重慶三峽學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 (404000) 陳曉春
這個不等式結(jié)構(gòu)對稱,因此值得關(guān)注,本文將對(1)作一探討.
1.不等式(1)的證明
2.不等式(1)的類似不等式
將分子疊加有
如將分母的項擴充有
如將不等式(1)的分母添加系數(shù)或擴充有:
不等式7 已知a,b,c>0滿足a+b+c=S,l,m,n是不全為零的非負實數(shù),則
不等式8 已知a,b,c>0滿足a+b+c=S,l,m,n是不全為零的非負實數(shù),則
將分子疊加,例如
3.不等式(1)的推廣
同不等式(1)的證明一樣,利用柯西不等式和冪平均不等式可以將(1)的元素個數(shù)和分子的次數(shù)推廣:
再由柯西不等式有
特別地,當n=3時,
同前面的討論一樣,如果對不等式(2)和(3)的分母進行擴充或變式,還可以得到許多新的不等式,在此不再贅述,有興趣的讀者不妨一試.