo)學(xué)生分析題干條件，探究等量關(guān)系的能力是提高同學(xué)們數(shù)學(xué)方程建模本領(lǐng)的重要手段。“授人以魚不如授人以漁”，教師在講解時(shí)更重要的是教給同學(xué)們建模的方法，而不是簡(jiǎn)單地將結(jié)果展示給學(xué)生，因此在課堂中，教師應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合例題引導(dǎo)學(xué)生探究題干中的等量關(guān)系，建立方程模型進(jìn)行求解。

二、梳理變量關(guān)系，建立函數(shù)模型

當(dāng)多元方程組難以解決問題時(shí)就可以嘗試建立二次函數(shù)模型，梳理題干中的變量關(guān)系，設(shè)出關(guān)鍵未知數(shù)，然后根據(jù)變量關(guān)系列出正確的二次函數(shù)解析式，根據(jù)相應(yīng)函數(shù)的特性，探究某一變量跟隨未知數(shù)的變化關(guān)系，求解其極值或者變化趨勢(shì)等一些常見問題。

可見，函數(shù)方程可以深入地利用函數(shù)的原理以及性質(zhì)求解生活中常見的最優(yōu)化問題，教給學(xué)生如何樹立變量關(guān)系，搭建函數(shù)模型，不僅可以幫助學(xué)生更深入地理解常見數(shù)學(xué)函數(shù)的表達(dá)和原理，最重要的是給同學(xué)們提供一種利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的思路，為學(xué)生未來的科研探究或者生活問題求解打下了基礎(chǔ)，更提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

三、討論位置關(guān)系，建立幾何模型

幾何知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要板塊，利用幾何原理求解實(shí)際應(yīng)用問題也是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要應(yīng)用。建立幾何模型的基礎(chǔ)是明確空間中的位置關(guān)系，結(jié)合所學(xué)的幾何知識(shí)原理對(duì)問題進(jìn)行求解。因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生搭建幾何模型時(shí)，應(yīng)該著重講解常用的位置關(guān)系以及如何利用這些關(guān)系聯(lián)想到所學(xué)的知識(shí)，從而完成模型的搭建。

比如，在講解了雙曲線的方程表示和基本性質(zhì)之后，就指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)解決實(shí)際問題：在相距為10v的A、B兩地偵測(cè)到同一爆炸聲響的時(shí)間差為6 秒，并且B點(diǎn)的聲強(qiáng)是A點(diǎn)的4倍(聲強(qiáng)與距離的平方成反比)，計(jì)算爆炸點(diǎn)到A、B中點(diǎn)的距離。這一位置關(guān)系就需要轉(zhuǎn)化為雙曲線的幾何模型求解。以A、B的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB連線作為橫軸，則可以得出爆炸點(diǎn)P滿足式子：||PA|-|PB||=6v，|PA|=2|PB|，并且|AB|=10v，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為已知一個(gè)雙曲線上的某一點(diǎn)距離曲線和兩個(gè)焦點(diǎn)的距離滿足|PA|=2|PB|，因此可以確定該點(diǎn)的坐標(biāo)為(v,v)。

由此可見，幾何模型的搭建可以快速地解決一些利用其他模型難以解決的問題，可以利用幾何模型為空間位置問題和其他的數(shù)學(xué)模型搭建一個(gè)知識(shí)橋梁，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組、函數(shù)模型或者解析幾何的知識(shí)展開求解。通過幾何模型解決實(shí)際問題不僅能夠優(yōu)化解題思路，更可以助力學(xué)生幾何空間思維的發(fā)展，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

綜上所述，數(shù)學(xué)模型思維是解決實(shí)際問題的重要紐帶，可以實(shí)現(xiàn)理論知識(shí)到實(shí)際問題求解的快速轉(zhuǎn)換，有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題本領(lǐng)。因此，教師應(yīng)該加強(qiáng)指導(dǎo)學(xué)生的建模能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)如何分析題干中的數(shù)學(xué)等量關(guān)系、變量之間的函數(shù)關(guān)系以及幾何空間中的位置關(guān)系，提升學(xué)生的建模能力，發(fā)展其核心素養(yǎng)。