任 杰，孫賀磊，李加欣，郭寶峰,*

(1.先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點試驗室(燕山大學(xué))，河北 秦皇島 066004；2.上海電機學(xué)院 高職學(xué)院，上海 200240 )

0 引言

塑性力學(xué)廣泛用于金屬結(jié)構(gòu)分析與金屬塑性成形的分析計算，在金屬結(jié)構(gòu)的塑性力學(xué)分析中，內(nèi)部應(yīng)力場的分布狀況是評定結(jié)構(gòu)布局好壞的重要依據(jù)，借助應(yīng)力場可以確定結(jié)構(gòu)的極限載荷及安全程度。金屬塑性成形是基于金屬學(xué)與塑性力學(xué)的學(xué)科，變形金屬內(nèi)部應(yīng)力場的計算是金屬塑性成形的基礎(chǔ)分析之一，利用應(yīng)力場可以預(yù)測變形體內(nèi)部新缺陷的產(chǎn)生與原有缺陷的修復(fù)，確定成形載荷的大小。

在塑性變形問題的應(yīng)力場求解中[1]，出現(xiàn)了兩個分支，一是以滿足實際工程問題需要為目的簡化解法，如主應(yīng)力法(又稱為工程法或者切塊法)[2-3]、變形功法(又稱為功平衡法)[4]、下限法[5-6]等，這些方法主要用于近似地計算塑性變形工程問題的載荷，不追求塑性變形體內(nèi)部應(yīng)力場分布的準確性，人們常常稱之為工程解法。二是尋求精確解的方法，有全部塑性力學(xué)方程直接聯(lián)立求解法、特定條件下專門解法(剛塑性材料平面變形的滑移線法[7]、塑性條件與平衡方程聯(lián)立求解法)、塑性力學(xué)的變分解法[8-11]等。直接聯(lián)立求解法需求解一個偏微分方程組，有著巨大的數(shù)學(xué)困難，這種求解法尚未有文獻的報道。特定條件下的專門解法因又受條件限制，僅能用于少數(shù)問題的計算。塑性力學(xué)的變分解法的優(yōu)點逐漸被人們所認識，它的計算過程中的數(shù)學(xué)難度相對小，且又不失結(jié)果的準確性。

塑性力學(xué)的變分解法和有限元解法是建立在塑性力學(xué)的變分原理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。理想剛塑性材料是塑性力學(xué)中最基本和應(yīng)用最廣泛的材料模型之一，如金屬的熱塑性變形材料模型。對于理想剛塑性材料建立的第一變分原理和第二變分原理，前者用于變形分析計算，如速度場、位移場，進而求得應(yīng)變速率場等。然而，由于體積不變條件的限制，不能通過本構(gòu)方程，再由應(yīng)變速率場計算得到應(yīng)力場。求解應(yīng)力場只能用第二變分原理。目前，剛塑性材料的第二變分原理的證明是利用Drucker公設(shè)和求極值的方法進行的[12]，無論是從定理證明方法的合理性，還是從應(yīng)用定理求解問題的方法看，都需要進一步完善。本文給出一種新的證明方法，即利用數(shù)學(xué)的泛函變分理論進行證明，并給出定理求解實際問題應(yīng)用的范例。

1 剛塑性材料的第二變分原理證明研究

1.1 剛塑性材料的第二變分原理

(1)

1.2 剛塑性材料的第二變分原理的證明

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

因為

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

因此，將式(9)代入(1)得

(10)

因為

則

(11)

將式(11)代入式(10)，得

(12)

(13)

于是，式(13)化簡為

(14)

(15)

(16)

2 平面鐓粗應(yīng)力場的計算

平面變形的鐓粗[14]除具有理論意義外，也是生產(chǎn)中常見的塑性力學(xué)問題，如板條的精壓、連桿鍛件的整形精壓等。平面變形鐓粗的力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 平面變形鐓粗的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of upsetting in plane deformation

2.1 端面摩擦的設(shè)定

τ(x)=a0+a1x+a2x2，

(17)

由力的邊界條件得

當(dāng)x=0時，τx=0=0；

當(dāng)x=b時，τx=b=0；

當(dāng)x=x0時，τx=x0=-τk，

將以上4個條件代入式(17)得

(18)

將式(18)代入到式(17)，得

(19)

2.2 靜力學(xué)許可的應(yīng)力場的設(shè)定

由于平面鐓粗的坯料的寬度b遠大于高度h，故取τxy與y為線性關(guān)系。設(shè)

τxy=Dyτ(x)，

(20)

已知，當(dāng)y=h時，τxy=τ(x)，則

(21)

將式(19)和式(21)代入式(20)，得

(22)

將式(22)代入平衡微分方程

得

(23)

(24)

對式(23)和式(24)分別求積分，得

(25)

(26)

式中，M(y)、N(x)為積分的任意函數(shù)，M(y)可由力邊界條件確定如下：

當(dāng)x=b時，σx=0，代入式(25)得

(27)

將式(27)代入到式(25)中，得到一個平面鐓粗矩形截面的應(yīng)力場

(28)

(29)

(30)

由于任意函數(shù)N(x)滿足應(yīng)力場函數(shù)的一般運算條件，可用多項式形式表示，即N(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3+……+cnxn，本例中取前兩項，即取

N(x)=c0+c1x。

2.3 真實應(yīng)力場的確定

平面鐓粗的真實應(yīng)力場可借助剛塑性材料第二變分原理確定。為使應(yīng)力場為靜力學(xué)許可的，利用Lagrange乘子法[8]求解。設(shè)定約束條件，即應(yīng)力場滿足Mises屈服準則：

(31)

等效應(yīng)力

對于平面應(yīng)變問題，有

簡化等效應(yīng)力，得

(32)

設(shè)約束條件

(33)

利用Lagrange乘子法，在此引入Lagrange乘子γ，設(shè)目標函數(shù)

(34)

將式(1)、(28)～(30)、(32)和(33)代入式(34)，得

(35)

式中，

為便于式(34)中的第二項的運算，運用布尼亞科夫斯基不等式[12]

(36)

現(xiàn)令

(37)

將式(37)代入式(35)中的第二項進行簡化得

(38)

將式(38)代入式(34)并進行運算，得

式中，

(39)

(40)

(41)

整理式(39)得

(42)

聯(lián)立式(40)和(41)得

(43)

將(43)式代入(42)，得

(44)

將式(43)和式(44)代入到式(30)中，得到平面變形的鐓粗的真實應(yīng)力場為

(45)

(46)

(47)

2.4 計算結(jié)果的討論

2.4.1端面無接觸摩擦

當(dāng)端面無接觸摩擦力，即τk=0時，代入式(45)～(47)得

當(dāng)端面無接觸摩擦?xí)r，上述應(yīng)力場與文獻[15]的結(jié)果一致，表明得到的應(yīng)力場是正確的。

2.4.2端面存在接觸摩擦

當(dāng)存在端面的接觸摩擦?xí)r，由圖2、圖3和圖4可得到各截面上的應(yīng)力分布。本文克服了文獻[15]許多不足：1)端面摩擦的設(shè)定分布更符合實際的鐓粗情況，對稱面x=0和自由表x=b上的摩擦應(yīng)力都為零；2)保證了在x=b整個界面上σx=0，滿足了該面上的邊界條件；3)τxy既是y的函數(shù)，也是x的函數(shù)。

圖2 xoz截面(y=0)上的應(yīng)力分布Fig.2 Stress distribution on xoz section(y=0)

圖3 端面(y=h)上的應(yīng)力分布Fig.3 Stress distribution on the end face(y=h)

圖4 yoz截面(x=0)上的應(yīng)力分布Fig.4 Stress distribution on yoz face(x=0)

3 結(jié)論

1) 利用泛函變分給出了剛塑性材料第二變分原理證明的一種新方法，更明顯地體現(xiàn)了剛塑性材料第二變分原理的力學(xué)意義，也示范了利用該定理求解的過程。

2) 借助剛塑性材料的第二變分原理，計算了接觸面存在摩擦條件平面鐓粗的應(yīng)力場，結(jié)果分析表明得到的應(yīng)力場是正確的，進一步完善了現(xiàn)有文獻應(yīng)力場解析結(jié)果的不足。