例談“皮克定理”在高考中的考查
——數(shù)學(xué)文化原創(chuàng)題（四）

揚(yáng)州市新華中學(xué) 常國(guó)慶

近些年來，以數(shù)學(xué)文化為背景的高考題不斷呈現(xiàn)，逐步形成了“依托數(shù)學(xué)史料，嵌入數(shù)學(xué)命題，彰顯數(shù)學(xué)文化”的高考命題特色和亮點(diǎn)．

數(shù)學(xué)文化怎么考？數(shù)學(xué)文化題怎么解？這是同學(xué)們普遍關(guān)心的問題．

根據(jù)近些年的高考數(shù)學(xué)試卷分析，數(shù)學(xué)文化題是另一種形態(tài)下的常規(guī)題，同學(xué)們不必害怕，將它當(dāng)作一道應(yīng)用題來解就行了．如果了解試題的文化背景，將會(huì)縮短你的思維過程，解題也會(huì)更簡(jiǎn)潔．下面以“皮克定理”為例，說說數(shù)學(xué)文化在高考中的呈現(xiàn)方式．

問題1：圖1中的每個(gè)小正方形面積都是1，那么圖中S△ABC＝？

圖1

問題2：如果給你一個(gè)不規(guī)則的任意多邊形呢？割補(bǔ)起來就不那么簡(jiǎn)單了！

早在1899年，奧地利數(shù)學(xué)家喬治·亞歷山大·皮克（GeorgAlexanderPick）發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面上的任意一個(gè)多邊形，只要它的每一個(gè)頂點(diǎn)都在單位正方形網(wǎng)格的“格點(diǎn)”上，它的面積都有類似的巧算方法．皮克沿著這個(gè)思路進(jìn)一步推導(dǎo)得到了一個(gè)超級(jí)簡(jiǎn)單的面積計(jì)算公式：記多邊形內(nèi)部所含的格點(diǎn)數(shù)為I，多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)為B，則多邊形面積這就是皮克定理．

一、皮克定理的證明

皮克定理的證明比較麻煩，這里先證明特殊情形（格點(diǎn)矩形、格點(diǎn)三角形）下的皮克定理，然后用歸納法證明一般情形（格點(diǎn)多邊形）下的皮克定理．

1.格點(diǎn)矩形的皮克定理

證明：設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別是m和n，容易從圖2上看出S=mn，I=（m-1）·（n-1），B=2（m+n），因?yàn)椋╪-1）+（m+n）-1=mn，所以

圖2

2.格點(diǎn)三角形的皮克定理

證明：將三角形放置在矩形中，并使得矩形至少一個(gè)頂點(diǎn)與三角形的一個(gè)頂點(diǎn)重合．這樣，格點(diǎn)三角形在矩形中有五種不同的情形，如圖3：

圖3

（1）證第①情形

如圖3①設(shè)AB，BC，CA內(nèi)含有的格點(diǎn)數(shù)分別為a，b，c，且因△ABC中有I個(gè)內(nèi)格點(diǎn)，則矩形ABCD就有2I+c個(gè)內(nèi)格點(diǎn)．故有

類似可證明②③④⑤情形．

3.格點(diǎn)多邊形的皮克定理

證明：對(duì)于一個(gè)有k（k＞3）條邊的格點(diǎn)多邊形．首先證明這樣的多邊形必有一條含于其內(nèi)部的對(duì)角線．事實(shí)上，如果是凸多邊形，則其結(jié)論是顯然的；如果不是凸多邊形，我們假定在某一頂點(diǎn)處P的內(nèi)角大于180°，這時(shí)從P點(diǎn)出發(fā)的一條射線，讓它掃過多邊形內(nèi)部時(shí)，必定會(huì)碰到另一個(gè)頂點(diǎn)（否則，多邊形將會(huì)包圍了一個(gè)面積為無窮大的區(qū)域），而這就決定了一條以P為端點(diǎn)位于多邊形的對(duì)角線l．

現(xiàn)設(shè)格點(diǎn)多邊形M有I個(gè)內(nèi)格點(diǎn)和B個(gè)邊界格點(diǎn)，而對(duì)角線l把M分成兩個(gè)簡(jiǎn)單的格點(diǎn)多邊形M1和M2，它們分別有I1和I2個(gè)內(nèi)格點(diǎn)，B1和B2個(gè)邊界格點(diǎn)，假定在l上除端點(diǎn)外有x個(gè)格點(diǎn)，則B=B1+B2-2-2x，I=I1+I2+x．

令S，S1，S2分別表示M，M1，M2的面積，則

二、皮克定理的應(yīng)用

1.高考試題中的皮克定理

例1（2013湖北文科卷）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)．若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng)．例如圖4中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S=1，N=0，L=4．

（1）圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L分別是_______；

（2）已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71，L=18，則S=_______．

圖4

例2（2011北京理科卷）設(shè)A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．記N（t）為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N（t）的值域?yàn)椋?）．

A.｛9，10，11｝ B.｛9，10，12｝ C.｛9，11，12｝ D.｛10，11，12｝

2.皮克定理的原創(chuàng)題

下面是新編的2道題，供大家練習(xí)．這兩道題我們用常規(guī)方法都可以解決．相信你弄懂皮克定理內(nèi)容后，可以有一個(gè)新的思路．畢竟多嘗試一題多解，可以拓寬我們的思路啊！試一試用多種方法解決吧！

題1．不等式2x-3＜y＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_______個(gè)．

題2．在平面直角坐標(biāo)系中，若P（x，y）的坐標(biāo)x，y都是整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)．直線x+y=n（n為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸圍成的△ABC內(nèi)包含有_______個(gè)格點(diǎn)，此時(shí)△ABC的面積為_______．

答案與解析：

題1．3．

分析：首先，將不等式2x-3＜y＜3轉(zhuǎn)化為不等式組畫出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，圖5，然后在可行域中找出正整數(shù)點(diǎn)（1，1），（1，2），（2，2）．

本題用皮克定理來解：S△ABC=9，而邊界格點(diǎn)個(gè)數(shù)B=12，可得內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)I=4，而（1，0）不是正整數(shù)解，所以，正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是3個(gè)．

圖5

圖6

題2．

分析：本題通過畫圖，如圖6，結(jié)合數(shù)列知識(shí)，從特殊到一般歸納出△ABC內(nèi)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為：