鐘麗麗 王利慶

【摘 要】 根據(jù)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵和特征，在發(fā)生式定義概念教學(xué)中，通過(guò)活動(dòng)與體驗(yàn)、思維方法、交流思辨、應(yīng)用與遷移四環(huán)節(jié)開(kāi)展深度學(xué)習(xí).并以《平方差公式》教學(xué)為例，如何進(jìn)行深度學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)，開(kāi)展深度學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】 發(fā)生式定義概念;深度學(xué)習(xí);課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，既是數(shù)學(xué)推理、判斷、論證的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生能力和發(fā)展核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)[1].基于數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程和表述方式的不同，數(shù)學(xué)概念可以歸類(lèi)為描述性定義（如方程概念、不等式概念等）、形式化定義（如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)概念等）、發(fā)生式定義[2]（平方差公式、完全平方公式、各種因式分解的方法等）和關(guān)系性定義（三角形的內(nèi)心、外心、重心、角平分線、中線、高線等），本文以浙教版七下3.4《平方差公式》為例，開(kāi)展對(duì)發(fā)生式定義概念進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的思考和實(shí)踐.

1 發(fā)生式定義概念教學(xué)要重視概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程

發(fā)生式定義概念是指以概念的發(fā)生或形成的本質(zhì)屬性作為種差的定義.一般具有較強(qiáng)操作性，若是幾何概念，則可通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變換;若是代數(shù)概念，則是數(shù)式的運(yùn)算.這一類(lèi)概念教學(xué)，最忌教學(xué)中忽略概念來(lái)源，通過(guò)大量練習(xí)來(lái)替代概念理解和鞏固.這樣的教學(xué)，往往使學(xué)生只知其然而不知其所以然.因此教師在發(fā)生式定義概念教學(xué)中，要重視概念發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生充分參與、體驗(yàn)概念的形成過(guò)程建構(gòu)新知，并能在復(fù)雜情境中有效遷移和運(yùn)用，促使學(xué)生高階思維的發(fā)展.2 數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)內(nèi)涵及其發(fā)生特征

2.1 數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)內(nèi)涵

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)及課程標(biāo)準(zhǔn)要求，首都師范大學(xué)劉曉玫博士認(rèn)為：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容為載體，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)主題和任務(wù)，全身心參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，開(kāi)展運(yùn)算與推理、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析和問(wèn)題解決等為重點(diǎn)的思維活動(dòng)，從而獲得數(shù)學(xué)核心知識(shí)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法，提高思維能力，形成核心素養(yǎng)的過(guò)程.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解、對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)和整體把握;是在經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)思維方式，并將數(shù)學(xué)知識(shí)方法與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立聯(lián)系，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題;是學(xué)生主動(dòng)參與、積極探索、經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程;是不斷反思、質(zhì)疑和應(yīng)用，并對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象深加工的過(guò)程[3].

2.2 數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂發(fā)生的基本特征

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)具有以下四個(gè)基本特征：一活動(dòng)與體驗(yàn)，學(xué)生在課堂上通過(guò)主體活動(dòng)，在活動(dòng)中發(fā)生內(nèi)心體驗(yàn)，它是深度學(xué)習(xí)的核心特征.二聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，通過(guò)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去探究新知識(shí)，并將新知納入到原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中，不斷優(yōu)化和完整.三本質(zhì)與變式，學(xué)生能抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，全面把握知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，并能夠有本質(zhì)推出若干變式，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深加工.在把握本質(zhì)屬性過(guò)程中，或質(zhì)疑、探究，或歸納、演繹，或情境體驗(yàn).四遷移與應(yīng)用，學(xué)生將所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題能力.通過(guò)遷移應(yīng)用，完善學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、完整性，培養(yǎng)和加強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性主動(dòng)性[4].

由此可見(jiàn)深度學(xué)習(xí)是有意義學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上同化;深度學(xué)習(xí)是理解性學(xué)習(xí)，重在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)深切體驗(yàn)和深入思考，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解和滲透;深度學(xué)習(xí)也是階梯式學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)是促進(jìn)式、階梯式并具有層次性.3 發(fā)生式定義概念課中開(kāi)展深度學(xué)習(xí)的四個(gè)環(huán)節(jié)

平方差公式屬于發(fā)生式定義概念，平時(shí)也常稱(chēng)之為公式課，它是用符號(hào)（字母、運(yùn)算符號(hào)）表示量與量之間的關(guān)系（定理或定律）的式子.發(fā)生式定義概念是數(shù)學(xué)原理教學(xué)的一部分，在發(fā)生式定義概念的教學(xué)中，該如何開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為：基于教師深度備課前提下，引領(lǐng)學(xué)生參與公式的探究、猜想、證明過(guò)程，深刻理解公式各部分符號(hào)的意義及內(nèi)在聯(lián)系，并能對(duì)公式變形和問(wèn)題解決.深度學(xué)習(xí)下發(fā)生式定義概念教學(xué)一般環(huán)節(jié)如下圖1.

圖1 深度學(xué)習(xí)下初中數(shù)學(xué)發(fā)生式定義概念教學(xué)控制

3.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，組織學(xué)生參與、體驗(yàn)活動(dòng)

以活動(dòng)為載體，使學(xué)生在活動(dòng)中，發(fā)揮主體作用，激發(fā)真實(shí)的、主動(dòng)的內(nèi)心體驗(yàn)，是開(kāi)展深度學(xué)習(xí)的核心特征.教師通過(guò)深度備課，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使情境符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的最近發(fā)展區(qū)，具有趣味性、操作性等特點(diǎn)，以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的熱情與意愿.在發(fā)生式概念教學(xué)中，教師可以通過(guò)復(fù)習(xí)已有知識(shí)解決問(wèn)題的方式（如乘法公式、冪的運(yùn)算法則）;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（如乘法公式用面積思想）、生活實(shí)例等等手段，喚醒學(xué)生的認(rèn)知思維，激發(fā)學(xué)生內(nèi)心驅(qū)動(dòng)，投入到學(xué)習(xí).

3.2 運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，體會(huì)概念獲得過(guò)程中的基本方法

學(xué)生在探究數(shù)學(xué)公式過(guò)程中，除獲得公式正確結(jié)果外，能結(jié)合命題呈現(xiàn)條件和背景，思考將會(huì)產(chǎn)生結(jié)論（大膽猜想）并用文字語(yǔ)言表達(dá)出來(lái);敢于動(dòng)腦、動(dòng)手對(duì)猜想結(jié)果，探究驗(yàn)證或演繹證明;能根據(jù)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)的情境，了解猜想常見(jiàn)途徑;根據(jù)獲取結(jié)論的不同思維程序，體悟數(shù)學(xué)公式獲得一般流程：引入—觀察—?dú)w納—猜想—證明.獲得公式的思維程序，是探索、發(fā)現(xiàn)新事物路徑之一.而數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重要內(nèi)容之一.因此在課堂教學(xué)中要加強(qiáng)“思維型教學(xué)”，用“數(shù)學(xué)思維”思考問(wèn)題，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展能力.

3.3 開(kāi)展交流思辨，培養(yǎng)學(xué)生深度思考習(xí)慣

交流思辨，在公式建構(gòu)過(guò)程中非常重要，它可以避免學(xué)生在公式課學(xué)習(xí)中“只重視結(jié)論及結(jié)論的套用，不重視推導(dǎo)過(guò)程”的學(xué)習(xí)心理;也可以使教師在教學(xué)過(guò)程“強(qiáng)調(diào)記住結(jié)論，應(yīng)用結(jié)論，不重視知識(shí)形成過(guò)程”的“功利”教學(xué)心理.通過(guò)交流思辨，了解公式的來(lái)龍去脈，揭示其推導(dǎo)、論證中所用到有代表性的數(shù)學(xué)思想、思維方法，清晰公式適用的范圍及成立的特定條件.交流思辨是深度學(xué)習(xí)提升和培養(yǎng)學(xué)生個(gè)體“深度”的環(huán)節(jié)，它可以貫穿整個(gè)公式課的教學(xué)過(guò)程.

3.4 組織遷移應(yīng)用，提升學(xué)生解決問(wèn)題能力

“遷移應(yīng)用”是指向應(yīng)用的“深度學(xué)習(xí)”體現(xiàn)，是學(xué)生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的擴(kuò)展與提升，是學(xué)生“內(nèi)化知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“外顯知識(shí)”環(huán)節(jié)，同時(shí)可以把新知識(shí)納入到舊知結(jié)構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)完善.在公式教學(xué)中，“遷移應(yīng)用”是對(duì)公式直接應(yīng)用的加深，對(duì)公式逆向應(yīng)用的拓展，總之要對(duì)公式能靈活變形，熟練掌握公式.4 初中數(shù)學(xué)公式課教學(xué)深度學(xué)習(xí)的案例分析

下文是筆者2019年4參加“浙江省千人百場(chǎng)專(zhuān)家名師送教下鄉(xiāng)”于江山的一次公開(kāi)課，是浙教版七下第三章3.4《乘法公式》第1課時(shí)（平方差公式）.本文基于深度學(xué)習(xí)特征要素設(shè)計(jì)活動(dòng)，呈現(xiàn)發(fā)生式定義概念如何開(kāi)展深度學(xué)習(xí)路徑.課前預(yù)學(xué)單

1.計(jì)算下列各式：

①（m+n）（p+q）;②（a+b）（x-y）;③（2x+3y）（a-b）.

對(duì)于①（m+n）（p+q）并嘗試用幾何圖形來(lái)表示.

2.計(jì)算下列各式：

④（a+2）（a-2）;⑤（3-x）（3+x）;⑥（2m+n）（2m-n）.

思考并回答：

1）上述式子有什么結(jié)構(gòu)特征？

2）你能用式子表示這種特殊多項(xiàng)式相乘嗎？并嘗試對(duì)所寫(xiě)式子進(jìn)行驗(yàn)證.

設(shè)計(jì)意圖 首先，基于學(xué)生學(xué)情，剛學(xué)完多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式乘法法則，用題組形式呈現(xiàn)并課前解決，符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn).其次就教材知識(shí)呈現(xiàn)次序而言，平方差公式是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的特殊形式，所以多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則是新知的“固著點(diǎn)”，利用已有知識(shí)作為情境引入的素材，可以充分發(fā)揮舊知的“先行組織者”功能，在一般情況下發(fā)現(xiàn)特例，并由此得到猜想、歸納、證明.第三，就學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)價(jià)值而言，感受有“一般到特殊”得出數(shù)學(xué)結(jié)論的研究思考路徑.最后，以預(yù)學(xué)單形式課前完成，可以讓各個(gè)層度的孩子有充分思考時(shí)間，尤其是學(xué)困生可以再一次鞏固多項(xiàng)式乘法法則.同時(shí)教師通過(guò)批改學(xué)生預(yù)學(xué)情況，了解每位孩子思考角度.

活動(dòng)1 下列式子中哪些可以用平方差公式運(yùn)算？如果滿(mǎn)足，請(qǐng)指出公式中的a，b分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生對(duì)平方差公式有初步的感受之后，設(shè)置這一組題目，讓學(xué)生加強(qiáng)辨識(shí)公式左邊的結(jié)構(gòu)特征，只有準(zhǔn)確掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，才能使學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中，快速分辨采用一般多項(xiàng)式乘法法則還是采用平方差公式.在公式類(lèi)型的課例教學(xué)中，可以采取拉長(zhǎng)探索公式歷程的策略，通過(guò)題組辨析，熟悉公式特征，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)公式本質(zhì)的理解，發(fā)展學(xué)生的深度思考力，發(fā)揮“公式課”的教學(xué)價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象概括能力和化歸能力.

活動(dòng)2 下列運(yùn)算正確嗎？若不正確請(qǐng)改正.

問(wèn)題1：你能?chē)L試用文字語(yǔ)言表述平方差公式嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)活動(dòng)1、2的辨析，學(xué)生對(duì)平方差公式左邊和右邊的結(jié)構(gòu)特征在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中更為清晰，這個(gè)時(shí)候提出用文字語(yǔ)言表述，就可以更精準(zhǔn).至此，已探究出平方差公式的兩種表征方式，深化學(xué)生對(duì)平方差公式的多角度認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)公式的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)讓學(xué)生充分經(jīng)歷公式的生成過(guò)程，防止學(xué)生機(jī)械性的記憶公式，突破符號(hào)的形式化，真正深度學(xué)習(xí).

活動(dòng)3 填空

設(shè)計(jì)意圖 歸納用平方差公式計(jì)算的一般步驟：1判斷2調(diào)整3計(jì)算，體會(huì)平方差公式具有“結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性”特征.通過(guò)例題及活動(dòng)2，熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式的條件.活動(dòng)3的設(shè)計(jì)，主要是對(duì)平方差公式的逆用，旨在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，同時(shí)也為后續(xù)因式分解的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ).發(fā)揮例題和練習(xí)的教學(xué)功能，深化知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.在公式教學(xué)中，使學(xué)生充分感受公式的生成過(guò)程，熟悉和清晰公式的表征形式，把握公式形式化的本質(zhì)，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的教學(xué).

活動(dòng)4 根據(jù)所給的單項(xiàng)式：x，y，2，任意選用運(yùn)算符號(hào)，構(gòu)造出符合平方差公式特征的多項(xiàng)式乘法，并計(jì)算結(jié)果（可以添加正負(fù)號(hào)，每人至少寫(xiě)5組.先獨(dú)立完成、再小組討論、核對(duì)，最后選擇5題寫(xiě)在小黑板上展示）.

設(shè)計(jì)意圖 用平方差公式化簡(jiǎn)計(jì)算過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)在于找準(zhǔn)相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，這恰是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)和模糊點(diǎn).這個(gè)開(kāi)放性環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，可以讓孩子進(jìn)一步理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，從而培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決、思維發(fā)散等能力.放手讓孩子“自編自導(dǎo)自算”，讓孩子當(dāng)家做主，可以提高孩子的學(xué)習(xí)積極性.在小組核對(duì)討論環(huán)節(jié)，又可以相互學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步.同時(shí)也可以很好地落實(shí)“不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生有不同的發(fā)展”.

活動(dòng)5 完成下列計(jì)算.

1.用平方差公式計(jì)算：

（1）103×97; （2）59.8×60.2.

2.計(jì)算：（x+1）（x-1）（2x2+2）.

設(shè)計(jì)意圖 這是平方差公式的應(yīng)用遷移，兩題關(guān)于數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算，實(shí)際上是對(duì)平方差公式中a，b及公式結(jié)構(gòu)的深度理解，對(duì)用字母表示數(shù)的靈活處理.2題的計(jì)算，是在一般問(wèn)題的背景下，讓學(xué)生自動(dòng)識(shí)別公式特征，一個(gè)問(wèn)題情境下，多次使用公式，對(duì)學(xué)生的思維要求比較高.

活動(dòng)6 談?wù)勥@節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？本節(jié)課我們是如何研究平方差公式的？

設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)活動(dòng)的設(shè)計(jì)一方面讓學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)、反思的好習(xí)慣;另一方面引導(dǎo)學(xué)生思考如何研究平方差公式，為后續(xù)相關(guān)概念如：完全平方公式的學(xué)習(xí)、因式分解方法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供了研究思路：特殊形式的多項(xiàng)式乘法—?dú)w納結(jié)構(gòu)特征—提煉公式—辨識(shí)公式特征—應(yīng)用公式計(jì)算—拓展應(yīng)用.為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)與發(fā)展都有很大幫助，可以站在更高視角來(lái)審視概念認(rèn)識(shí)過(guò)程.

《平方差公式》這一節(jié)課，從蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法看：平方差公式的引入蘊(yùn)含了分類(lèi)與整合的思想;平方差公式在探究與證明過(guò)程中凸顯一般與特殊思想;平方差公式幾何意義的探究中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;平方差公式外延的辨析中培養(yǎng)了逆向思維;平方差公式應(yīng)用過(guò)程中體現(xiàn)了整體、化歸的數(shù)學(xué)思想.平方差公式自身的功能詮釋了建模與應(yīng)用的思想.這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)讓學(xué)生充分體驗(yàn)和感悟了豐富的數(shù)學(xué)思想方法.從數(shù)學(xué)方法上來(lái)看，主要揭示了這一類(lèi)概念學(xué)習(xí)的研究思路，可以站在更高的視角來(lái)審視概念的認(rèn)識(shí)過(guò)程，滲透了學(xué)生學(xué)法的指導(dǎo).

深度學(xué)習(xí)如何有效地在課堂教學(xué)中落地生根，重在充分發(fā)揮教師的組織者功能，筆者以為，可以基于以下三個(gè)方面作積極的探索和實(shí)踐：對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深度理解上，要深刻理解教學(xué)內(nèi)容承載的教學(xué)功能;對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深度設(shè)計(jì)上，采取什么樣適合的形式輸出，使設(shè)計(jì)更為有效;對(duì)教學(xué)形式的深度組織上，如何發(fā)揮學(xué)生的主體地位，主動(dòng)參與教學(xué)過(guò)程，主動(dòng)思考和自主探究.只有這樣，才能將學(xué)生這種內(nèi)源性的學(xué)習(xí)形態(tài)，轉(zhuǎn)變成深度學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

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作者簡(jiǎn)介 鐘麗麗（1983—），女，浙江杭州人，中學(xué)一級(jí)教師，余杭區(qū)骨干教師、教壇新秀，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.

王利慶（1973—），女，浙江紹興人，中學(xué)高級(jí)教師，教育碩士，杭州市教壇新秀，優(yōu)秀班主任，多篇教學(xué)論文獲獎(jiǎng)及發(fā)表，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.