馮桂群

“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題是適度抽象，謀求兒童思維的形象性與數(shù)學(xué)抽象性的協(xié)調(diào)統(tǒng)一?！盵1]而在實際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師往往比較重視借助動作表征和形象表征培養(yǎng)學(xué)生的動作思維和形象思維，但在如何借助言語和符號表征發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維方面，還重視不夠、研究不夠，導(dǎo)致在實際學(xué)習(xí)中，兒童的思維總是難以及時地由感性層面提升到理性層面，或是快速地由抽象層面穿梭到形象或是具象的層面，進(jìn)而影響學(xué)習(xí)效果的達(dá)成和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

那么，如何借助言語表征和符號表征，有效提高學(xué)生解決實際問題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，滲透抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想呢？下面就結(jié)合相關(guān)教學(xué)實踐，談?wù)勛约旱囊恍┳龇ㄅc想法。

一、言語與符號表征讓數(shù)學(xué)思維的“提升”事半功倍

我們在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“建模”活動時，首先要通過實物操作或手勢操作經(jīng)歷動作表征過程（已有相關(guān)活動經(jīng)驗積累的，此步可省略），之后通過想圖、畫圖、看圖等操作經(jīng)歷形象表征過程，其間要適時插入言語表述，以及之后的標(biāo)注符號或列表，書寫關(guān)系式、公式、算式等數(shù)學(xué)符號的表征活動，讓學(xué)生經(jīng)歷符號表征過程，使實物、手勢、圖形、言語和符號等直觀、半直觀、半抽象、抽象的多元表征，有序地成為學(xué)生思維的腳手架，使學(xué)生的思維順暢地由動作水平上升到表象水平直至抽象水平，使思維斷層自然消失，使思維的提升“事半功倍”。

1.讓數(shù)量關(guān)系的梳理唾手可得

數(shù)學(xué)是研究客觀數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，具有高度概括性、邏輯嚴(yán)密性、應(yīng)用廣泛性等特點。要想讓學(xué)生準(zhǔn)確理解某個具體問題的數(shù)量關(guān)系，借助擺弄學(xué)具或畫圖呈現(xiàn)，學(xué)生可能一下子就明白了，但要由此遷移到解決一類問題，尤其是當(dāng)實際問題中的數(shù)據(jù)很大，不可能通過擺一擺或畫一畫解決時，言語與符號表征就顯得特別重要了。

如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊的“假設(shè)策略”例2：在一個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。每個大盒比每個小盒多裝8個，大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？學(xué)生借助書上的示意圖和小組合作，很快找到了以下幾種方法：將1大盒看作1小盒，總量少8個，每小盒個數(shù)是（80—8）÷（5+1）=12（個）;將5小盒看作5大盒，球總數(shù)會多出5個8，每大盒個數(shù)用（80+5×8）÷（5+1）=20（個）;設(shè)每小盒有X個，每大盒有（X+8）個，方程是X+8+5X=80，同樣能算出結(jié)果。此時，筆者沒有讓學(xué)生就題論題、淺嘗輒止，而是引導(dǎo)學(xué)生深入反思：這3種解法都是緊緊抓住大盒和小盒間的什么關(guān)系來列方程或列算式的？于是在師生互動中，抓“總和句”列等式、抓“相差句”來假設(shè)的思路就形成了：

借助列關(guān)系式和標(biāo)注符號，假設(shè)的思路清晰而深刻。之后引導(dǎo)學(xué)生看著“可視化”的符號導(dǎo)圖，用簡潔的言語表述假設(shè)的兩種思路（略）。有了言語表征、符號表征的及時介入，學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上將數(shù)量分析符號化、可視化和流程化，使解題方法結(jié)構(gòu)化，并最終甩掉對“直觀圖示和小數(shù)目”的依賴，實現(xiàn)對深藏的和差關(guān)系的精準(zhǔn)把握和形式化表達(dá)。

2.讓算理算法的理解易如反掌

在教學(xué)乘法或除法的初步認(rèn)識時，教師會引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行擺小棒或做手勢的動作表征，之后借助看圖、想圖和畫圖等圖形表征來理解乘法或除法的具體含義，最后實現(xiàn)概念的內(nèi)化和符號化的表達(dá)。而當(dāng)學(xué)生的經(jīng)驗和知識積累到一定程度后，對算理和算法的理解與建構(gòu)就完全擺脫了現(xiàn)實模型和圖形表征，僅靠數(shù)學(xué)世界里的概念、判斷和推理來實現(xiàn)。此時，讓學(xué)生借助言語和符號表征來進(jìn)行抽象思維和演繹推理，就顯得尤為重要。

如筆者引導(dǎo)學(xué)生借助符號表征和言語表征，巧妙地“視聽”小數(shù)除法的算法和算理。在計算0.196÷0.56時，引導(dǎo)學(xué)生通過畫2組弧線和點3個小數(shù)點，清晰地表征小數(shù)點的處理過程，同時有條理地進(jìn)行言語表述：除數(shù)是小數(shù)，先將除數(shù)的小數(shù)點向右移動2位，使它變?yōu)檎麛?shù);要使商不變，被除數(shù)的小數(shù)點也要向右移動相同的位數(shù);商的小數(shù)點和被除數(shù)移動后的小數(shù)點對齊。同時追問：為什么除數(shù)和被除數(shù)的小數(shù)點都要向右移動2位？為什么商的小數(shù)點只能跟被除數(shù)移動后的小數(shù)點對齊？最后，引導(dǎo)學(xué)生用言語概括出小數(shù)除法的一般算法。至此，學(xué)生不僅掌握了小數(shù)除法的算法和算理，還感悟了滲透其中的轉(zhuǎn)化思想，提高了語言概括能力和有序思考能力，增強(qiáng)了用數(shù)學(xué)表征來思考數(shù)學(xué)的信心與技巧。

3.讓數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)水到渠成

在由實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的建模過程中，借助實物或手勢進(jìn)行的動作表征，以及借助想圖、看圖、畫圖來進(jìn)行的形象表征固然重要，但之后借助言語表述、符號標(biāo)注、列表列式等進(jìn)行的抽象表征更為重要。它甚至是建模成敗的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的重要抓手。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》i年級下冊的“長方形和正方形的面積計算”，由于教材中只安排學(xué)生被動地用l平方厘米的方格擺、量、算3個較小的長方形面積，學(xué)生的操作活動一直在低層次打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，做得多想得少，學(xué)生的動作思維跟形象思維、抽象思維間出現(xiàn)了斷層，教學(xué)效果欠佳。為此，我們引導(dǎo)學(xué)生按選方格、擺方格、算方格的步驟，分別去測量郵票、作業(yè)封面、教室地面的面積。測量中，引導(dǎo)學(xué)生由擺滿方格到只擺部分方格，再到用一個方格去擺，直至在頭腦中擺方格，思維難度逐步加大。而每次操作活動中，都引導(dǎo)學(xué)生邊看實物或圖形，邊有序進(jìn)行言語表述與符號填寫——“選面積l平方（）的方格去測量，每行擺（）個方格，擺（）行，一共是（ ）×（）方格，面積是（ ）”，從而強(qiáng)化了“求長方形面積，就是看一共包含多少個面積單位”的知識內(nèi)核，使面積計算模型的建構(gòu)水到渠成。借助與實物或圖形相對應(yīng)的言語與符號的及時抽象，數(shù)學(xué)思維的斷層瞬間彌合，學(xué)生的空間觀念真正實現(xiàn)由“一維”到“二維”的飛躍，并為以后學(xué)習(xí)用立方格去測量三維空間的物體體積，埋下了思維生長的種子，培育了結(jié)構(gòu)化認(rèn)知、系統(tǒng)性思維。

二、言語與符號表征讓數(shù)學(xué)思維的“穿越”靈動自如

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生及時實現(xiàn)由動作思維到形象思維再到抽象思維的提升，是數(shù)學(xué)建模能否順利達(dá)成的關(guān)鍵;而在應(yīng)用模型過程中，則要著重引導(dǎo)學(xué)生借助動作表征、形象表征，尤其是借助言語表征和符號表征，將實際問題由抽象變?yōu)樾蜗?、由繁雜變?yōu)楹唵?，將解題思路由模糊變?yōu)榍逦?、由?nèi)隱變?yōu)橥怙@、由艱澀變?yōu)榱鲿?，讓思維在具象、形象和抽象間順逆穿梭、自由跳躍、靈活轉(zhuǎn)換，進(jìn)而讓學(xué)生在實際運(yùn)用中更好地提升數(shù)學(xué)理解力和執(zhí)行力、培養(yǎng)實踐能力和創(chuàng)新精神。

1.讓解題思路的呈現(xiàn)一目了然

蘇教版數(shù)學(xué)教材中安排了解題策略的教學(xué)，目的是引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖、列舉、列表等策略成為思考的高手。其實，在解答一些老大難問題時，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，用共同約定的符號或言語來“固化”解題流程，讓解題思路的呈現(xiàn)一目了然、耳熟能詳。

比如，在解答“小強(qiáng)用5米長的鐵絲做了8個完全一樣的‘九連環(huán)。做一個‘九連環(huán)需要鐵絲（）/（）米，1米長的鐵絲可以做（）/（）個？”等有關(guān)分?jǐn)?shù)除法的

實際問題時，學(xué)生一開始很容易出錯。因為他們將這類問題跟“求A是B的幾分之幾”的問題混為一談，常用問題中先出現(xiàn)的量，去除以后出現(xiàn)的量。為此，我們先以學(xué)生幼兒園時就會解答的問題“平均每人分得幾塊糖”為例，讓他們明確：最終求的是每份幾塊糖，不是每份幾個人，所以要將“糖的總塊數(shù)”平均分，關(guān)系式是“總塊數(shù)÷總?cè)藬?shù)”;同時讓學(xué)生用畫圈來關(guān)注問題中的計量單位，用交叉的箭頭進(jìn)行符號標(biāo)注（如圖3中的標(biāo)注），提醒自己是用后面的總數(shù)量去除以前面的總份數(shù);同時引導(dǎo)學(xué)生用言語表述：做一個‘九連環(huán)要鐵絲多少米，關(guān)鍵的單位名稱是“個”和“米”，要求每份是多少米，要用“總米數(shù)÷總個數(shù)”;1 米長的鐵絲可以做多少 ，關(guān)鍵的單位名稱是“個”和“米”，要求每份是多少個，要用“總個數(shù)÷總米數(shù)”。有了以上的符號標(biāo)注與言語表述，學(xué)生頓時醒悟，再想出錯也不可能了。

2.讓分率含義的解讀一清二楚

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)常常被認(rèn)為是最復(fù)雜的數(shù)。有研究者認(rèn)為，分?jǐn)?shù)是一些小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)困難的實際起點，并由此在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了兩極分化[2]。為了幫助學(xué)生攻破這一學(xué)習(xí)堡壘，尤其是幫助學(xué)生精準(zhǔn)解讀表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)——分率的含義，除了做手勢、畫圖形等方法外，筆者引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地用符號標(biāo)注和言語表述來理解分?jǐn)?shù)的含義，使學(xué)生在“守本分、抓份數(shù)“中思路澄澈、心如明鏡。

如在解答蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊的分?jǐn)?shù)乘法問題：吳大伯家去年收白果520千克，收的核桃比白果多2/5。收的核桃比白果多多少千克？收核桃多少千

克？筆者引導(dǎo)學(xué)生借助符號清晰解讀分率2/5的含義，

即：（ ） ;言語表述：2/5是把白果的千克數(shù)看作“單位1”的量，平均分成5份，核桃多這樣的2份，共7份。之后讓學(xué)生以白果的千克數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，寫出多個乘法或加法的關(guān)系式。在獨(dú)立思考與全員互動的基礎(chǔ)上，學(xué)生找到了4個關(guān)系式：白果千克數(shù)×2：多的千克數(shù)，白果千克數(shù)×（1+2/5）：核桃的千克數(shù)，白果千克數(shù)+多的千克數(shù)=核桃千克數(shù)，白果千克數(shù)×（1+1+2/5）：它們一共的千克數(shù)。有了這

樣的深刻解讀，之后的問題解答就輕松多了。

3.讓數(shù)學(xué)推理的展開順暢自如

人們在登山時，總要借助石階、扶手，甚至是套在身上的繩索。同樣，解答復(fù)雜問題時，言語與符號表征尤如救命的繩索，會讓學(xué)生的抽象思維和邏輯推理安全行進(jìn)，進(jìn)而成功地培育他們的抽象思維與理性精神。

解答蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級下冊的雞兔同籠問題，教材上的方法一般有畫圖調(diào)整法、列表調(diào)整法、列方程解答法和直接列式解答法。筆者教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想圖的同時，借助符號標(biāo)注與言語表述，及時地進(jìn)行合情推理與逆向推理，讓學(xué)生在符號世界里成功地完成理性推演，獲得難題的破解和理性思維的提升。圖4是一位學(xué)生上臺板演的解題過程（題目：雞兔同籠，共有頭35只，腳94只。求雞、兔各幾只？）。板演后，向全班交流了他的思路：將其中的兔全部假設(shè)為雞，那1兔看成l雞，腳數(shù)就會少2只，那么腳數(shù)一共會少24只;24里有12個2，所以兔的只數(shù)就是12只，雞的只數(shù)是23只。以上過程中的標(biāo)注和列式，直擊知識內(nèi)核和思維要害，幾乎被所有學(xué)生內(nèi)化與活用;同時還無痕地滲透了抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了理性化、結(jié)構(gòu)化的思維方式和認(rèn)知圖式。

總之，我們要創(chuàng)造性地借助言語表征和符號表征，使學(xué)生的動作思維、形象思維和抽象思維得以生動、和諧、全面地獲得發(fā)展，讓學(xué)生的思維在具象、形象和抽象間自如提升、自由穿梭，從而培養(yǎng)學(xué)生的多元思維和理性精神，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落地生根。

參考文獻(xiàn)

[1]曹培英.“抽象”能否成為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)[J]小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（ Z1）.

[2]鄭毓信.分?jǐn)?shù)的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維[J].小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)版，2010 （05）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]