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      例談“皮克定理”在高考中的考查
      ——數(shù)學(xué)文化原創(chuàng)題(四)

      2019-12-20 08:04:46揚(yáng)州市新華中學(xué)常國(guó)慶
      關(guān)鍵詞:皮克格點(diǎn)多邊形

      揚(yáng)州市新華中學(xué) 常國(guó)慶

      近些年來,以數(shù)學(xué)文化為背景的高考題不斷呈現(xiàn),逐步形成了“依托數(shù)學(xué)史料,嵌入數(shù)學(xué)命題,彰顯數(shù)學(xué)文化”的高考命題特色和亮點(diǎn).

      數(shù)學(xué)文化怎么考?數(shù)學(xué)文化題怎么解?這是同學(xué)們普遍關(guān)心的問題.

      根據(jù)近些年的高考數(shù)學(xué)試卷分析,數(shù)學(xué)文化題是另一種形態(tài)下的常規(guī)題,同學(xué)們不必害怕,將它當(dāng)作一道應(yīng)用題來解就行了.如果了解試題的文化背景,將會(huì)縮短你的思維過程,解題也會(huì)更簡(jiǎn)潔.下面以“皮克定理”為例,說說數(shù)學(xué)文化在高考中的呈現(xiàn)方式.

      問題1:圖1中的每個(gè)小正方形面積都是1,那么圖中S△ABC=?

      圖1

      問題2:如果給你一個(gè)不規(guī)則的任意多邊形呢?割補(bǔ)起來就不那么簡(jiǎn)單了!

      早在1899年,奧地利數(shù)學(xué)家喬治·亞歷山大·皮克(GeorgAlexanderPick)發(fā)現(xiàn),對(duì)于平面上的任意一個(gè)多邊形,只要它的每一個(gè)頂點(diǎn)都在單位正方形網(wǎng)格的“格點(diǎn)”上,它的面積都有類似的巧算方法.皮克沿著這個(gè)思路進(jìn)一步推導(dǎo)得到了一個(gè)超級(jí)簡(jiǎn)單的面積計(jì)算公式:記多邊形內(nèi)部所含的格點(diǎn)數(shù)為I,多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)為B,則多邊形面積這就是皮克定理.

      一、皮克定理的證明

      皮克定理的證明比較麻煩,這里先證明特殊情形(格點(diǎn)矩形、格點(diǎn)三角形)下的皮克定理,然后用歸納法證明一般情形(格點(diǎn)多邊形)下的皮克定理.

      1.格點(diǎn)矩形的皮克定理

      證明:設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)和寬分別是m和n,容易從圖2上看出S=mn,I=(m-1)·(n-1),B=2(m+n),因?yàn)椋╪-1)+(m+n)-1=mn,所以

      圖2

      2.格點(diǎn)三角形的皮克定理

      證明:將三角形放置在矩形中,并使得矩形至少一個(gè)頂點(diǎn)與三角形的一個(gè)頂點(diǎn)重合.這樣,格點(diǎn)三角形在矩形中有五種不同的情形,如圖3:

      圖3

      (1)證第①情形

      如圖3①設(shè)AB,BC,CA內(nèi)含有的格點(diǎn)數(shù)分別為a,b,c,且因△ABC中有I個(gè)內(nèi)格點(diǎn),則矩形ABCD就有2I+c個(gè)內(nèi)格點(diǎn).故有

      類似可證明②③④⑤情形.

      3.格點(diǎn)多邊形的皮克定理

      證明:對(duì)于一個(gè)有k(k>3)條邊的格點(diǎn)多邊形.首先證明這樣的多邊形必有一條含于其內(nèi)部的對(duì)角線.事實(shí)上,如果是凸多邊形,則其結(jié)論是顯然的;如果不是凸多邊形,我們假定在某一頂點(diǎn)處P的內(nèi)角大于180°,這時(shí)從P點(diǎn)出發(fā)的一條射線,讓它掃過多邊形內(nèi)部時(shí),必定會(huì)碰到另一個(gè)頂點(diǎn)(否則,多邊形將會(huì)包圍了一個(gè)面積為無窮大的區(qū)域),而這就決定了一條以P為端點(diǎn)位于多邊形的對(duì)角線l.

      現(xiàn)設(shè)格點(diǎn)多邊形M有I個(gè)內(nèi)格點(diǎn)和B個(gè)邊界格點(diǎn),而對(duì)角線l把M分成兩個(gè)簡(jiǎn)單的格點(diǎn)多邊形M1和M2,它們分別有I1和I2個(gè)內(nèi)格點(diǎn),B1和B2個(gè)邊界格點(diǎn),假定在l上除端點(diǎn)外有x個(gè)格點(diǎn),則B=B1+B2-2-2x,I=I1+I2+x.

      令S,S1,S2分別表示M,M1,M2的面積,則

      二、皮克定理的應(yīng)用

      1.高考試題中的皮克定理

      例1(2013湖北文科卷)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖4中△ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4.

      (1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是_______;

      (2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=_______.

      圖4

      例2(2011北京理科卷)設(shè)A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù),其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn),則函數(shù)N(t)的值域?yàn)椋?).

      A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12}

      2.皮克定理的原創(chuàng)題

      下面是新編的2道題,供大家練習(xí).這兩道題我們用常規(guī)方法都可以解決.相信你弄懂皮克定理內(nèi)容后,可以有一個(gè)新的思路.畢竟多嘗試一題多解,可以拓寬我們的思路啊!試一試用多種方法解決吧!

      題1.不等式2x-3<y<3表示的平面區(qū)域內(nèi),正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_______個(gè).

      題2.在平面直角坐標(biāo)系中,若P(x,y)的坐標(biāo)x,y都是整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).直線x+y=n(n為正整數(shù))與坐標(biāo)軸圍成的△ABC內(nèi)包含有_______個(gè)格點(diǎn),此時(shí)△ABC的面積為_______.

      答案與解析:

      題1.3.

      分析:首先,將不等式2x-3<y<3轉(zhuǎn)化為不等式組畫出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,圖5,然后在可行域中找出正整數(shù)點(diǎn)(1,1),(1,2),(2,2).

      本題用皮克定理來解:S△ABC=9,而邊界格點(diǎn)個(gè)數(shù)B=12,可得內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)I=4,而(1,0)不是正整數(shù)解,所以,正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是3個(gè).

      圖5

      圖6

      題2.

      分析:本題通過畫圖,如圖6,結(jié)合數(shù)列知識(shí),從特殊到一般歸納出△ABC內(nèi)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)為:

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