“學(xué)材再建構(gòu)”的智慧實(shí)施
——以“二次函數(shù)”起始課為例

■徐 勤

教學(xué)案例

一、背景分析

“學(xué)材再建構(gòu)”是李庾南老師倡導(dǎo)的“三學(xué)”（學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成）的重要組成部分，指師生根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)，為實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效益最大化，對各種顯性學(xué)材和隱性學(xué)材進(jìn)行主動加工重構(gòu)。

在“二次函數(shù)”起始課教學(xué)中，很多教師的教法是從大量的實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)模型，然后研究定義并對定義進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)。學(xué)生的整個學(xué)習(xí)過程幾乎是前面一些問題的再練習(xí)。由于學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)后，對研究函數(shù)的基本思路已大致了解，筆者認(rèn)為“二次函數(shù)”起始課采用單元教學(xué)，順應(yīng)了學(xué)生原有知識體系，也順應(yīng)了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。

二、教學(xué)實(shí)踐

活動設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，類比生成概念。

1.用20m長的籬笆圍成一個矩形花圃，設(shè)矩形花圃的一邊AB長為xm。思考：若改變x的值，矩形的哪些量隨著x的變化而變化？

問題1：若把鄰邊BC的長記作y，你能寫出y與x之間的關(guān)系嗎？

追問：y是x的函數(shù)嗎？為什么？這是什么函數(shù)？什么是一次函數(shù)？我們是從哪些方面研究一次函數(shù)的？

問題2：矩形的面積s與x之間有什么關(guān)系？它們之間是否也具有函數(shù)關(guān)系？為什么？我們將這個關(guān)系式化簡，得s=-x2+10x。s是x的一次函數(shù)嗎？

師：從本節(jié)課開始，我們研究一種新的函數(shù)——二次函數(shù)。（板書課題）

2.觀察類比，形成概念。

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫作二次函數(shù)。其中，x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

設(shè)計(jì)意圖：在教授二次函數(shù)的定義時，筆者沒有采用教材上所呈現(xiàn)的方式進(jìn)行常規(guī)教學(xué)，而是先從幾個實(shí)際問題入手，列出關(guān)系式，再讓學(xué)生觀察其特征或共同點(diǎn)，然后歸納出二次函數(shù)的定義，最后對概念進(jìn)行拓展練習(xí)。這是基于以下三點(diǎn)進(jìn)行考量的：一是學(xué)情，同類型的訓(xùn)練教學(xué)中已經(jīng)涉及，學(xué)生已熟悉；二是對二次函數(shù)的定義不必過多地進(jìn)行辨析和拓展，這些與前面的方程的定義和一次函數(shù)的概念屬于同類型練習(xí)；三是一個開放的問題情境有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，這也是新課標(biāo)所提倡的。在這個導(dǎo)入過程中，二次函數(shù)的定義由學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自我概括而成，是基于已有經(jīng)驗(yàn)生成新知，從注重思維結(jié)果向注重思維過程轉(zhuǎn)變。

活動設(shè)計(jì)（二）構(gòu)建框架，明確研究方向。

1.類比一次函數(shù)研究內(nèi)容，建構(gòu)二次函數(shù)章節(jié)知識框架，明確研究方向。

2.回顧一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究思路。

（1）通過列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖像，觀察圖像，得到函數(shù)性質(zhì)；

（2）從特殊的y=kx（k≠0）到一般的y=kx+b（k≠0）的研究思路；

（3）討論兩種情況（k＞0，k＜0），歸納。

活動設(shè)計(jì)（三）繪制圖像，探究函數(shù)性質(zhì)。

1.類比聯(lián)想，明確研究方法。

學(xué)生繪制y=3x的圖像。

教師提問：如果圖像上有點(diǎn)（m，n），那么橫坐標(biāo)為-m的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為多少？說明什么？能總結(jié)一下圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的代數(shù)刻畫嗎？那么圖像關(guān)于y軸對稱的代數(shù)刻畫呢？y=3x的圖像過原點(diǎn)且僅在第一、三象限，這種區(qū)域性能用代數(shù)刻畫嗎？可以借用這樣的判斷方法去驗(yàn)證當(dāng)k＞0的正比例函數(shù)。

2.代數(shù)思考，探究數(shù)形模型。

探究特殊二次函數(shù)y=x2的圖像。學(xué)生列表描點(diǎn)畫出圖像。

結(jié)論：函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；因變量的值應(yīng)該都不小于0。

網(wǎng)友們的第一反應(yīng)也是不太相信，有的調(diào)侃說：我超意興準(zhǔn)備接手山東男籃，有的比較悲觀：難道濟(jì)南找不到一家可以接手山東男籃的私企了嗎？

教師提問：由函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和表格中所列數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，解釋為什么圖像會有這樣的特點(diǎn)：

（1）過原點(diǎn)（0，0），其余各點(diǎn)均在x軸的上方；

（2）無最高點(diǎn)，原點(diǎn)為最低點(diǎn)；

（3）圖像關(guān)于y軸對稱等。

設(shè)計(jì)意圖：探究二次函數(shù)的圖像，讓學(xué)生在“大致→精致→一致”中穿行，就是一個思維從抽象到具體的活動過程。學(xué)生在互動過程中，有獨(dú)立思考、合作交流、實(shí)踐操作，總是在歷練自己的思維，感受思維的魅力。

3.幾何觀察，提煉函數(shù)性質(zhì)。

師：畫出函數(shù) y=-x2、y=-2x2的圖像。觀察這些拋物線有何共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。它們之間是否有著某些聯(lián)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生在畫圖之前先預(yù)測圖像的特征，然后再動手畫圖驗(yàn)證。

二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像特征與函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)y=ax2(a≠0)中， ||a越大，拋物線開口越??； ||a越小，拋物線開口越大。

設(shè)計(jì)意圖：對于具備一定抽象能力的九年級學(xué)生來說，二次函數(shù)的圖像所承載的教學(xué)價值絕不是用“列表、描點(diǎn)、連線”畫圖，而是讓學(xué)生根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，在不需要畫出精確圖像時，就能判斷函數(shù)圖像的一些特征和大致形狀，這是一種思維價值。當(dāng)學(xué)生畫出比較精確的圖像后，與想象的圖像進(jìn)行對比，能讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的樂趣和思維的魅力。這樣的思維經(jīng)驗(yàn)還會延伸到后續(xù)各種結(jié)構(gòu)的二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖像研究上，不僅讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中創(chuàng)新發(fā)展，而且還培養(yǎng)了其“由數(shù)想形”的思維能力，以達(dá)到眼中無圖、心中有圖的境界。

三、教學(xué)反思

（一）在類比中生長。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的結(jié)構(gòu)體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。本節(jié)課不僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)，同時重視了學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)方法。一次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)和方法為本節(jié)課提供了重要的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在實(shí)施教學(xué)的過程中，筆者很好地抓住這樣的契機(jī)，通過類比一次函數(shù)的研究框架自主建構(gòu)本章的研究脈絡(luò)，讓學(xué)生明晰研究的內(nèi)容和方向，感受數(shù)學(xué)的整體性。在研究圖像性質(zhì)之前，由正比例函數(shù)的式結(jié)構(gòu)和形結(jié)構(gòu)展開類比聯(lián)想生成本節(jié)課的新知，實(shí)現(xiàn)了課堂的高效益。

（二）在實(shí)踐中完善。

在以往的聽課過程中，很多同仁在學(xué)生畫圖出現(xiàn)錯誤時，會直接告訴學(xué)生應(yīng)該用平滑的曲線連接。事實(shí)上，學(xué)生對為什么是曲線是不理解的。所以本節(jié)課在學(xué)生由數(shù)猜形、釋形的過程中，基本由學(xué)生暢所欲言，充分暴露其思考中的一些問題，在描點(diǎn)連線后也展示了一些有問題的圖像，然后引導(dǎo)學(xué)生思考這些問題如何修正，比如到底是用光滑的曲線還是折線，讓學(xué)生充分展開討論，最后通過用幾何畫板密集取點(diǎn)的方式驗(yàn)證學(xué)生討論的結(jié)果，完善了學(xué)生對二次函數(shù)圖像的認(rèn)識。

（三）在探究中內(nèi)化。

學(xué)生在研究得出y=x2的性質(zhì)后，再研究y=的性質(zhì)時，已經(jīng)從使用先前單一的方法變成了用多種思考方法，比如有列表、描點(diǎn)、畫圖進(jìn)行探究的，也有從解析式的特點(diǎn)入手，先說出圖像的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，還有通過列表，利用表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比研究的。學(xué)生能通過本節(jié)課的探究活動將知識內(nèi)化成解決新問題的策略方法，無疑實(shí)現(xiàn)了本節(jié)課的教學(xué)價值。

本文系江蘇省“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“初中課堂學(xué)程生態(tài)化建設(shè)研究”（課題編號：E—c/2016/19）階段性研究成果之一。

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它是一部將生命生長理念遷移到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的理論創(chuàng)新圖書，也是一部踐行生長數(shù)學(xué)教學(xué)主張的實(shí)踐操作用書，還是一部彰顯數(shù)學(xué)生命力的科普指導(dǎo)用書，更是一部讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落地生根的教學(xué)研究用書。

本書作者卜以樓是生長數(shù)學(xué)的設(shè)計(jì)者、倡導(dǎo)者、探索者、實(shí)踐者，江蘇省特級教師，正高級教師。全書展示他對生長數(shù)學(xué)的12個教學(xué)主張，30個經(jīng)典案例，其中有半數(shù)被中國人民大學(xué)復(fù)印報刊資料全文轉(zhuǎn)載。

書名：生長教學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張

作者：卜以樓

出版社：陜西師范大學(xué)出版總社