擬度量空間上映射的公共不動(dòng)點(diǎn)

高 姍

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，山西太原030008)

Banach 收縮原理[1]已被廣泛地推廣和改進(jìn)，通過引入比度量空間更廣的W-空間[2]，錐度量空間[3]，D 度量空間[4]，在這些推廣的空間上討論并得到了很多關(guān)于映射族的重合點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)存在定理。

近年來，在對(duì)稱空間和度量空間上討論了映射族唯一不動(dòng)點(diǎn)和唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的存在問題，所有這些結(jié)果改進(jìn)和推廣了banach 收縮原理。引入了擬度量空間的定義，得到了擬度量空間上的一些不動(dòng)點(diǎn)定理。在擬度量空間上得到滿足lipschits 收縮條件的映射的唯一不動(dòng)點(diǎn)在定理和由兩個(gè)連續(xù)函數(shù)控制的具有收縮條件的兩個(gè)映射的唯一重合的點(diǎn)和唯一公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理，還給了出若其他一些公共不動(dòng)點(diǎn)的存在定理[5]。

在擬度量空間上考察由兩個(gè)連續(xù)函數(shù)控制的具有收縮條件的兩個(gè)、三個(gè)映射的公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理和唯一性定理，進(jìn)一步推廣和改進(jìn)banach收縮原理的推廣結(jié)果。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

首先給出需要用到的基本概念和定理。

定義 1設(shè) X 是非空集合，d：X×X →[0,+∞)是給定的函數(shù)，滿足

I)d(x,y)=0 當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

II)對(duì)任何 x,y,z ∈X,d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。

則稱d是擬度量，(X,d)為擬度量空間。

定義2設(shè)(X,d)為擬度量空間，{xn}是X中的序列，x ∈X ，{ xn}收斂于x 當(dāng)且僅當(dāng)

定義3設(shè)(X,d)為擬度量空間，{xn}是X中的序列.稱{xn} 是左Cauchy,如果對(duì)任何ε＞0存在正整數(shù)N=N(ε)，使得對(duì)任何n≥m＞N，d(xn,xm)＜ε；稱{xn}是右Cauchy,如果對(duì)任何ε＞0存在正整數(shù)N=N(ε)，使得對(duì)任何 n ≥m ＞N ，d(xm,xn)＜ ε ；稱{xn}是 Cauchy, 如果對(duì)任何ε ＞0 存在正整數(shù)N=N(ε)，使得對(duì)任何n,m＞N，d(xn,xm)＜ε。

定義4設(shè)(X,d )為擬度量空間，稱

I)(X,d)是左完備的當(dāng)且僅當(dāng)X 中每個(gè)左Cauchy序列都收斂；

II)(X,d)是右完備的當(dāng)且僅當(dāng)X 中每個(gè)右Cauchy序列都收斂；

III)(X,d)是完備的當(dāng)且僅當(dāng)X 中每個(gè)Cauchy序列都收斂。

定義5φ ∈Φ 當(dāng)且僅當(dāng)，φ：[0,+∞)→[0,+∞)且滿足下列條件：

I）φ 是連續(xù)函數(shù)；

II）φ(t)=0 當(dāng)且僅當(dāng)t=0。

定義6ψ ∈Ψ 當(dāng)且僅當(dāng)，ψ：[0,+∞)→[0,+∞)且滿足下列條件：

I）ψ 是單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)；

II）ψ( t )=0 當(dāng)且僅當(dāng)t=0。

引理1設(shè) ( X,d )為擬度量空間，X 中序列{ xn}滿足則 {xn} 按d 是cauchy。[6]

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)( X,d )是完備的擬度量空間，f,g：X→X 是兩個(gè)映射。如果對(duì)于任何x,y ∈X，成立

則 f 和g 有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

證明取定任意的x0∈X，以下構(gòu)造序列{xn}使其滿足

對(duì)任意取定的 n ，取 x=x2n，y=x2n+1帶入(1 ),( 2 )可知，

由于ψ 是X 上的單調(diào)遞增函數(shù)，可知

對(duì)任意取定的n，取x=x2n+2，y=x2n+1，同理

由(6) ,(9) 可知，d(x2n+1,x2n+2)≤d(x2n,x2n+1)≤d(x2n+1,x2n+2)，從而{d(xn,xn+1)}是由非負(fù)實(shí)數(shù)構(gòu)成的單調(diào)遞減數(shù)列，因此存在r ≥0 使得

則由引理，可知{ xn} 按 d 是cauchy。

X是完備的，x2n+1∈fX ，x2n+2∈gX,n=0,1,2,…，則存在z ∈X，滿足

令 x=z,y=x2n+1帶入(1),(2)可知

由于

于是可知

假設(shè) w 也是 f 和 g 的不動(dòng)點(diǎn)，則有 w=fw=gw，令x=z,y=w，帶入(1 ) ，有

從而 ψ(d(w,z))≤ψ(d(w,z))-φ(d(w,z))，可知φ(d(w,z))=0,w=z，則 f 和g 有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

3 推廣

定理2設(shè) (X,d)是完備的擬度量空間，f,g,h：X →X 是三個(gè)映射。如果對(duì)于任何x,y,z ∈X，成立

則 f 和g 有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

證明取定任意的x0∈X，以下構(gòu)造序列{xn}使其滿足

對(duì)任意取定的n=1,2,…，取x=x3n，y=x3n+1，z=x3n+2帶入(10),(11) 可知，

對(duì)任意取定的n=1,2,…，取 x=x3n，z=x3n-1帶入( 3) 可知

由于ψ 是X 上的單調(diào)遞增函數(shù)，可知

綜上可知 ，d(x3n+2,x3n+3)≤ d(x3n+1,x3n+2)≤d(x3n,x3n+1) ≤d(x3n-1,x3n), 從 而{d (xn,xn+1) }是 由 非負(fù)實(shí)數(shù)構(gòu)成的單調(diào)遞減數(shù)列，因此存在r ≥0 使得

對(duì)任意取定的n=1,2,…，取x=x3n，y=x3n+1，z=x3n+2帶入(16),(17) ，取 x=x3n，z=x3n-1帶入(18) 可，用同樣的方法可知，

則由引理，可知{ xn} 按 d 是cauchy。

X 是完備的，x3n+1∈fX ，x3n+2∈ gX,x3n+3∈hX n=0,1,2,…, 則存在 z ∈X,滿足,

令 x=z,y=x3n+1帶入(1 0 ),(1 3) 可知

由于

則有 fz=z，同理 gz=z，hz=z,從而 z 是 f,g,h 的公共不動(dòng)點(diǎn)。

假設(shè)w 也是 f,g,h 的不動(dòng)點(diǎn)，則有g(shù)w=fw=hw=w，令 x=z,y=w，帶 入 (1 1) ，有 ψ(d ( fw,gz ))≤ψ(d ( w,z ))-φ(d ( w,z ))。

從 而 ψ(d ( w,z ))≤ ψ(d ( w,z ))-φ(d ( w,z ))，可 知φ(d ( w,z ))=0,w=z，則 f,g,h 有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。