湯 彬

(重慶市涪陵區(qū)第十二中學(xué)校 重慶 408000)

數(shù)學(xué)解題能力是一種綜合能力，一般是指綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和邏輯思維規(guī)律，整體發(fā)揮數(shù)學(xué)的基本能力和思維水平，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析、解決的能力。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，其中包括思維創(chuàng)造的能力。因此，在教學(xué)中，要提高學(xué)生的解題能力，就應(yīng)抓好基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的學(xué)習(xí)與方法的培養(yǎng)。下面就圍繞解題的一般程序，討論如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

一、培養(yǎng)認(rèn)真審題的好習(xí)慣

仔細(xì)、認(rèn)真地審題，提高審題能力是解題的首要前提。因?yàn)閷忣}可為探索解題途徑提供方向，為選擇解法提供決策依據(jù)。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)、認(rèn)真的審題習(xí)慣，就是要對(duì)問題的題設(shè)、結(jié)論及相關(guān)情況進(jìn)行挖掘。具體地說(shuō)，就是要做到以下三點(diǎn)：

1.了解題意，清楚地理解題目中的全部條件和目標(biāo)，并能準(zhǔn)確地用語(yǔ)言公式、列表或圖形表示出來(lái)；2.綜合題目意義，挖掘題設(shè)和結(jié)論，找出條件之間的聯(lián)系、審清問題及預(yù)見屬于何種題型；3.發(fā)現(xiàn)隱蔽條件。

因此，教師在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)、認(rèn)真的審題習(xí)慣，通讀題，整體把握題目中的條件（特別是題目中的隱含條件）、問題及有關(guān)情況，充分理解題意，把握本質(zhì)和聯(lián)系，理清正確的解題思路。

二、分析題型合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是聯(lián)系數(shù)學(xué)各類知識(shí)的紐帶。在數(shù)學(xué)解題中注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)起到事半功倍的效果[1]。

（一）數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性，形象性，使問題化難為易，化抽象為具體。通過“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問題。

例如：1.河邊取水問題，求兩條線段之和最小。需要通過軸對(duì)稱，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，構(gòu)造兩點(diǎn)之間最短線段來(lái)得到最小值。2.在解不等式組這類問題時(shí)，我們用數(shù)軸來(lái)表示每個(gè)不等式的解集，用陰影部分體現(xiàn)多個(gè)解集的公共部分，使問題簡(jiǎn)單而直觀，便于學(xué)生理解和掌握。

（二）換元思想

換元法又稱變量替換法，即根據(jù)所要求解的式子的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地設(shè)置新的變量來(lái)替代原來(lái)表達(dá)式中的某些式子或變量，對(duì)新的變量求出結(jié)果后，返回去再求出原變量的結(jié)果。換元法通過引入新的變量，將分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關(guān)系式化為顯性關(guān)系式，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、變未知為已知的目的。

例如：分解因式(x2+3x-3)(x2+3x+4)-8

分析：此題展開后是一個(gè)四次多項(xiàng)式，若將其展開，則會(huì)比較復(fù)雜，根據(jù)其特征，可設(shè)x2+3x=t，通過換元，將x的四次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為t的二次多項(xiàng)式，化繁為簡(jiǎn)，變難為易。

解：設(shè)x2+3x=t，則

原式=(t-3)(t+4)-8

=t2+t-20

=(t-4)(t+5)

=(x2+3x-4)(x2+3x+5)

=(x-1)(x+4)(x2+3x+5)

（三）轉(zhuǎn)化與化歸思想

所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易的問題，將未解決的問題變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

我們熟知的解分式方程就是通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程來(lái)解，再經(jīng)檢驗(yàn)確定分式方程的解。

（四）方程思想

方程思想是通過對(duì)問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程，具備標(biāo)新立異、獨(dú)樹一幟的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性思維，將問題化歸為方程的問題，利用方程的性質(zhì)、定理，實(shí)現(xiàn)問題與方程的互相轉(zhuǎn)化接軌，達(dá)到解決問題的目的。

例如：一直角三角形兩直角邊之和為12，斜邊長(zhǎng)5，求面積。這是一道幾何題，可用方程來(lái)解決。

解：設(shè)一直角邊為x，另一直角邊為（12-x），

列方程：x2+(12-x)2=25，最后可求出x，從而求出直角三角形的面積。

（五）分類討論思想

所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。實(shí)質(zhì)上分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略。分類討論時(shí)應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論”。

例如：圓中兩平行弦長(zhǎng)分別為6cm、8cm，半徑為5cm，則兩弦之間的距離是多少？

1.當(dāng)兩弦在圓心兩旁時(shí)，如圖所示。

2.如果兩弦在圓心同旁時(shí)呢？

三、回顧解題過程，善于題后反思

解題后的回顧、分析反思就是對(duì)解題的結(jié)果和解題的方法進(jìn)行反省和總結(jié)。因此，使學(xué)生養(yǎng)成解題后的反思習(xí)慣，是解題教學(xué)非常重要的一環(huán)，教師必須十分重視[2]。

解題后的反思，包括檢驗(yàn)結(jié)果、討論解法、解題后的總結(jié)和創(chuàng)新應(yīng)用三個(gè)方面。

檢驗(yàn)結(jié)果：主要是檢驗(yàn)結(jié)果是否正確無(wú)誤，是否符合實(shí)際意義和題意，推理是否有根有據(jù)，書寫是否合理恰當(dāng)。

討論解法：主要是尋求其他解法或改進(jìn)解法，分析解法特征關(guān)鍵和主要思維過程；尋找規(guī)律，一題多解等。這有利于開拓思維、積累經(jīng)驗(yàn)，整理方法；有助于增強(qiáng)思維的靈活性和提高解題能力。

總結(jié)和創(chuàng)新應(yīng)用：總結(jié)和創(chuàng)新應(yīng)用的方法有很多，一般可以變化問題的題設(shè)和結(jié)論，就是把題設(shè)和結(jié)論交換，從而研究結(jié)論又會(huì)有何變化；其次是在原問題的基礎(chǔ)上創(chuàng)造問題[3]。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程可以說(shuō)是一個(gè)不斷解題的過程，因此，要提高數(shù)學(xué)能力就要先提高解題能力。只有讓學(xué)生學(xué)好相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)真審題，把握必要的數(shù)學(xué)思想和方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，不斷反思、總結(jié)、歸納、創(chuàng)新，才能逐步培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。