蘇 玖

一、真題展現(xiàn)

（2019全國Ⅱ卷第15題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b=6，a=2c，則△ABC的面積為_______．

二、思維延伸

本題考查了余弦定理和三角形的面積公式．利用余弦定理得到c2，然后根據(jù)面積公式就能求出結(jié)果．如果將條件“a=2c”去掉，則題目變?yōu)椋?/p>

（改編1）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b=6，，則△ABC的

本題將余弦定理、三角形面積公式及基本不等式綜合在一起進(jìn)行考查，這也是高考命題的重要題型．后面將給出兩種不同的解題策略，其中第一種策略較簡單．我們還可以求三角形的周長取值范圍，于是改編為：

（改編2）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b=6，則△ABC的周長的取值范圍為_______．

以上三題中角B是給出的，如果隱藏在有關(guān)邊角等式中，可以改編為：

（改編3）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a=6，求△ABC的面積最大值．

本題將正弦定理、余弦定理、二倍角公式、誘導(dǎo)公式及基本不等式整合在一起，先利用相關(guān)公式求角，再利用余弦定理和基本不等式求三角形面積的最大值．如果增加一個(gè)條件，問題就可以改編為：

（改編4）銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=8．記△ABC的面積為S，已知．求△ABC面積的取值范圍．

運(yùn)用余弦定理，可求得角A的大??；再運(yùn)用余弦定理求出a用c表示，由銳角△ABC的充要條件建立關(guān)于c的不等式，從而求出c的取值范圍，由三角形的面積公式，可得所求范圍．本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及化簡運(yùn)算能力．本題是由2019全國Ⅲ卷第18題改編而成．

以上幾題都是利用三角形中三角函數(shù)知識求面積最值或取值范圍．我們也可以由三角形的面積的最大值求邊長，例如，

（改編5）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且邊長a=m為常數(shù)，△ABC的面積S的最大值為，求m的值．

其實(shí)本題是2019全國Ⅲ卷第18題與全國Ⅱ卷第15題整合并改編而成，考查三角函數(shù)的有關(guān)公式，這是由已知角和面積的最大值求邊長．當(dāng)然也可以由定邊長和面積的最大值求定角的大小．于是改編為：

（改編6）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=4，角A為定值，△ABC的面積S的最大值為4，求A的值．

上述幾道題都是研究三角形的角、邊與面積最值或范圍問題，他們之間存在內(nèi)在聯(lián)系．從上述求解過程可以看出題目改編的歷程．也可以將邊替換為內(nèi)角平分線長或中線長，再來研究相關(guān)最值問題，可以研究最小值嗎？于是改編為：

（改編7）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=sin（B-C），角B的平分線BD的長為2，（1）求△ABC面積的最小值；（2）求三角形周長的最小值．

本題將兩角和差三角函數(shù)公式與三角形面積有機(jī)結(jié)合，同時(shí)又考查利用判別式法或者導(dǎo)數(shù)法或者基本不等式法等求最值，但基本不等式法較簡潔明了．本題也是由2018年江蘇卷第13題改編而成，也可以由最值求角平分線的長．

（改編8）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，其中S為△ABC的面積．（1）求A的大??；（2）若角A的平分線AD的長為定值，且△ABC面積的最小值2，求AD的長度．

已知最值反過來求線段長度，其基本思路是，先在定長線段情況下求出面積的最小值，然后再利用最小值建立方程，從而求出定長，也可以由最值求定角的大小或相關(guān)三角函數(shù)式的值．

（改編9）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，定角A的平分線為AD，且AD=2，△ABC的面積S的最小值為8，求的值．

本題通過三角形的面積找出相鄰兩邊b，c與角A的等式關(guān)系，利用基本不等式求出面積的最小值，從而求出角A（或某一三角函數(shù)值），再利用兩角和差三角公式求解．利用角平分線的大小還可以研究三角形周長的最小值．

圖1

（改編10）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanB，tanC是關(guān)于x的方程（常數(shù)m＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分線為，求△ABC的周長l的最小值．

三、點(diǎn)撥解析

真題解析：由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB，因?yàn)閎=6，a=2c，

所以，36=（2c）2+c2-4c2cos，即c2=12，所以，S△ABC=acsinB=c2sinB=6

改編1：由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號成立．又因?yàn)?，故△ABC的面積最大值為

改編2：由正弦定理得，因此三角形的周長為又因?yàn)橐虼?，所以?2＜l≤18，故三角形的周長取值范圍為（12，18］．

如果本題△ABC為銳角三角形，那么三角形的周長范圍又是什么呢？由于且故三角形周長的取值范圍為

改編3：因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，，再由二倍角公式及誘導(dǎo)公式得，又因?yàn)?＜A＜π，所以，所以再由余弦定理得36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，即bc≤12，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號成立．又因?yàn)椋省鰽BC的面積最大值為

改編4：因?yàn)?，由余弦定理及面積公式得因此，又因?yàn)?＜A＜π，所以又因?yàn)閎=8，因此

于是問題轉(zhuǎn)化為求c的取值范圍．由余弦定理得a2=64+c2-8c，再利用銳角三角形的充要條件a2+b2＞c2且b2+c2＞a2且a2+c2＞b2建立關(guān)于c的不等式，即c2-8c+64+c2＞64且c2-8c+64+64＞c2且64+c2＞c2-8c+64，解之得4＜c＜16，所以故△ABC面積的取值范圍為

改編5：因?yàn)?，即為，由正弦定理得于是所以又因?yàn)锳，B∈（0，π），因此，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc，再結(jié)合基本不等式知m2≥2bc+bc=3bc，所以，即．又因?yàn)椋?，解之得，m=6．

改編6：由余弦定理及基本不等式得16=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA，所以bc≤因此因?yàn)榻茿為定值，所以，即4=得sinA=1-cosA，由二倍角公式得又因?yàn)樗?/p>

改編7：（1）在△ABC中，因?yàn)閟inA=sin［π-（B+C）］，于是sin（B+C）=sin（BC），展開化簡整理得cosBsinC=0．又因?yàn)?＜sinC≤1，因此cosB=0，所以又因?yàn)镾△ABC=S△BCD+S△ABD，因此即ac=2（a+c）．由基本不等式得即ac≥16，因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)等號成立，所以△ABC面積的最小值為8．

另法：因?yàn)閍c=2（a+c），所以因?yàn)樗岳门袆e式法求解，方程a2-Sa+2S=0有解，因此Δ=S2-8S≥0，即S≥8（S≤0），所以S的最小值為8，此時(shí)a=4，c=4．

改編8：（1）因?yàn)?，由?shù)量積定義知即，而0＜A＜π，于是

（2）因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ACD，因此設(shè)AD=p，即p（b+c）=bc，由基本不等式得，所以bc≥4p2．又因?yàn)橛谑牵碨的最小值為．由題意知即p=所以AD的長度為

改編9：因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ACD，因此即由基本不等式知

改編10：首先求出m的取值范圍，其次利用根與系數(shù)關(guān)系和兩角和與差的正切公式求出B+C，即得角A的大小，再利用面積代換尋找b，c的等式關(guān)系，從而求出b+c的取值范圍，最后利用余弦定理找出周長與b+c的函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值．

（1）因?yàn)閠anB，tanC是關(guān)于x的方程（常數(shù)m＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，因此Δ=3m2-4m-4＞0，解得m＞2．又tanB+tanC=，tanBtanC=m+1，于是即，所以

（2）由面積公式有，S△ABC=S△ABD+S△ACD，化簡整理得即2（b+c）=bc，由基本不等式知，，即b+c≥8．再由余弦定理得，a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，所以周長，再將2（b+c）=bc代入，令x=b+c得．求導(dǎo)得，因此f（x）在［8，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）的最小值f（8）=12．故三角形的周長的最小值為12．

四、回顧悟道

這組高考改編題，是通過對一道全國高考填空題的條件進(jìn)行減弱或加強(qiáng)使其形成新的考題，如改編1在原題中減少一個(gè)條件下，改求三角形面積的最大值；改編3～6變更原題條件，由面積的最大值求邊或角，從而找出一般結(jié)論．一般地，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=m為常數(shù)，角A為定值，研究△ABC的面積S的最大值．事實(shí)上，因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼胢2=b2+c2-2bccosA，結(jié)合基本不等式有，m2≥2bc-2bccosA，因此bc≤故面積最大值為其實(shí)，我們借助平面幾何知識，不難理解，當(dāng)BC和角A為定值時(shí)，點(diǎn)A的軌跡是圓上弦BC所對的一段弧，顯然AB=AC，即△ABC為等腰三角形時(shí)，A到BC的距離最大，從而面積有最大值．改編7～10四題可以研究一般情況，即△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，定角A的平分線為AD，且AD=p，研究△ABC的面積S（或者周長）的最小值與A，p的關(guān)系式．以面積為例，一般地，若定角A的平分線為AD，且AD=p，由面積公式有，S△ABC=S△ABD+S△ACD，因此即