黃金分割展魅力 圖形變換搭平臺

備受關(guān)注的2020年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試已經(jīng)落下帷幕.在“新冠疫情”背景下，平面幾何壓軸題難度如何定位，以哪個經(jīng)典圖形作為題根，重點考查哪些知識點等成為一線數(shù)學(xué)教師重點關(guān)注的對象.當(dāng)仔細(xì)研究2020年安徽省學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)卷第23題（以下簡稱試題）后，筆者不得不佩服命題組老師高超的命題技巧，為了兼顧城鄉(xiāng)差別以及“疫情”防控背景下的網(wǎng)課教學(xué)現(xiàn)狀，試題難度較往年雖有所降低，但仍然是一道清新、亮麗、內(nèi)涵豐富的平面幾何壓軸題.1 原題呈現(xiàn)

3 試題教學(xué)導(dǎo)向分析

3.1 強化推理及運算，提升學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)

章建躍博士提出：“運算是數(shù)學(xué)的童子功，推理是數(shù)學(xué)的命根子”.而通過閱卷發(fā)現(xiàn)：很大一部分學(xué)生邏輯混亂，等角轉(zhuǎn)換想當(dāng)然;把幾何直觀等同于幾何推理;輔助線添加不規(guī)范，更有甚者寫了一大堆與證明無關(guān)的過程等.試題第2問基本思路就是借助三角形相似得出比例式，通過設(shè)未知數(shù)建立一元二次方程，可通過閱卷卻發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)比例式及方程呈現(xiàn)都沒有問題，反而在最不該出現(xiàn)問題的方程求解上出現(xiàn)了問題，要么是解錯方程，要么是方程的求解書寫不規(guī)范，不得不為此處的失分而惋惜.這些現(xiàn)象的大面積出現(xiàn)，說明初中學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)堪憂，也提醒一線數(shù)學(xué)教師只有從最基本的推理、運算入手，不惜時，不惜力，才能扎實提高學(xué)生的基本功，從而養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思維，規(guī)范表達的良好習(xí)慣.3.2 動靜結(jié)合，注意圖形變換的“度”

平移、旋轉(zhuǎn)、對稱是平面幾何的三大變換形式，通過“三大變換”實現(xiàn)圖形的自然生長，也是圖形再創(chuàng)造的重要途徑之一.對于動態(tài)圖，部分“學(xué)優(yōu)生”比較熟悉“以動制靜，動靜結(jié)合”的解決策略，但有時對一些靜態(tài)圖反而找不到好的處理方式，實際上對一些靜態(tài)圖若從動態(tài)的角度思考，反而會有一種豁然開朗的意境.但教學(xué)的現(xiàn)狀反饋：對于現(xiàn)階段的初中畢業(yè)生來說，通過圖形變換來進行推理的能力還是比較欠缺的.如在閱卷中發(fā)現(xiàn)：雖有部分同學(xué)通過旋轉(zhuǎn)來敘述推理過程，但卻沒有交待旋轉(zhuǎn)后的點為什么落在相關(guān)線段上等問題而導(dǎo)致失分.所以在具體的教學(xué)中，圖形變換的“度”一定要拿捏準(zhǔn)確，教師可以主動引導(dǎo)學(xué)生從平移、對稱、旋轉(zhuǎn)變換等角度來思考問題，以提升學(xué)生對圖形的識圖能力，但在具體的推理過程中還是要盡量回避.當(dāng)然，當(dāng)學(xué)生進入高中階段并熟悉了“三點共線”，真正搞懂了圖形變換的“門道”后，對稱、旋轉(zhuǎn)、平移變換不失為解決問題的一種好方法.3.3 立足教材，提高教學(xué)研究水平

2020年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試取消了《考試綱要》，《課程標(biāo)準(zhǔn)》成了命題的唯一依據(jù)，而教材是解讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》的最佳范本，是教材編寫專家集體智慧的結(jié)晶.試題取材于課本上的經(jīng)典圖形（黃金矩形），借助黃金分割點構(gòu)成矩形背景下的“十字架”結(jié)構(gòu)設(shè)計問題，試題源于課本，高于課本，補出相應(yīng)的正方形后可以發(fā)現(xiàn)，試題的圖形又是2017年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試的第23題圖形的自然生長圖，是2017年安徽省學(xué)業(yè)水平考試第23題的再研究、再創(chuàng)造.在日常教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮教材中經(jīng)典圖形的功能，立足教材研究試題，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方法，形成解決問題的基本策略.對典型例習(xí)題，深挖其內(nèi)涵，通過追本溯源、自然生長等方式，研究試題的前世、今生及發(fā)展，認(rèn)真探索一題多變，一題多解，一圖多用的教學(xué)方式，以提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，同時提高教師自身的教學(xué)水平、教學(xué)品位.3.4 課標(biāo)是底線，解題教學(xué)需拓展

從閱卷情況看，試題的解決雖然大部分學(xué)生是從圖形變換（旋轉(zhuǎn)、平移、對稱）的角度思考各種解法，但仍有相當(dāng)一部分學(xué)生采用了“四點共圓”、平移+旋轉(zhuǎn)、黃金比+相似、解析法、托勒密定理等各種方法.如果以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》及教育部公布的《命題意見》中呈現(xiàn)的負(fù)面清單來說，學(xué)生的答題似乎有“超標(biāo)”之嫌，值得商榷.然而作為平時的解題教學(xué)，應(yīng)倡導(dǎo)反思，在反思中將成果擴大，注意對問題深層結(jié)構(gòu)的揭示，促進優(yōu)秀學(xué)生深刻理解.因此在平時的解題教學(xué)中，對于有些內(nèi)容，如“射影定理”、“四點共圓”、“圓冪定理”等知識點，不能因為《課標(biāo)》不作要求，在教學(xué)中就完全不涉及，事實上，對于部分“學(xué)優(yōu)生”來說，掌握這些內(nèi)容完全沒有問題，讓這些學(xué)生“吃好，吃飽”也是一線數(shù)學(xué)老師的義務(wù).著名教育專家李庾南老師就曾表達過“課標(biāo)是底線要求，不是天花板”的觀點.

參考文獻：

[1]王云峰.“直角三角形外接圓截直角平分線”數(shù)學(xué)模型探究[J].中國數(shù)學(xué)教育，2016（5）：59-64

[2]高厚良.“源于古埃及三角形，終于黃金比”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（8）：62-65

[3]章建躍.“核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上）.2019（6）：6-11