剛體力學(xué)積分習(xí)題中體元選取方法*

丁學(xué)成 馮曉敏

(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 河北 保定 071002)

1 引言

力學(xué)課程是物理學(xué)及相關(guān)專業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)課，也是學(xué)生步入大學(xué)后的第一門物理課程，部分學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難，特別是剛體力學(xué)部分，中學(xué)與大學(xué)學(xué)習(xí)方法不同以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱是困擾學(xué)生的兩個主要因素. 通過多年講授力學(xué)課程發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱這一因素更為關(guān)鍵，學(xué)生本來對定積分就比較陌生，到學(xué)習(xí)計算剛體的質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動慣量和摩擦力矩時，所給定義式為三重或二重積分的形式，考慮到學(xué)生沒有學(xué)習(xí)多重積分，而在例題和習(xí)題中只計算一些簡單的定積分，即通過合理選取體元或面元將三重或二重積分簡化成定積分[1～3]. 但對在何種條件下，如何選取體元或面元才能將三重積分或二重積分的定義式簡化成定積分來計算沒有詳細(xì)的解題過程，致使學(xué)生理解不到位，只能采用“模仿式”的方法做題，遇到?jīng)]見過相類似的例題時就束手無策了. 另外，在定積分的計算過程中，有時用直角坐標(biāo)，有時用柱坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系，學(xué)生對如何選取合適的坐標(biāo)系進(jìn)行積分也感到困難.

本文從物理概念出發(fā)，結(jié)合截面積分法和二次積分法，并考慮到不同坐標(biāo)系下體元或面元的具體表示形式，實現(xiàn)了三重或二重積分的定義到定積分計算的銜接.

2 計算剛體質(zhì)心位置過程中體元的選取方法

剛體質(zhì)心位置rc的定義式為

(1)

其中dV為質(zhì)元的體積，ρ為剛體dV處的密度，r是質(zhì)元dV的位置矢量. 在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心位置坐標(biāo)記作xc,yc和zc，dV寫成dxdydz[4]，則有

(2)

就數(shù)學(xué)而言，式(2)是3個三重積分，三重積分計算常用的方法有三次積分法、投影法(“先一后二”法)和截面法(“先二后一”法)，其中截面法是一種計算三重積分的最簡單、最快速的方法[5]，將此方法應(yīng)用到剛體質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動慣量的計算中，使積分過程變得非常簡單.

先來介紹一下截面法，設(shè)空間閉區(qū)域

V=(x,y,z)|c≤z≤d,(x,y)∈Dz

則有

(3)

如果在被積區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)僅是z的函數(shù)，則

(4)

其中σ(z)為截面的面積，記作面元，把σ(z)dz記作體元.

力學(xué)中計算質(zhì)心時，一般只需要計算一個分量，另外兩個分量可以根據(jù)對稱性求出[1]，并且密度ρ多為常數(shù)或僅隨需要積分這個坐標(biāo)變化，例如需要通過積分得到xc，則密度ρ僅是x的函數(shù)，即ρ=ρ(x). 以需要計算xc為例，則式(2)中分子的被積函數(shù)可以寫成fx=xρ(x)僅是x的函數(shù)，分母被積函數(shù)ρ也只是x的函數(shù)，則有

(5)

面元σ(x)是垂直于坐標(biāo)軸x的平面，或者說σ(x)內(nèi)各點的x值相等，x是體元σ(x)dx的位置，這與質(zhì)心位置定義式中坐標(biāo)x是體元dV的坐標(biāo)相一致.

則

圖1 圓錐體體元示意圖

由式(5)得

(6)

根據(jù)對稱性可以得到

yc=zc=0

如果密度ρ為常數(shù)，則式(5)可以簡寫成

(7)

3 計算剛體轉(zhuǎn)動慣量過程中體元的選取方法

剛體轉(zhuǎn)動慣量的體元選取方法和質(zhì)心位置計算相似，但是剛體定軸轉(zhuǎn)動和無滑滾動都需要圓柱體對柱體軸線的轉(zhuǎn)動慣量.由于圓柱體的積分側(cè)面為柱面，一般用柱坐標(biāo)積分比較方便.剛體轉(zhuǎn)動慣量I的定義式為

I=?Vr2ρdV

其中r為軸到dV的距離，ρ為dV處的密度，在柱坐標(biāo)系下dV=rdθdrdz. 如果密度ρ僅是r的函數(shù)，可以看出，在轉(zhuǎn)動慣量定義式中被積函數(shù)fθ,r,z=r2ρ(r)僅是r的函數(shù)，則可以采用截面法進(jìn)行積分，這時轉(zhuǎn)動慣量的定義式可以寫成

(8)

其中R為圓柱體半徑，σ(r)為截面的面積，記作面元，把σ(r)dr記作體元.

例如求半徑為R，高為h，密度ρ=ρr(r≤R)的圓柱體對柱體軸線的轉(zhuǎn)動慣量. 在距軸線為r處，取一厚度為dr,高為h的薄圓筒作為體元，如圖2所示. 可以看出，σr=2πrh,則

(9)

圖2 圓柱體體元示意圖

若密度ρ為常數(shù)，則

其中m=ρπR2h為圓柱體的質(zhì)量.

4 計算摩擦力矩過程中面元的選取方法

質(zhì)點所受力矩M的定義式為M=r×F，其中r為從軸或點(參考點)到力的作用點的矢量，F(xiàn)為質(zhì)點受到的合外力. 假設(shè)力均勻分布在一個平面內(nèi)，任一面元所受摩擦力為df，r為從軸或點指向df的作用點的矢量，設(shè)受力區(qū)域(積分區(qū)域)為S，則整個平面受到力矩M可以寫成

M=?Sr×df

(10)

要想把式(10)的積分結(jié)果計算出來，首先將矢量積分變成標(biāo)量積分，這就要求所有矢量元(r×df)的方向相同或?qū)ζ溥M(jìn)行分解，典型習(xí)題為摩擦力矩的計算.

例如將一半徑為R，面密度為σ的薄圓盤放在摩擦系數(shù)為μ的水平桌面上，求其繞垂直于桌面的中心軸O轉(zhuǎn)動時的摩擦力矩. 整個圓盤各點均受到摩擦力，若圓盤按如圖3所示方向轉(zhuǎn)動，盤上各點的摩擦力矩均垂直于圖面指向外，并且r⊥df，df可以寫成df=μgσdS，因此可以將式(10)矢量積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分，有

M=?Srdf=?SrμgσdS

(11)

圖3 圓盤面元示意圖

本題的積分區(qū)域為圓域，一般采用極坐標(biāo)比較方便，在極坐標(biāo)情況下，面元dS=rdθdr，并且被積函數(shù)fθ,r=fr，僅是r的函數(shù)，二重積分可以變成二次積分

(12)

針對本例題，fr=rμgσ，Ar=2πr，代入到式(11)得

其中m為圓盤的質(zhì)量. 如果面密度σ和摩擦因數(shù)μ是r(r≤R)的函數(shù)，式(12)仍然適用.

5 結(jié)束語

利用三重積分的截面法和二重積分的二次積分法，實現(xiàn)了用三重或二重積分定義的定義式到定積分計算的銜接. 并注意到積分區(qū)域的側(cè)面為柱面時，使用柱坐標(biāo)比較方便；而積分區(qū)域為圓域時，使用極坐標(biāo)比較方便. 并通過例題詳細(xì)討論了用三重或二重積分定義的定義式到定積分計算的取元和解題過程.