吳正鵬，劉永菲

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

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復數(shù)階累加運算及其在廣義復GM(1，1)中的應用

吳正鵬，劉永菲

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

本文考慮復數(shù)階累加運算，從理論上證明了將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合，在集合上定義類似于普通數(shù)的加法運算，其為交換群. 同時討論了將所有實數(shù)階累加運算看成所有復數(shù)階累加運算的一個子集，其為一交換子群.并可以在其上定義商群.分析表明先對原序列進行m階累加，在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加，等價于對原序列進行m+l階累加.結果表明對原序列先進行m階累加，然后再進行-m階累加，序列就回到原始序列，同時s階累減運算可看成-s階累加運算，最后將分析結果用于廣義復GM(1，1)模型中，并進行誤差分析。

復數(shù)階累加；廣義復GM(1，1)；誤差分析

1　引言

鄧聚龍教授曾對GM(1，1)作了十分深入的研究，得到了GM(1，1)模型的多種不同形式，并稱之為GM(1，1)派生模型[1]，隨后眾多學者對其進行了補充和完善，文獻[2]中詳細列舉了GM(1，1)模型的8種形式。文獻[3]詳細研究了GM(l，1)模型的適用范圍和擬合誤差，以及發(fā)展系數(shù)和擬合誤差之間的關系。眾多學者從模型背景值，初始條件，級比條件等角度研究了改進模型的擬合誤差與預測精度問題[4-8]。 劉軍等學者[9]基于單增序列比較論證不同GM(1，1)模型解間的相對誤差，證明相對誤差一致上界與序列長度和發(fā)展系數(shù)相關，提供白化模型解代替內涵解時發(fā)展系數(shù)需滿足的條件。 二十世紀七十年代以來，研究人員發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微積分可以作為一種很好的描述與刻畫手段，應用于分形幾何、冪律現(xiàn)象與記憶過程等相關現(xiàn)象或過程。文獻[9，10]將矩陣生成技術應用到灰色建模中，提出灰建模的累加生成矩陣和還原矩陣。吳立峰等學者[11]在此基礎上提出分數(shù)階累加生成，并應用到灰色模型中，提出分數(shù)階累加GM(1，1)。

本文基于上述學者研究，考慮復數(shù)階累加運算，從理論上證明了將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合，在集合上定義類似于普通數(shù)的加法運算后，其為一交換群。 同時討論了將所有實數(shù)階累加運算看成所有復數(shù)階累加運算一個子集，其為一子交換群。尤其可以在其上定義商群。分析表明先對原序列進行m階累加，在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加，等價于對原序列進行m+l階累加。當m=-l時，即對原序列先進行m階累加，然后再進行-m階累加，序列就回到原始序列，同時s階累減運算可看成-s階累加運算，最后將分析結果用于廣義復GM(1，1)模型中。

2　復數(shù)階累加生成算子

針對原始序列

x(r)=Ax(r-1)=AAx(r-2)=A2x(r-2)=…=Arx(0)

其中A為一次累加生成矩陣

這樣，我們可以得到

(1)

基于式(1)，結合組合數(shù)的推廣，考慮將r由整數(shù)推廣到復數(shù)，可以得到復數(shù)階累加生成矩陣。

定理1針對如式(1)所示的累加生成，先對原序列進行m階累加，在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加，等價于對原序列進行m+l階累加。

證明：由定義1可知

根據(jù)矩陣的乘法可知

又由定義1可得

故有Am·=Am+1。所以x(0)A1=Am+1結論成立。

定理2將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合，在該集合上定義如上的運算，為一交換群，用符號Α表示

證明：

(2)對原序列不做任何階累加稱為原序列的0階累加，顯然0階累加即為Α的單位元。

(3)對原序列進行r階累加，在新得到的序列中再進行-r階累加，則回到原序列，即。故-r為r的逆元。

又因為對A中的元素r1，r2，先對原序列進行r1階累加，在新得到的序列中再進行r2階累加，等價于先對原序列進行r2階累加。再在新得到的序列中進行r1階累加。即故運算的交換律成立。

因此Α為交換群。

綜上所述，先對原序列進行m階累加，在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加，等價于對原序列進行m+l階累加。當m=-l時，即對原序列先進行m階累加，然后再進行-m階累加，序列就回到原始序列，同時s階累減運算可看成-s階累加運算。即沒有累減運算。

2　復數(shù)階累加生成算子

對于原始數(shù)據(jù)序列x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，稱x(r)={x(r)(1)，x(r)(2)，…，x(r)(n)}為r次累加生成序列，其中x(r)=Arx(0)；稱z(r)={z(r)(2)，z(r)(3)，…，z(r)(n)}為均值生成序列，其中z(r)(k)=0.5x(r)(k-1)+0.5x(r)(k)，下面給出如下定義。

定義 2稱

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(2)

為復數(shù)階累加灰模型GM(1，1)的定義型，其中k=2，3，…，n，記為CAGM(1，1，D)模型。并稱a為模型發(fā)展系數(shù)；b為模型背景值。

定義 3稱微分方程

為復數(shù)階累加灰色模型白化微分方程。

結合初始條件x(r)(1)=x(0)(1)可得到方程(3)的解為

(4)

由(4)可以得到(2)的還原值。

定義 4稱(2)和(4)為復數(shù)階累加灰色模型白化型，記為CAGM(1，1)模型。 CAGM(1，1)模型實際上可看作是GM(1，1)模型在累加生成階數(shù)上的一種推廣，當累加生成階數(shù)r=1+0*i時，CAGM(1，1)模型即為GM(1，1)模型。

建模步驟如下：

(1)原始序列計算得到r階累加序列，；

(2)將生成累加序列的實部和虛部分別進行建模，用最小二乘法估計參數(shù)；

(3)根據(jù)模型求累加序列的模擬值及模型還原值

(4)檢驗誤差

3　實例分析

實例1

下面本文以2008-2012全社會固定資產投資為例，建立基于復數(shù)階累加的CAGM(1，1)模型，分析模擬結果，并對2013年數(shù)據(jù)進行預測，與真實值進行了比較預測精度。

例題1以2008年—2012年全國居民消費價格指數(shù)為例，建立了累加生成階數(shù)為1階，1+0.01*i階，1-0.000001*i階以及0.99階，0.99+0.01*i階，0.99-0.000001*i階的CAGM(1，1，D)模型，其中a表示模型的發(fā)展系數(shù)，b表示背景值，Δ表示平均相對誤差。

由表1 可以發(fā)現(xiàn)：

(1)從模擬精度來看，累加階數(shù)為0.99、0.99+0.01*i、0.99-0.000001*i時，其模型的相對誤差明顯小于累加階數(shù)為1、1+0.01*i、1-0.000001*i時；累加階數(shù)為1時模型的模擬精度小于累加階數(shù)為0.99時；

(2)從預測效果來看，累加階數(shù)為0.99、0.99+0.01*i、0.99-0.000001*i時的預測效果明顯好于累加階數(shù)為1、1+0.01*i、1-0.000001*i時；累加階數(shù)為0.99時模型的預測效果明顯好于累加階數(shù)為1時；

表1　全社會固定資產投資預測模型

說明：在二維平面中，1+0.01*i，1-0.000001*i都可視為距離與1+0*i很近的點，故在進行建模過程中，可以進行1階灰色系統(tǒng)建模的數(shù)據(jù)在進行1+0.01*i階，1-0.000001*i階累加后亦滿足指數(shù)分布，可將實部和虛部分別帶入(2)、(3)、(4)進行建模。

綜合來看累加階數(shù)為0.99階，0.99+0.01*i階，0.99-0.000001*i階的模擬和預測精度較高，其中，累加階數(shù)為0.99時最高，0.99-0.000001*i次之，相對而言，模擬精度和預測精度較低的是1階和1-0.000001*i階。此結果表明復數(shù)階累加在一定情況下可以提高預測和模擬精度，擬合效果要優(yōu)于整數(shù)階累加。

實例2

下面本文以全國生產故事影片(部)為例，以2007-2011年數(shù)據(jù)建立基于復數(shù)階累加的CAGM(1，1)模型，并對2012年影片進行預測，最終對模擬及預測結果進行對比分析。

表2中以2007年—20011年全國生產故事影片數(shù)據(jù)為例，建立了累加生成階數(shù)為1階階以及

階的模型并對2012年故事影片數(shù)進行預測，其中表示模型的發(fā)展系數(shù)，表示背景值，表示平均相對誤差。

表2　全國生產故事影片預測模型

通過表2可以發(fā)現(xiàn)：

(1)就模擬精度來看，累加階數(shù)為1時的模擬精度稍高于及階時；

(2)就預測精度而言，累加階數(shù)為時的預測精度要稍高于時。

此結果表明復數(shù)階累加在一定情況下的預測效果要優(yōu)于整數(shù)階累加，但擬合精度稍差于整數(shù)階累加。

4　結論

本文考慮復數(shù)階累加運算，將所有復數(shù)階累加運算看成一個集合，在集合上定義類似于普通數(shù)的加法運算后，其為交換群。同時討論了將所有實數(shù)階累加運算看成所有復數(shù)階累加運算一個子集，其為一子群，并可以在其上定義商群。分析表明先對原序列進行m階累加，在新得到的序列中再進行l(wèi)階累加，等價于對原序列進行m+l階累加；對原序列先進行m階累加，然后再進行-m階累加，序列就回到原始序列。同時s階累減運算可看成-s階累加運算，從理論上證明了進行復數(shù)階累加的可行性。最后將分析結果用于廣義復GM(1，1)模型中，通過分析發(fā)現(xiàn)復數(shù)階累加在一定情況下的擬合效果和預測結果并不比整數(shù)階累加差，甚至要優(yōu)于整數(shù)階累加，至于在哪些情況下還需進行進一步的研究。

[1]鄧聚龍. 灰理論基礎[M]. 武漢：華中科技大學出版社，2002.

[2]肖新平，毛樹華. 灰預測與決策方法[M]. 北京：科學出版社，2013.

[3]劉思峰，黨耀國，方志耕著.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M]. 北京：科學出版社，2010.

[4]Xiao X P，Song Z M，Li F. The Foundation of Grey Technology and Its Application [M]. Beijing：Science Press，2005.

[5]Kang X Q，Wei Y. A New Optimized Method of Non-EquigapGM(1，1)Model[J]. The Journal of Grey System，2008，20(4)：375-382.

[6]Xie N M，Liu S F. Discrete grey forecasting model and its optimization[J]. Applied Mathematical Modelling，2009，33：1173-1186.

[7]Wang Y H，Dang Y G，Li Y Q，et al. An approach to increase prediction precision of GM(1，1)model based on optimization of the initial condition[J]. Expert Systems with Applications，2010，37(8)：5640-5644.

[8]周偉，方志耕，劉思峰.基于級比優(yōu)化的廣義GM(1，1)預測模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2010，30(8)：1433-1438.

[9]劉軍，肖新平，郭金海. 單增序列灰色GM(1，1)模型解之間的誤差分析[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐(錄用待刊).

[10]肖新平，宋中民，李峰. 灰技術基礎及其應用[M].北京：科學出版社，2005.

[11]Lifeng Wu，Sifeng Liu，Ligen Yao，Shuli Yan，Dinglin Liu. Grey system model with the fractional order accumulation[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18(7)：1775-1785.

[12]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

(責任編輯：馬玉鳳)

Complex Order Accumulation and Its Use in Generalized Plural GM(1，1)

WU zheng-peng，LIU Yong-fei

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024)

Based on the definition of complex order accumulation，this paper has many interesting results. First，all of complex order accumulations is a commutative group，and real order accumulations is a subgroup，according to ordinary addition of number and number-multiply. By themorder accumulation of raw data and thenlorder accumulation，it is the same as them+lorder accumulation. asmis equal to-m，it went back to its original sequence. The accumulation ofsorder is the same as the inverse accumulation of-sorder. At last，it was used in discrete GM(1，1)model.

complex order accumulation；discrete GM(1，1)；error analysis

2015-07-06

吳正鵬(1966-)，男(漢族)，安徽省廬江縣人，副教授，博士.E-mail：wuzhengpeng@126. com

N941

A

1673-4793(2016)01-0006-07