基于加權(quán)聯(lián)合靈敏度方法的損傷識(shí)別研究

汪振東 紹興文理學(xué)院土木工程系

1 引言

近年來(lái)，在民用、機(jī)械和航空等眾多工程界中，利用實(shí)測(cè)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)已成為一個(gè)較為熱門的研究方向[1～4]。在目前已經(jīng)提出的眾多根據(jù)實(shí)測(cè)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行的靈敏度分析方法中，將頻率靈敏度與振型靈敏度進(jìn)行共同分析的聯(lián)合靈敏度方法有著良好的發(fā)展前景[5]。頻率與振型聯(lián)合靈敏度在無(wú)誤差的情況下對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的檢測(cè)定位較為精確，但是在有誤差影響的情況下計(jì)算結(jié)果還是存在較大的誤差，而實(shí)際工程中誤差是必然存在不可避免的，因此，對(duì)于聯(lián)合靈敏度在有誤差影響下的改進(jìn)有著極其重要的意義。在通過(guò)靈敏度方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別時(shí)，往往會(huì)碰到奇異矩陣的計(jì)算，而奇異矩陣的計(jì)算結(jié)果常常導(dǎo)致誤差很大，為解決該問(wèn)題，學(xué)者們提出了嶺估計(jì)方法來(lái)進(jìn)行結(jié)果修正，可以在很大程度上提高參數(shù)估計(jì)的可靠性和穩(wěn)定性。本文在振型和頻率聯(lián)合靈敏度方法的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行加權(quán)處理，進(jìn)而得到一種新的加權(quán)聯(lián)合靈敏度方法，再通過(guò)嶺估計(jì)的方法對(duì)新方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，并通過(guò)一個(gè)有31個(gè)單元的結(jié)構(gòu)模型對(duì)新的加權(quán)聯(lián)合靈敏度方法進(jìn)行驗(yàn)證。

2 頻率與振型的聯(lián)合靈敏度方法

本文所涉及的靈敏度方法主要是通過(guò)得到結(jié)構(gòu)的頻率矩陣和振型矩陣的改變量，從而聯(lián)合計(jì)算得到靈敏度。而固有頻率的平方即是特征值，在求解特征值靈敏度問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)重要的約束方程，公式（1）和（2）：

式中：

K——結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；

M— —結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；

λj— —結(jié)構(gòu)的第j階特征值；

Φj— —結(jié)構(gòu)的第j階特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。當(dāng)結(jié)構(gòu)第i個(gè)單元發(fā)生結(jié)構(gòu)損傷時(shí)，由公式（1）和式（2）對(duì)第i個(gè)單元的損傷參數(shù)求導(dǎo)即可得到：

式中：

αi— —第i個(gè)單元的損傷系數(shù)；

n— —所取的結(jié)構(gòu)的自由度；

Ki——第i個(gè)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

結(jié)構(gòu)某個(gè)單元在損傷前后的特征值的變化量Δλ就等于該單元損傷后的特征值去減損傷前的特征值，結(jié)構(gòu)損傷前后的特征向量的變化量ΔΦ也是一樣，即：

而結(jié)構(gòu)的一階特征值和特征向量利用泰勒級(jí)數(shù)展開，結(jié)構(gòu)損傷前后的特征值和特征向量變化量又可以近似表示成：

式中：

N— —結(jié)構(gòu)所有的總單元數(shù)。在這基礎(chǔ)上根據(jù)結(jié)構(gòu)所測(cè)的前m階模態(tài)和r階自由度，結(jié)構(gòu)的特征值和特征向量的一階靈敏度S1和S2可以表示成：

將公式（9）和式（10）聯(lián)立，特征值特征向量?jī)蓚€(gè)靈敏度通過(guò)拉直運(yùn)算可以合并到一個(gè)矩陣中從而組成一個(gè)新的聯(lián)合靈敏度：

該靈敏度就是特征值與特征向量的聯(lián)合靈敏度，也就是頻率與振型的聯(lián)合靈敏度。

3 加權(quán)聯(lián)合靈敏度方法

頻率與振型的聯(lián)合靈敏度計(jì)算方法同時(shí)繼承了頻率靈敏度和振型靈敏度的優(yōu)點(diǎn)，在不需要測(cè)得所有頻率和陣型的時(shí)候就可以較為準(zhǔn)確的判斷是否損傷，通過(guò)廣義逆運(yùn)算甚至可以計(jì)算結(jié)構(gòu)的損傷程度。

但是在實(shí)際運(yùn)用中，頻率與振型的聯(lián)合靈敏度矩陣中的特征值和特征向量部分在數(shù)量級(jí)上往往有104左右的差距，數(shù)量級(jí)上的巨大差距在一定程度上造成了計(jì)算時(shí)的誤差。因此，在計(jì)算時(shí)在特征值部分乘上一個(gè)權(quán)系數(shù)q[如公式（12），通過(guò)縮小特征值和特征向量之間數(shù)量級(jí)上的差距從而縮小計(jì)算誤差。而這個(gè)權(quán)系數(shù)應(yīng)在一定的范圍內(nèi)時(shí)起到較小誤差的作用，當(dāng)超出這個(gè)范圍時(shí)，反而會(huì)增加誤差。

通過(guò)對(duì)加權(quán)頻率和振型聯(lián)合靈敏度廣義逆矩陣的計(jì)算可以得到結(jié)構(gòu)各單元的損傷程度。

嶺估計(jì)方法可以很大程度上提高參數(shù)估計(jì)的可靠性和穩(wěn)定性。本文將加權(quán)帶入嶺估計(jì)方法中，再對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正。

4 算例分析

建立如圖1所示的一個(gè)有31個(gè)單元的結(jié)構(gòu)模型，其中彈性模量E=200GPa，材料密度ρ=7.8×103kg/m3，橫向和豎向的直桿的長(zhǎng)度L=1m，桿件的截面積A=0.004m2，結(jié)構(gòu)的左下角和右下角均為固支，振型的誤差取3%，頻率的誤差取0.3%，計(jì)算時(shí)只選取結(jié)構(gòu)的前2階模態(tài)和前10個(gè)自由度。通過(guò)減少單元的剛度矩陣來(lái)模擬損傷，再通過(guò)加權(quán)聯(lián)合靈敏度方法計(jì)算，然后通過(guò)嶺估計(jì)進(jìn)行修正。

圖1 31個(gè)單元結(jié)構(gòu)模型圖

將第15號(hào)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚋p小30%來(lái)模擬第15號(hào)單元損傷。由于加權(quán)聯(lián)合靈敏度矩陣的條件數(shù)在權(quán)系數(shù)取1×10-4左右時(shí)最小，因此本算例中權(quán)系數(shù)取1×10-4，通過(guò)嶺估計(jì)修正后的結(jié)果如圖2。加權(quán)聯(lián)合靈敏度矩陣的條件數(shù)為289.7656，而未加權(quán)聯(lián)合靈敏度矩陣條件數(shù)往往在105以上，由此可以看出加權(quán)方法可以很大程度上減小加權(quán)聯(lián)合靈敏度矩陣的條件數(shù)。由圖2中可以看出在模態(tài)參數(shù)較少和有噪聲干擾的情況下，加權(quán)聯(lián)合靈敏度方法可以準(zhǔn)確地判斷出損傷位置，且對(duì)于第15號(hào)單元損傷程度的計(jì)算在0.26左右浮動(dòng)，與真實(shí)值0.3較為接近。

圖2 q=1×10-4時(shí)計(jì)算結(jié)果圖

5 結(jié)論

頻率與振型聯(lián)合靈敏度在無(wú)誤差的情況下計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，但是在有誤差影響的情況下計(jì)算結(jié)果誤差較大，而其誤差大的原因之一是計(jì)算過(guò)程中的靈敏度矩陣特征值部分和特征向量部分?jǐn)?shù)量級(jí)上有104左右的差距，數(shù)量級(jí)上的巨大差距導(dǎo)致矩陣的條件數(shù)極大，從而影響計(jì)算結(jié)果。本文提出的加權(quán)頻率與振型靈敏度的方法從這個(gè)角度入手，通過(guò)給靈敏度矩陣的特征值部分加權(quán)來(lái)減小特征值和特征向量部分的差距，從而減小誤差。

通過(guò)一個(gè)有31個(gè)單元的模型算例，模擬單個(gè)單元損傷并進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明條件數(shù)在權(quán)系數(shù)取到1×10-4時(shí)最小且在該取值下可以準(zhǔn)確的識(shí)別損傷位置，未損傷單元的誤差和損傷單元的的損傷程度計(jì)算誤差上都較小，但在損傷程度的計(jì)算方面還存在一定的誤差，如何進(jìn)一步縮小誤差還有待研究。