淺析多元函數(shù)的求導(dǎo)

孫珊珊

【摘?要】多元函數(shù)的求導(dǎo)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中必須要掌握的一個(gè)點(diǎn)，同時(shí)它也是一個(gè)難點(diǎn)。本文就來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下多元函數(shù)的類型與多元函數(shù)的求導(dǎo)法則。研究多元函數(shù)的求導(dǎo)能讓我們提升自己的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】多元函數(shù);求導(dǎo)

【中圖分類號(hào)】B032.2

在解決許多問(wèn)題的時(shí)候，往往都要使用到函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題。但如果只使用只有一個(gè)自變量的一元函數(shù)解決問(wèn)題，有著很大的局限性，因?yàn)楹芏鄬?shí)際問(wèn)題都牽扯到很多方面的影響，在數(shù)學(xué)中就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的情況，所以便引入了多元函數(shù)的概念。在高等數(shù)學(xué)中，多元函數(shù)的求導(dǎo)也是很重要的一環(huán)，同時(shí)呢，與一元函數(shù)不同，多元函數(shù)的形式多樣，多元函數(shù)的求導(dǎo)會(huì)繁雜許多，那么掌握多元函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵、分析各種多元函數(shù)的類型就特別的重要。本文就簡(jiǎn)單的分析一下多元函數(shù)的類型，并介紹相對(duì)應(yīng)的求導(dǎo)方法。

多元函數(shù)的求導(dǎo)

在一元函數(shù)中，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)自變量，所以可以直接求導(dǎo)。而多元函數(shù)的自變量不止一個(gè)，至少有兩個(gè)，自變量和因變量的關(guān)系要比一元函數(shù)復(fù)雜的多，所以多元函數(shù)求導(dǎo)有很多種。

一.偏導(dǎo)數(shù)

偏函數(shù)就是先考慮多元函數(shù)中某一個(gè)自變量的變化率，也就是偏某一自變量求導(dǎo)，使用偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)。

四.復(fù)合函數(shù)

首先我們要清楚復(fù)合函數(shù)的定義：假設(shè)y是u的函數(shù)，u又是x的函數(shù)，那么就有y=f（u），u=g（x），即y關(guān)于x的函數(shù)就有y=f [g（x）]，這個(gè)函數(shù)就叫做函數(shù)y=f（u），u=g（x）的復(fù)合函數(shù)，其中x就是自變量，a就是中間變量，y就是函數(shù)值。

在一元復(fù)合函數(shù)中的求導(dǎo)有鏈?zhǔn)椒▌t：它們的函數(shù)關(guān)系是y對(duì)應(yīng)u，u對(duì)應(yīng)x。

鏈?zhǔn)椒▌t在多元復(fù)合函數(shù)中同樣適用，以下就是利用該規(guī)則求導(dǎo)的基本步驟。

（1）弄清函數(shù)之間的關(guān)系，明確有幾條路徑

（2）按照連式法則寫出式子（有幾條路徑就是幾部分的和就是各個(gè)路徑之間相加，路徑的每段對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)用乘法連起來(lái)，分段相乘）。

（3）計(jì)算那么在這里我們還要特別注意到如果是一元函數(shù)關(guān)系就用直立的導(dǎo)，如果是多元函數(shù)關(guān)系就用偏導(dǎo)。

1.多元函數(shù)和一元函數(shù)復(fù)合（兩個(gè)或以上中間變量，一個(gè)自變量，中間變量為一元函數(shù)）

假設(shè)函數(shù)和都在x點(diǎn)可導(dǎo)，那么函數(shù)就在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)就在對(duì)應(yīng)點(diǎn)x可導(dǎo).

在中，u和v都是有關(guān)于自變量x的一元函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)就有兩個(gè)中間變量，中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)，所以就有以下求導(dǎo)公式其中稱為全導(dǎo)數(shù)。

如果f，u，v都是具體給定的的函數(shù)，那么求全導(dǎo)數(shù)我們可以直接將中間變量用最終自變量換進(jìn)去讓它變成一元函數(shù)后，通過(guò)對(duì)一元函數(shù)求導(dǎo)就能求出最后結(jié)果

例題2：假設(shè)函數(shù)，其中，可導(dǎo)，求。

解：首先我們要分析其中的函數(shù)關(guān)系，中間變量是有兩個(gè)，即x和y，x和y是關(guān)于t的函數(shù)其中可導(dǎo)，中間變量是一元函數(shù)。所以就用公式：?另外：假設(shè)題目中的中間變量不僅有兩個(gè)，出現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系，那么我們可以把以上公式改為，同理運(yùn)用公式便可輕易解出題目。

2.多元函數(shù)和多元函數(shù)復(fù)合（兩個(gè)中間變量，兩個(gè)自變量，中間變量為多元函數(shù)）

假設(shè)和在點(diǎn)都有對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)，同時(shí)函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)都具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。則復(fù)合函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，即可用以下公式：

3.三個(gè)中間變量?jī)蓚€(gè)自變量（中間變量既有一元函數(shù)也有多元函數(shù)）

假設(shè)有函數(shù)關(guān)系，其中，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x和y可求偏導(dǎo)數(shù)，公式如下：

總結(jié)

數(shù)學(xué)是原始人類在長(zhǎng)期的生活和生產(chǎn)實(shí)踐中逐漸形成的，具有嚴(yán)密的邏輯性和高度的抽象性。而多元函數(shù)作為數(shù)學(xué)中不可缺少的一部分，其重要性不言而喻。通過(guò)利用偏導(dǎo)數(shù)，高階偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元復(fù)合函數(shù)，多元函數(shù)的隱函數(shù)這些知識(shí)來(lái)對(duì)多元函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，熟悉掌握對(duì)多元函數(shù)的求導(dǎo)后，可以解決實(shí)際生活中許多復(fù)雜的問(wèn)題，提高自己的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)第七版上冊(cè)[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉隆復(fù). 數(shù)學(xué)分析習(xí)題講義：多元函數(shù)部分[M]. 吉林大學(xué)出版社，1986.

[3]艾立新. 具有復(fù)雜函數(shù)關(guān)系的多元函數(shù)求導(dǎo)法[J]. 軍需工業(yè)高等?？茖W(xué)校邢臺(tái)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校學(xué)報(bào)，1997.

（作者單位：廣州工商學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部）