范麗麗

【摘要】基于APOS理論分析“函數(shù)”這一節(jié)課各個活動環(huán)節(jié)的設計意圖，反思APOS理論對初中函數(shù)教學的指導作用.

【關鍵詞】APOS理論;活動;過程;對象;圖式;函數(shù)概念

案例背景：在蘇科版八年級上冊6.1“函數(shù)”的教學中，學生初次接觸函數(shù)，其對函數(shù)概念的理解，需要經歷從具體到抽象的認識過程，需要通過大量的實際問題感受、發(fā)現(xiàn)世界是運動變化的，才能提煉出函數(shù)模型.它為后面學習其他函數(shù)做鋪墊.函數(shù)與方程、不等式之間也有密切的關聯(lián)，它是初中階段數(shù)與代數(shù)內容的核心.

美國學者杜賓斯基的APOS理論把數(shù)學概念教學分成四個階段：活動、過程、對象、圖式.首先將所學的新知識放到一個具有實際意義的問題情境中，讓學生經歷多個數(shù)學活動，從而實現(xiàn)對數(shù)學“對象”的操作，然后對接收到的外部刺激不斷進行反省和抽象，形成主觀認識，達到主動建構新知識的目的，為學習的概念建立綜合的心理圖式，從而獲取知識之間的聯(lián)系，并加以應用.APOS理論指明了數(shù)學概念建構的途徑和方式，它強調教師是學習的引導者，學生是學習的主體，教師引導學生主動對概念的學習進行建構活動.

案例來源：筆者在某一次市級教研活動中，有幸聽了一位老師上“函數(shù)”這一節(jié)公開課，發(fā)現(xiàn)完全符合杜賓斯基的APOS理論.從課堂過程看，學生學習函數(shù)的興趣完全被激發(fā)出來，從學生的當堂反饋情況看，課堂的教學效果是非常好的，學生對函數(shù)概念的掌握是到位的.所以本人覺得有必要從APOS理論視角下詳細地分析一下這節(jié)課的內容.

片段一：上課鈴聲響起，教師開始上課.

師：請同學們告訴我早上是怎么來學校的？

生：爸爸開車送到學校.

師：那你能說一下坐車的過程嗎？

生：上車、車開、下車.（他一說完全班哄堂大笑，課堂的氣氛立馬活躍起來，學生不緊張拘謹了）

師：那同學們能否說一說汽車行駛過程中都涉及哪些量呢？

生眾：速度、路程、時間、耗油量……

師：那我們今天就進入量的世界去學習.

活動一：

[WTBX]1.汽車以60 km/h的速度勻速行駛.

2.你見過水中的漣漪嗎？如圖，圓形水波慢慢地擴大.

問題1：在上述不同事物的變化過程中，涉及哪些量？請寫出.

（小組合作討論、交流，教師下去巡視發(fā)現(xiàn)一名同學只寫出速度這一個量）

教師立馬上前問道：汽車勻速行駛過程中只有速度嗎？

學生想了一下反應過來：在這個過程中還有時間和路程.

分析意圖：從這一細節(jié)中看出這名學生頭腦中沒有變化的觀念，作為一名初中數(shù)學教師需要了解學生的認知水平是有差異的，應該及時引導幫助學生達到他的最近發(fā)展區(qū).

問題2：路程和時間之間有什么關系？你能結合具體的數(shù)值加以描述嗎？

師：說一說這兩個變量之間的關系.

生：路程÷時間=速度.

師：能不能用具體的數(shù)值來描述兩者的關系？

生：如果時間為1 h，路程就為60 km.

生：時間為1，2，3，4，…，路程為60，120，180，240……

師：你為什么把60，120，180，240……寫在1，2，3，4……的下面呢？

生：因為它們是對應的?。。ㄏ旅婧芏鄬W生恍然大悟，深表同意）

師：大家能從他寫的對應關系中發(fā)現(xiàn)什么？

生：時間越長，行駛的路程越遠，時間確定，行駛的路程就確定.

師：我們這樣對應地寫下去，數(shù)值能取得完嗎？

生：不能，我們可以用t表示時間，用s表示路程，則s=60t.

師：這名同學的想法非常棒，我們掌聲鼓勵一下！類似地看活動二.可以怎么表示圓的面積和半徑之間的關系呢？

生：設圓的半徑為r，面積為S，則S=πr2.（學生受到了鼓舞，積極性更高啦）

師：能用具體的數(shù)值描述一下兩者的關系嗎？

生：圓的半徑為1時，面積為π，半徑為2時，面積為4π……

師：大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：當半徑取一個定值時，面積的值也隨之確定.當半徑變大時，圓的面積也變大.

分析意圖：活動二要求學生對之前的活動過程再重復，再反思，教師在此過程中，很好地引導學生去探究、思考、歸納出兩個變量之間的變化情況.

活動三：下面是某國體育代表團在第24～31屆奧運會上獲得的金牌統(tǒng)計表，把屆數(shù)和金牌數(shù)分別記作x和y.

問題3：在這個變化過程中，哪些是變量？變量之間有什么關系？

生：x和y都是變量，但這兩個變量之間的關系不能描述.（現(xiàn)場一片沉寂，大家似乎都不知道怎么描述x和y的關系）

這時候有一名學生小聲嘀咕：沒有表達式怎么描述它們的關系呢？找不到對應關系啊！

師：這名同學你來讀一讀表格吧.

生：23屆15枚、24屆5枚、25屆16枚……

師：請問第29屆的金牌數(shù)量是多少？

生：51枚.

師：你怎么這么快找到答案了呢？

生：在屆數(shù)的下面就是對應的金牌數(shù)??！

師：那請問大家，x和y有沒有對應關系呢？

生：（大家異口同聲）有！

師：對于x的任何值，y有幾個值與之對應呢？比如，26屆12枚金牌數(shù)能確定嗎？

生：（學生很快發(fā)現(xiàn)）y只有一個值與x對應.

生：對于x的每一個值，y有唯一的值與之對應.

分析意圖：表格中各屆奧運會獲得金牌數(shù)的統(tǒng)計情況，個人認為比蘇科版教材上的水位高低的情境創(chuàng)設更利于學生的理解.但是有一個缺點，學生從數(shù)據(jù)上不易感受到一個變量隨著另一個變量的變化而變化，這正好制造出課堂上的矛盾點，是很好的一種教學手段，也是本節(jié)課的一個亮點.當學生在腦子里不能認識到函數(shù)概念的本質，賦予它形式化定義的階段進行不下去的時候，怎么辦？這時候教師必須引導學生重新回到過程階段，重新建構，重新反思，重新經歷思維的內化壓縮過程，才能抽象出函數(shù)概念特有的屬性.

片段三：下圖是南京某天的氣溫變化圖.

你能描述溫度T和時間t之間的關系嗎？

生：時間的每一個值，溫度有唯一的值與之對應.

師：如何驗證呢？從圖中能找一個具體的值嗎？

生：第10 h的溫度為3 ℃.

生：有兩個變量，一個隨著另一個的變化而變化.

師：能不能說具體一點？

生：對于一個變量的每一個值，另一個變量有唯一的值與之對應.

師：在一個什么過程中呢？

生：在變化的過程中.

問題4：如何驗證氣溫是時間的函數(shù)？

生：氣溫隨著時間的變化而變化，在每一個時間上，都有唯一的溫度值與之對應，所以氣溫是時間的函數(shù).

師：那么時間是氣溫的函數(shù)嗎？

生一部分：不是！反過來.

生一部分：是！

（學生爭論不下，課堂氣氛異常熱烈）

師追問：請大家回想函數(shù)的定義，再仔細觀察圖像，能發(fā)現(xiàn)什么呢？

生：有的溫度值對應兩個時間值，不是唯一的值.比如，溫度為2 ℃時，時間為8 h和19 h.

有同學立馬說：溫度為-1 ℃時，對應的時間有三個值呢?。ㄟ@時候全部同學都抬起頭，仔細觀察圖像，發(fā)現(xiàn)確實如此）

師：那是不是所有的自變量和函數(shù)都不能反過來互換身份？

生：不是，比如，路程是時間的函數(shù)，反過來時間也是路程的函數(shù)，可以表示為t=s[]60，s確定時，t有唯一的值與之對應.

分析意圖：因為學生對一些關鍵詞，比如“唯一確定”的含義理解模糊，所以對函數(shù)概念的深入辨析是必不可少的環(huán)節(jié)，這樣，教師才能及時糾正部分學生在APOS理論實施的某一個階段所產生的錯誤，消除學生認知結構水平和數(shù)學概念結構水平的差異.

活動四：你能不能舉出一些生活中的函數(shù)例子？

生：汽車去加油站加油，加油量和油的總價.

生：燒水的時間和水的溫度.

生：乘坐出租車，所付車費和乘車距離.

（同學們非常積極地舉了很多例子，下課鈴聲響了，很多同學還意猶未盡）

分析意圖：經歷活動、過程、對象三個階段，學生建立了關于函數(shù)的初步心理圖式.讓學生列舉生活中的函數(shù)例子，目的就是引導學生建構再建構的過程，是概念學習的提高階段，是利用APOS理論評估函數(shù)概念學習最終達到的效果.

案例反思：本案例抓住概念形成的規(guī)律，結合初中生的心理認知水平，以及學生的生活實際，依據(jù)APOS理論指導，成功地達成這一節(jié)課的教學目標.

函數(shù)概念是一個基礎概念，它是變量數(shù)學的開端，如果教師上課單純地講授什么是變量，什么是自變量，什么是函數(shù)，那么學生很難感受到函數(shù)是研究運動變化的數(shù)學模型.所以教學中利用APOS理論是很有必要的，在變化的問題情境中，經歷活動、過程、對象、圖式四個階段，認識常量、變量、函數(shù)概念.函數(shù)概念形成過程中，活動階段是把學生帶入生活實際情境中，過程階段需要教師引導學生去操作、去感知、去反思抽象，思維不斷內化壓縮，才能領悟到函數(shù)概念的本質，達到對象階段，形成對函數(shù)相對穩(wěn)定的認識，而圖式的形成是一種動態(tài)、螺旋式的建構與再建的過程，需要經歷一個長期的學習過程，需要教師在后期的教學中幫助學生建立概念的縱向聯(lián)系，主要指函數(shù)內部之間的聯(lián)系，一般由函數(shù)的內涵外延引申出來的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念、圖像與性質等，也要幫助學生建立橫向之間的聯(lián)系，主要指函數(shù)與其他概念之間的聯(lián)系，比如，函數(shù)與方程、不等式之間的關系，只有這樣，才能在學生頭腦中形成綜合的心理圖式.

【參考文獻】

[1]曹麗娟.基于APOS理論下的高中函數(shù)概念教學方式探究[D].西安：陜西師范大學碩士論文，2012（5.1）.

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[3]衛(wèi)德彬.提高初中函數(shù)學習效率的幾點思考[J].中學數(shù)學教學，2014（8.15）.