軸心軌跡測(cè)量中圓弧形導(dǎo)致的偏差及其修正方法

馬會(huì)防， 萬 召

(中國(guó)航發(fā)商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司，上海 200241)

通過兩個(gè)相互垂直的位移傳感器，可以對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行軸心軌跡的測(cè)量。軸心軌跡的分析，在水泵[1-2]、發(fā)電機(jī)[3-5]、機(jī)床[6]等多種旋轉(zhuǎn)設(shè)備均有應(yīng)用，基于對(duì)軸心軌跡分析所得到的特征，可判斷設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)；特別是在故障診斷方面，關(guān)于軸心軌跡的研究成果非常豐富，例如，基于軸心軌跡的轉(zhuǎn)子升速過程故障特征提取[7]，基于軸心軌跡形態(tài)的轉(zhuǎn)子裂紋故障分析[8],基于軸心軌跡自動(dòng)辨識(shí)高速主軸系統(tǒng)的故障等等，這些研究表明軸心軌跡在旋轉(zhuǎn)設(shè)備中已有廣泛而重要的應(yīng)用。

近些年來來，隨著我國(guó)大力發(fā)展航空發(fā)動(dòng)機(jī)，軸心軌跡在航空發(fā)動(dòng)領(lǐng)域中的應(yīng)用也日益深入與廣泛。文獻(xiàn)[9-14]在系統(tǒng)動(dòng)特性、載荷下的響應(yīng)、系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面應(yīng)用到軸心軌跡，文獻(xiàn)[15-16]將軸心軌跡引入到指尖封嚴(yán)與泄漏特性的研究中，文獻(xiàn)[17]結(jié)合航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子對(duì)軸心軌跡的提純進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[18]在分析靜偏心對(duì)擠壓油膜阻尼器減振特性的影響時(shí)，從軸心軌跡方面進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[19-20]在進(jìn)行發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)葉片-機(jī)匣碰摩、軸承座松動(dòng)等研究時(shí)，也進(jìn)行了軸心軌跡的分析，文獻(xiàn)[21]則基于葉尖間隙測(cè)量系統(tǒng)的軸心軌跡測(cè)量技術(shù)進(jìn)行了探討。

航空發(fā)動(dòng)相關(guān)的軸心軌跡測(cè)量，需要結(jié)合結(jié)構(gòu)具體特點(diǎn)進(jìn)行研究，例如，研究擠壓油膜厚度的動(dòng)態(tài)變化時(shí)，可在擠壓油膜阻尼器中進(jìn)行軸心軌跡測(cè)量，由于油膜半徑間隙一般在0.1～0.25 mm，即徑向上位移范圍為±0.25 mm，范圍較小，因此對(duì)軸心軌跡的測(cè)量精度較高，需要盡可能地減少測(cè)量誤差；再如，研究葉片斷裂飛脫的試驗(yàn)中，徑向上位移范圍較大，這在種情況下，如何測(cè)得較為精確的軸心軌跡，值得深入研究，已有文獻(xiàn)中對(duì)該方面的研究較少，文獻(xiàn)[22]僅涉及到軸心軌跡的提純，而非對(duì)軸心軌跡直接提高測(cè)量精確度的研究。

為滿足越來越高的測(cè)試要求，進(jìn)一步提高軸心軌跡的測(cè)量精度，本文分析了測(cè)試截面上轉(zhuǎn)子圓弧形對(duì)測(cè)試結(jié)果的影響，探討了測(cè)量截面上的轉(zhuǎn)子半徑R以及徑向位移對(duì)測(cè)量精度的影響，研究表明，測(cè)量截面上的轉(zhuǎn)子半徑越小、徑向位移越大，則測(cè)量值與實(shí)際值偏差就越大。在對(duì)測(cè)量偏差進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了一種測(cè)量偏差的修正方法，給出了修正計(jì)算公式，該方法需要輸入測(cè)試截面的轉(zhuǎn)子半徑，然后基于測(cè)得的位移可計(jì)算實(shí)際的軸心位移，可以消除圓弧導(dǎo)致的測(cè)量偏差，在一定程度上提高測(cè)量精度。

該方法簡(jiǎn)單，實(shí)用性強(qiáng)，即可用于實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)，也可用于測(cè)量后的數(shù)據(jù)處理中，具有重要的實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值，對(duì)于提高振動(dòng)測(cè)量精度等方面具有重要的參考價(jià)值。

1 偏差分析

1.1 偏差產(chǎn)生的原因

軸心軌跡的測(cè)量，一般選取轉(zhuǎn)子某個(gè)截面，在截面上布置兩個(gè)相互垂直的位移傳感器，開始采集后，每一個(gè)數(shù)據(jù)采集時(shí)刻都可以從兩個(gè)傳感器分別獲取一個(gè)位移值，將該組位移值繪制在平面上，形成軸心軌跡的一個(gè)點(diǎn)，下一個(gè)采集時(shí)刻，形成軸心軌跡的下一個(gè)點(diǎn)。

假設(shè)某個(gè)時(shí)刻，轉(zhuǎn)子軸心只在一個(gè)方向上產(chǎn)生了位移，如圖1所示，轉(zhuǎn)子軸心由O點(diǎn)水平移動(dòng)到O’點(diǎn)，在X方向(水平方向)的位移為|OO’|=x，測(cè)量值與實(shí)際位移值一致；轉(zhuǎn)子軸心在Y方向上未發(fā)生位移，但是，Y方向上的位移傳感器會(huì)測(cè)得一個(gè)位移值y，顯然，y屬于測(cè)量偏差。同樣，如果僅在Y方向上產(chǎn)生軸心位移時(shí)，則在X方向上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)位移測(cè)量偏差值。

圖1 測(cè)量偏差示意圖Fig.1 Sketch for measurement deviation

由圖1可知，產(chǎn)生測(cè)量偏差的原因在于被測(cè)截面是個(gè)圓弧形，由于測(cè)點(diǎn)位置是固定的，當(dāng)轉(zhuǎn)子軸心在一個(gè)方向上移動(dòng)時(shí)，必然在另一個(gè)方向上引起測(cè)量偏差。

圖1只是軸心位置的一個(gè)特例，當(dāng)軸心位置不在圖示的坐標(biāo)軸上時(shí)，軸心位移測(cè)量值并不等于軸心的實(shí)際位移值，兩個(gè)傳感器的測(cè)量值都含有一定的偏差量，測(cè)量值是真實(shí)位移值與偏差值的疊加值，下面將采用MATLAB仿真計(jì)算對(duì)旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的偏差進(jìn)行更為詳細(xì)的說明與描述。

MATLAB對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)動(dòng)時(shí)軸心軌跡的仿真計(jì)算模型，如圖2所示，轉(zhuǎn)子以偏心半徑e進(jìn)行圓形進(jìn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子截面半徑R，設(shè)位移傳感器布置在坐標(biāo)軸的正半軸上，兩傳感器測(cè)得的位移值分別為x，y，顯然x，y是圓心坐標(biāo)(x0，y0)的函數(shù)，其關(guān)系式為

(1)

式中：x0=ecos(θ);y0=esin(θ)。

由式(1)可根據(jù)圓心坐標(biāo)(x0，y0)得到測(cè)量值x,y。

圖2 MATLAB仿真模型示意圖Fig.2 Sketch for MATLAB simulation model

x，y構(gòu)成的軸心軌跡中包含有測(cè)量偏差的軸心軌跡。根據(jù)該MATLAB仿真模型進(jìn)行計(jì)算，可以模擬出測(cè)量得到的軸心軌跡，例如，偏心距e=1 mm、轉(zhuǎn)子截面半徑R=3 mm時(shí)，x，y的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 MATLAB模擬的軸心軌跡測(cè)量結(jié)果Fig.3 Results of measurement on axis orbit from MATLAB simulation

由圖3可知：(1)當(dāng)一個(gè)通道的測(cè)量值達(dá)到最大時(shí)，該通道此時(shí)的測(cè)量偏差最?。?2)當(dāng)一個(gè)通道的測(cè)量值達(dá)到最大時(shí)，另一個(gè)通道此時(shí)的測(cè)量偏差最大。

將上述的x，y，繪制成軸心軌跡，如圖4所示。

圖4 x與y構(gòu)成的軸心軌跡Fig.4 Axis orbit of x and y

由圖4可知，軸心軌跡在第一、第三象限的測(cè)量偏差較大，當(dāng)然，這與傳感器的布置位置有關(guān)系，如果傳感器不是布置在0°,90°，而是布置在90°,180°，則測(cè)量偏差將在第二、第四象限較大。

1.2 偏差大小的量化分析

由“1.1”節(jié)可知軸心軌跡產(chǎn)生測(cè)量偏差的原因，但未知這種偏差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響具體有多大，本節(jié)將嘗試量化分析偏差的大小。

圖1所示情形——在X方向的位移測(cè)量值不含有測(cè)量偏差量，而在Y方向上的測(cè)量值恰恰全部為偏差量，非常適合于進(jìn)行偏差的量化分析與研究。

結(jié)合圖1，圖中所示偏差量y可以表示為y=|AB|=|AO|-|BO|，圖中測(cè)試截面上的圓半徑為R，即|BO’|=|AO|=R，可得

(2)

式中：y為偏差量的絕對(duì)值，為考察偏差量的相對(duì)大小，以y/x的百分比表示偏差量的相對(duì)值。

根據(jù)工程中常見的轉(zhuǎn)子位移幅值范圍，取X方向上的位移x具體范圍值為0.05～2 mm，取常見的轉(zhuǎn)子半徑R為10～200 mm，根據(jù)式(1)可計(jì)算(x，y)，x∈(0.05,2)，y∈(0.05,2)，R∈(10,200)范圍內(nèi)y/x的百分比，如圖5所示。

圖5 y/x百分比曲面Fig.5 Surface of y/x percentage

由圖5可知：(1)X方向位移值的大小，位移值x越大，Y方向測(cè)量的偏差相對(duì)值就越大，近似于一種線性增加；(2)測(cè)量截面圓半徑的大小，圓半徑R越小，測(cè)量偏差相對(duì)值就越大，非線性增加，圓半徑R較小時(shí)，增加很快；(3)位移值與測(cè)量截面圓半徑的聯(lián)合影響，當(dāng)圓半徑R較小，且位移值較大時(shí)，測(cè)量偏差相對(duì)值很大(可達(dá)10%量級(jí))；當(dāng)圓半徑R較大，且位移值較小時(shí)，測(cè)量偏差相對(duì)值較小。

根據(jù)上述分析，在工程應(yīng)用中，我們可以：

(1)采用式(1)對(duì)測(cè)量偏差的大小進(jìn)行評(píng)估；

(2)為減少測(cè)量偏差，在徑向跳動(dòng)都滿足測(cè)量精度要求的各轉(zhuǎn)子截面中，盡可能地將測(cè)量截面選擇在轉(zhuǎn)子截面半徑較大處；

(3)對(duì)測(cè)量精度要求高的情況下，有必要對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正。

2 偏差的修正

2.1 修正方法

由“1.2”節(jié)可知在一定情況下，軸心軌跡的測(cè)量偏差較大，需要進(jìn)行修正，以消除修這種圓弧形導(dǎo)致的測(cè)量偏差。

修正方法與原理(見圖6)，當(dāng)轉(zhuǎn)子軸心由O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O’點(diǎn)時(shí)，在X方向上的測(cè)量值為x，其實(shí)際位移值為x0，同樣，在Y方向的測(cè)量值為y，其實(shí)際位移為y0。如果求出x0與y0，則求出了轉(zhuǎn)子軸心的實(shí)際位移。

圖6 修正方法解釋用圖Fig.6 Explanation for modification method

在坐標(biāo)系XYO中，圓O’的中心坐標(biāo)為(x0，y0)，它與坐標(biāo)軸交于B點(diǎn)和C點(diǎn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，R+y)、(R+x，0)，則將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓O’的方程，可得方程組

(3)

解方程組可得，解一

(4)

解二

(5)

從數(shù)學(xué)上講，式(3)方程組的確存在兩組解，解不唯一，如圖7所示，圓O’與圓O’’均是方程組的解，兩圓都通過點(diǎn)B、點(diǎn)C，且半徑均為R。

圖7 式(3)方程組的兩個(gè)解Fig.7 Two solutions for equation group(3)

分析解二的表達(dá)式可知，x0，y0分別由兩項(xiàng)相加而得，若忽略帶有根號(hào)的第二項(xiàng)，則x0，y0分別為(R+x)/2，(R+y)/2，x0，y0的值可達(dá)到R的量級(jí)，而一般情況下的位移值較小，即測(cè)試截面半徑R遠(yuǎn)大于位移測(cè)量值x，y以及修正后的位移值x0，y0，因此可以排除解二的可能；但在位移值與R量級(jí)接近的特殊情況下，需要謹(jǐn)慎考慮解二的可能性。

由公式可知，在軸心軌跡測(cè)量的ti時(shí)刻，根據(jù)ti時(shí)刻測(cè)得的X方向、Y方向的測(cè)量值xi，yi，及時(shí)計(jì)算出實(shí)際軸心位移值x0i，y0i，所以，軸心軌跡的修正方法可在實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)中對(duì)軸心軌跡進(jìn)行實(shí)時(shí)修正。當(dāng)然也可以先采集、存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，獲得數(shù)據(jù)后再進(jìn)行后處理以修正數(shù)據(jù)。

2.2 修正方法的驗(yàn)證

由于“2.1”節(jié)中采用理論推導(dǎo)的方法得到修正公式，這種情況下很難再采用理論方法證明公式的正確性，但可以采用實(shí)例計(jì)算進(jìn)行一次驗(yàn)證。

前面“1.1”節(jié)中的軸心軌跡數(shù)據(jù)含有圓弧形導(dǎo)致的偏差，可用“2.1”節(jié)中的數(shù)據(jù)修正方法進(jìn)行修正。以X軸為起始點(diǎn)，逆時(shí)針方向?yàn)轫樞?，?duì)軸心軌跡上的各點(diǎn)依次利用“2.1”節(jié)解一中的式(4)，進(jìn)行數(shù)據(jù)的修正。修正前后的軸心軌跡對(duì)比如圖8所示。

圖8 修正前后軸心軌跡對(duì)比Fig.8 Axis orbits before and after being modified

由圖8可知修正后的數(shù)據(jù)圓度明顯得到改善。

前面“1.1”節(jié)中的軸心軌跡理論上是半徑為1 mm的一個(gè)圓，修正后的軸心軌跡上各點(diǎn)的x，y與其對(duì)應(yīng)的理論值相減，可得到x，y在各處的偏差量，如圖9所示。

圖9 修正值與理論值的偏差量Fig.9 Deviation between modified data and theoretical data

修正后的數(shù)據(jù)與理論值偏差在10-15mm以內(nèi)，偏差非常小，修正方法可以消除圓弧形導(dǎo)致的測(cè)量偏差。

2.3 工程應(yīng)用

某轉(zhuǎn)子軸心軌跡測(cè)量截面上的圓半徑R為20 mm，該測(cè)試對(duì)測(cè)試結(jié)果精度要求較高，需要對(duì)測(cè)得的軸心軌跡進(jìn)行修正，以消除圓弧形測(cè)量截面引起的偏差。

運(yùn)用“2.1”節(jié)解一中的式(4)，對(duì)X，Y方向上各時(shí)刻的位移測(cè)量數(shù)據(jù)依次、逐點(diǎn)進(jìn)行修正，修正前后的時(shí)域數(shù)據(jù)對(duì)比如圖10所示。

由修改前后的X，Y方向的時(shí)域數(shù)據(jù)圖可知，在各峰值處測(cè)量偏差變小，這與圖1中所示的情形是相應(yīng)的，圖10中的峰值對(duì)應(yīng)于圖1所示的軸心軌跡在坐標(biāo)軸上的情景，此時(shí)，測(cè)量值接近實(shí)際位移值。

修正前后的軸心軌跡如圖11所示。

圖10 修正前后XY方向的時(shí)域數(shù)據(jù)Fig.10 Time field data in X and Y direction before and after being modified

圖11 修正前后的軸心軌跡Fig.11 Axis orbits before and after being modified

軸心軌跡在第一、第三象限得到較大量的修正。

3 結(jié) 論

首先，本文分析了轉(zhuǎn)子軸心軌跡測(cè)量中圓弧形導(dǎo)致的測(cè)量偏差，以及偏差的大小與截面半徑、徑向位移的關(guān)系；其次，提出了偏差的修正方法，該方法計(jì)算公式簡(jiǎn)單，容易理解，便于應(yīng)用，可用于實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)，也可用于后處理程序中，最后，提供了一個(gè)軸心軌跡修正的實(shí)例。

本文解決了軸心軌跡測(cè)量中圓弧面導(dǎo)致的偏差問題，有利于提高測(cè)量結(jié)果精度，具有很強(qiáng)的工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。