王煜東，許承東，鄭學(xué)恩，孫光輝，簡(jiǎn)益梅

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京 100081)

0 引言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)展，對(duì)導(dǎo)彈末端精確打擊的要求越來(lái)越高。落角是導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)速度矢量與水平面之間的夾角，落角越大，對(duì)目標(biāo)的擊頂效果越好，對(duì)落角提出更高的要求，能夠使導(dǎo)彈末制導(dǎo)段的參數(shù)更加合理。國(guó)內(nèi)外大多采用帶落角約束的制導(dǎo)律來(lái)對(duì)落角加以限制，該方法主要分三類[1]:一是采用最優(yōu)制導(dǎo)律的方法，如馮艷清[2]等人設(shè)計(jì)了帶落角約束的三維導(dǎo)引律，可以對(duì)靜止目標(biāo)及低速目標(biāo)以一定攻擊角度進(jìn)行攻擊；張友安[3]等人結(jié)合落角、目標(biāo)攻角及脫靶量設(shè)計(jì)了一種二次型最優(yōu)制導(dǎo)律，能夠滿足在高精度的前提下以一定落角進(jìn)行攻擊。二是采用滑模制導(dǎo)律，Harl N[4]等人采用視線角整形技術(shù)推導(dǎo)出具有攻擊時(shí)間與攻擊角度約束的制導(dǎo)律，但是制導(dǎo)律形式十分復(fù)雜，制導(dǎo)指令需要大量迭代，只能離線完成；楊峰[5]等人提出了帶落角約束的模糊變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，滿足了制導(dǎo)精度與落角要求。三是采用改進(jìn)比例導(dǎo)引法，Lee C H[6]等人在傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法上加入落角約束，提出了帶落角約束的偏置比例導(dǎo)引，但是該方法僅對(duì)固定目標(biāo)有較好的效果，且還需要對(duì)剩余飛行時(shí)間進(jìn)行估計(jì)，實(shí)用性受限。高峰[7]等人設(shè)計(jì)了一種三維聯(lián)合偏置比例導(dǎo)引律，采用時(shí)變比例系數(shù)可對(duì)高速目標(biāo)與低速目標(biāo)分別攔截，是一種普適的制導(dǎo)律，但是在攔截初始段的需用過載要求比較大，并且還需要精確的估計(jì)剩余時(shí)間才能滿足落角精度。比例導(dǎo)引法理論成熟，成果豐富，工程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，因此文中采用比例導(dǎo)引法，在理論上推導(dǎo)落角的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立落角預(yù)測(cè)模型，根據(jù)模型結(jié)果選取恰當(dāng)?shù)谋壤禂?shù)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)計(jì)目標(biāo)以一定的落角進(jìn)行打擊，只需在導(dǎo)彈平飛段選擇合適的攻擊參數(shù)與導(dǎo)彈比例系數(shù)即可。

為簡(jiǎn)化分析，文中以圖像制導(dǎo)導(dǎo)彈[8]為例，導(dǎo)彈最大可用過載為5，攻擊目標(biāo)為敵方坦克，命中目標(biāo)時(shí)落角大于30°時(shí)即可達(dá)到理想效果。

1 尋初比例導(dǎo)引法

比例導(dǎo)引法是指導(dǎo)彈在攻擊目標(biāo)的導(dǎo)引過程中，導(dǎo)彈速度矢量旋轉(zhuǎn)的角速度與目標(biāo)線旋轉(zhuǎn)角速度成比例。導(dǎo)彈在飛行過程中過載時(shí)刻在變化，傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法無(wú)法保證命中時(shí)的落角，因此提出一種改進(jìn)比例導(dǎo)引法，該方法通過尋找滿足過載約束與落角約束的初始值，其中落角會(huì)隨著初始目標(biāo)線角q0增大而增大，過載會(huì)隨著轉(zhuǎn)比距離r0增大而減小，因此需要找到合適的q0及r0，使導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)既滿足過載約束，又能符合落角要求。

1.1 建立導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

按比例導(dǎo)引時(shí)，導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組為：

(1)

當(dāng)導(dǎo)彈在鉛垂面內(nèi)從某一高度平飛到開始啟動(dòng)比例導(dǎo)引法進(jìn)行末制導(dǎo)，導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖中M0，M1，Mk分別是導(dǎo)彈由平飛段轉(zhuǎn)到比例導(dǎo)引的初始位置，中間某一時(shí)刻位置，及命中目標(biāo)時(shí)的位置；T為目標(biāo)位置；初始距離為r0；選取Ax軸作為基準(zhǔn)線，初始目標(biāo)線角為q0，命中目標(biāo)時(shí)目標(biāo)線角為qk，導(dǎo)彈速度矢量及目標(biāo)速度矢量與目標(biāo)線之間的夾角為前置角，分別記作η，ηT；導(dǎo)彈速度矢量與目標(biāo)速度矢量與基準(zhǔn)線之間的夾角為導(dǎo)彈彈道角及目標(biāo)航向角，記σ，σT。

1.2 落角的幾何關(guān)系

落角即導(dǎo)彈速度矢量與水平線之間的夾角，由圖1可知，落角近似等于命中目標(biāo)時(shí)目標(biāo)線角qk，由于qk未知，但是由幾何關(guān)系可得：

qk=q0+(qk-q0)

(2)

將qk-q0記作目標(biāo)線偏轉(zhuǎn)角△q，得到落角公式：

qk=q0+Δq

(3)

由于初始q0為已知量，求得目標(biāo)線偏轉(zhuǎn)角Δq的范圍，即可得出落角qk的范圍。

1.3 Δq的解析表達(dá)

將式(1)中的第二個(gè)方程單獨(dú)分析：

(4)

考慮到命中目標(biāo)時(shí)距離為0，所以當(dāng)rk=0時(shí)，式(4)化簡(jiǎn)為：

Vsinη=VTsinηT

(5)

將幾何關(guān)系ηT=qk-σTk代入上式得到：

Vsinη=VTsin(qk-σTk)

(6)

由比例導(dǎo)引法定義可得：

η-η0=(1-K)(qk-q0)

(7)

聯(lián)立式(6)與式(7)，消去導(dǎo)彈速度前置角η，并將導(dǎo)彈速度與目標(biāo)速度的速度比p引入該方程可得：

(8)

將式(8)右端qk-q0記作△q得到目標(biāo)線偏轉(zhuǎn)角的解析表達(dá)式為：

(9)

由式(9)可以看出，目標(biāo)線偏轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)比距離r0無(wú)關(guān)。

為簡(jiǎn)化分析，飛行速度保持恒定V=240 m/s，導(dǎo)彈射程為1～10 km，最大法向過載為n=5，導(dǎo)引頭最大探測(cè)距離為3 km，導(dǎo)引頭瞬時(shí)視場(chǎng)為4°×3°[9]。將數(shù)值進(jìn)行仿真，畫出彈道曲線如圖2所示。

圖2 不同轉(zhuǎn)比距離的彈道曲線對(duì)比

觀察到僅改變初始距離r0，q0為30°保持不變，兩次計(jì)算出的落角均是38.99°，驗(yàn)證落角與r0無(wú)關(guān)。

1.4 落角預(yù)測(cè)模型

觀察到式(9)中，式右端包含3個(gè)參數(shù)K、p、η0，及一個(gè)未知量qk，無(wú)法精確求得目標(biāo)線偏轉(zhuǎn)角的大小，但是由于sinqk在實(shí)際情況中有取值范圍，即：

sinq0

(10)

將式(10)代入式(9)中，能得到Δq的取值范圍為：

Δqmin<Δq<Δqmax

(11)

這兩個(gè)端點(diǎn)數(shù)值均可以根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出，當(dāng)導(dǎo)彈從平飛轉(zhuǎn)到比例導(dǎo)引的時(shí)候，平飛段的速度前置角η0正好等于開始轉(zhuǎn)比的初始目標(biāo)線角q0，所以Δq僅與比例系數(shù)K、速度比p、初始目標(biāo)線角q0有關(guān)，可以看成這3個(gè)參數(shù)的函數(shù)：

Δq=f(K,p,q0)

(12)

首先確定速度比p，考慮到坦克機(jī)動(dòng)的影響，設(shè)坦克分別以20 m/s的速度和-20 m/s的速度勻速前進(jìn)，畫出這兩種彈道曲線如圖3所示。

圖3 不同速度比的彈道曲線對(duì)比

圖3中紅點(diǎn)是坦克初始位置，綠線是坦克前后兩種運(yùn)動(dòng)軌跡，綠圈是以坦克初始位置為圓心，以坦克最大速度20 m/s行駛時(shí)，在導(dǎo)彈命中目標(biāo)大約5 s內(nèi)所能到達(dá)最遠(yuǎn)的圓。分析可得，當(dāng)坦克迎面向?qū)椙斑M(jìn)時(shí)落角更易滿足30°的約束，當(dāng)坦克背離導(dǎo)彈前進(jìn)時(shí)落角最難達(dá)到30°約束。所以只需要讓最難滿足落角約束的情況滿足條件，那么其他情況(坦克無(wú)論向什么方向以多大速度均可)都會(huì)滿足條件。所以之后將坦克速度按+20 m/s進(jìn)行模擬。

假設(shè)導(dǎo)彈速度240 m/s，坦克速度20 m/s，坦克沿直線全速逃離導(dǎo)彈的情況下，初始r0=2 400 m，q0=30°，V=240 m/s，VT=20 m/s，K=4，根據(jù)數(shù)值進(jìn)行仿真計(jì)算得出表1結(jié)果。

表1 仿真實(shí)例 (°)

當(dāng)比例系數(shù)K不變，速度比p不變，可以根據(jù)不同初值q0求得最終目標(biāo)線偏轉(zhuǎn)角的范圍，見表2。

表2 K=4，p=12時(shí)的落角預(yù)測(cè) (°)

由表2可知，當(dāng)要求滿足落角大于30°約束時(shí)，初始目標(biāo)線角應(yīng)大于24°，這樣最終加上最小偏轉(zhuǎn)角Δqmin后為30.4°，滿足落角約束條件。

表3 K=3，p=12時(shí)的落角預(yù)測(cè) (°)

由表3可以看出，當(dāng)要求滿足落角大于30°約束時(shí)，初始目標(biāo)線角應(yīng)大于22°，此時(shí)加上最小偏轉(zhuǎn)角Δqmin后為30.6°，滿足落角約束條件。

1.5 比例系數(shù)K的范圍

將式(4)對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

因?yàn)棣鞘菑膓0變化到0，逐漸減小，所以當(dāng)η=0時(shí)，式(17)右端有最大值，比例系數(shù)K應(yīng)大于右端最大值。

將η=0代入式(17)得到：

(18)

圖4 導(dǎo)彈過載曲線

可以發(fā)現(xiàn)在最初始階段過載已經(jīng)為5.6左右，超過預(yù)計(jì)的最大可用過載5。

將過載表達(dá)式(16)與法向運(yùn)動(dòng)方程(4)聯(lián)立可得：

(19)

因?yàn)閚k≤nmax，可知比例系數(shù)K有上限，即

(20)

式中：rmax=3 000 m(導(dǎo)引頭最大識(shí)別距離)，g=9.8 m/s2，nmax=5，V=240 m/s，VT=-20 m/s，η=ηT=30°，經(jīng)計(jì)算可得：K<4.712。

綜上，比例系數(shù)K的范圍應(yīng)滿足公式

(21)

1.6 滿足戰(zhàn)技指標(biāo)的初值范圍

在過載約束下影響導(dǎo)彈的落角主要有兩個(gè)參數(shù)，一個(gè)是初始目標(biāo)線角q0，另一個(gè)是轉(zhuǎn)比距離r0?？紤]到落角指標(biāo)可根據(jù)落角預(yù)測(cè)模型得到，并且由于導(dǎo)彈受到過載限制，轉(zhuǎn)比距離不能太小，所以在開始啟動(dòng)比例導(dǎo)引時(shí)，需用過載要小于等于最大可用過載，則可以按照導(dǎo)彈最大可用過載來(lái)估算轉(zhuǎn)比距離。

由式(21)可得：

(22)

在啟動(dòng)比例導(dǎo)引之前，導(dǎo)彈保持平飛，所以在初始時(shí)刻η=ηT=q0，可以得到：

(23)

根據(jù)公式可以得到啟動(dòng)比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的最小距離rmin，令比例系數(shù)K=4，nmax=5，經(jīng)式(23)計(jì)算出最小轉(zhuǎn)比距離r0，由于在落角預(yù)測(cè)中當(dāng)K=4時(shí)得到初始目標(biāo)線角大于24°時(shí)會(huì)滿足最終落角要求，以初始目標(biāo)線角q0為橫坐標(biāo)，r0為縱坐標(biāo)，畫出曲線如圖5所示。

圖5 K=4時(shí)最小轉(zhuǎn)比距離與q0的關(guān)系

在圖5藍(lán)色曲線左上方的點(diǎn)，表示既滿足落角要求，又符合過載約束的初始彈道參數(shù)，曲線右下方的點(diǎn)表示僅滿足落角的要求，但是不滿足過載約束。同理，可以畫出當(dāng)比例系數(shù)K=3時(shí)的最小轉(zhuǎn)比距離r0與q0的關(guān)系，如圖6所示。

2 小結(jié)

文中根據(jù)理論分析得出落角公式，并建立落角預(yù)測(cè)模型。在計(jì)算彈道之前，僅根據(jù)初始值即可估算出落角的大致范圍，對(duì)導(dǎo)彈平飛段的平飛高度有指導(dǎo)性的作用。在實(shí)例中結(jié)合過載約束，選取合適的比例系數(shù)K，得出導(dǎo)彈需用過載變化趨勢(shì)。在給定最大可用過載的前提下，得出轉(zhuǎn)比距離、初始目標(biāo)線角之間的

關(guān)系，根據(jù)仿真圖找出既滿足的過載約束，又符合落角條件的參數(shù)r0及q0，同時(shí)以期望落角命中目標(biāo)。該方法原理簡(jiǎn)單，工程上容易實(shí)現(xiàn)。但仍存在一些問題，如沒有完全挖掘出導(dǎo)彈的潛力，該模型僅考慮了最難滿足的落角要求，即目標(biāo)遠(yuǎn)離導(dǎo)彈全速逃跑的情況，如果不是該情況，那么落角會(huì)更大，將會(huì)得到更好的擊頂效果，這樣會(huì)造成導(dǎo)彈性能的浪費(fèi)。

圖6 K=3時(shí)最小轉(zhuǎn)比距離與q0的關(guān)系