何 昕 蘆傳洋 崔文慶 曹雪梅

（1. 黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 河南 開(kāi)封475000；2. 河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng)471003）

直齒錐齒輪的齒廓實(shí)際上為一球面曲線(xiàn)，微小的加工誤差即會(huì)對(duì)齒輪副的嚙合性能產(chǎn)生影響[1-2]。 因此，對(duì)直齒錐齒輪建立精確的數(shù)學(xué)三維模型是分析其承載能力和嚙合性能的前提。

文獻(xiàn)[3]提出了直齒錐齒輪三維參數(shù)化掃描成形建模方法， 通過(guò)參數(shù)建立球面漸開(kāi)線(xiàn)和齒根曲線(xiàn)，再由此作出片體，但存在不穩(wěn)定性誤差。 文獻(xiàn)[4]在Plo/E 中建立直錐數(shù)學(xué)模型， 在MSC.Marc 中進(jìn)行三維彈性有限元模擬，考慮了輪轂下齒輪剛性變化情況，但其所建模型轉(zhuǎn)換過(guò)程存在較為明顯的誤差。文獻(xiàn)[5]根據(jù)球面漸開(kāi)線(xiàn)的生成原理，使用Pro/E 軟件，采用由線(xiàn)到面再到實(shí)體的方式，實(shí)現(xiàn)了直齒錐齒輪系建模的精確化與參數(shù)化，但整體依托建模軟件，缺乏直齒錐齒輪成形原理依據(jù)。

本文以刨齒機(jī)上刨削直齒錐齒輪為基礎(chǔ)，建立直齒錐齒輪齒面方程。基于此，編寫(xiě)齒面點(diǎn)求解程序，利用MATLAB 導(dǎo)出精確齒面點(diǎn)數(shù)據(jù)，在UG 中生成直錐單側(cè)齒面片， 通過(guò)直錐幾何原理， 對(duì)其單側(cè)齒面片在分度圓上分錐線(xiàn)鏡像生成輪齒齒槽， 進(jìn)而完成直齒錐齒輪精確數(shù)學(xué)建模。

1.刨齒展成法直錐齒面方程

圖1 切齒坐標(biāo)系

直齒錐齒輪的齒形切齒加工一般在刨齒機(jī)上通過(guò)刨削實(shí)現(xiàn)，本文選取一對(duì)輪位修正量和床位均為零的直錐齒輪進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。 在刨齒機(jī)上加工直錐輪坯時(shí)，刨刀安裝在搖臺(tái)處刀架上，隨搖臺(tái)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生范成齒形，同時(shí)往復(fù)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)切削輪坯。 刀具刀刃是一條直線(xiàn)，刀具沿著xc方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)xcoczc為產(chǎn)形面坐標(biāo)平面。

建立直齒錐齒輪切齒坐標(biāo)系如圖1 示。 圖中：α—被加工齒輪的壓力角；Φg—搖臺(tái)轉(zhuǎn)角；δf—被加工齒輪根錐角；Φ1—被加工齒輪轉(zhuǎn)角。

通過(guò)求解產(chǎn)形面和被加工齒面之間的嚙合方程，可得直齒錐齒輪齒面方程。

2.直齒錐齒輪精確數(shù)學(xué)建模

表1 齒輪基本幾何參數(shù)

在MATLAB 中通過(guò)直齒錐齒輪齒面方程導(dǎo)出單側(cè)齒面片齒面點(diǎn)族DAT 文件。 以表1 齒輪副參數(shù)進(jìn)行精確數(shù)學(xué)建模， 在UG 中生成精確直錐單側(cè)齒面片模型[6-9]，如圖2 所示。

圖2 齒面片體

為了建立精確的直齒錐齒輪三維模型， 本文提出了一種基于直錐幾何原理的建模方法：根據(jù)分度圓上分錐線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)每一度所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)即分度圓齒厚，求解出兩個(gè)齒面片之間分錐線(xiàn)所轉(zhuǎn)動(dòng)角度，由此計(jì)算出鏡像基準(zhǔn)線(xiàn)位置。

式 (1) 中，L 為兩齒面片之間分度圓齒厚；N為齒厚所對(duì)應(yīng)圓心角度；S 為每度所對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)。

通過(guò)選取分度圓上鏡像基準(zhǔn)分錐線(xiàn)， 對(duì)單側(cè)齒面片進(jìn)行鏡像，得到等基圓錐齒輪兩側(cè)齒面片。通過(guò)MATLAB 可求出另一側(cè)齒面片齒面點(diǎn)族，導(dǎo)入U(xiǎn)G 中和鏡像齒面完全吻合， 進(jìn)一步驗(yàn)證了程序和所選鏡像基準(zhǔn)線(xiàn)的正確性，如圖3 所示。

圖3 對(duì)稱(chēng)齒面片體

此時(shí)， 在UG 的建模模塊通過(guò)對(duì)齒面片進(jìn)行縫合等一系列操作，生成直齒錐齒輪小輪模型，同時(shí)對(duì)直錐大輪進(jìn)行三維模型。 對(duì)直錐齒輪副進(jìn)行裝配和運(yùn)動(dòng)仿真，得到齒輪副虛擬接觸區(qū)域，如圖4 所示建模裝配和運(yùn)動(dòng)仿真過(guò)程。

圖4 齒輪副的裝配圖

在UG 的運(yùn)動(dòng)仿真模塊， 通過(guò)主動(dòng)輪帶動(dòng)從動(dòng)輪嚙合滾動(dòng)，調(diào)制齒輪顯示顏色，可以清晰看出兩齒輪齒面間接觸印痕，如圖5 所示齒輪副虛擬滾檢印痕圖。

圖5 齒輪副虛擬滾檢印痕圖

3.齒面接觸分析

齒面接觸分析（TCA）可以模擬滾檢時(shí)齒面的接觸印痕和傳動(dòng)誤差，也是分析齒輪實(shí)際工況下承載能力、振動(dòng)噪聲的前提。 通過(guò)編寫(xiě)直齒錐齒輪齒面接觸分析程序，分析其幾何傳動(dòng)誤差曲線(xiàn)以及齒面接觸印痕圖形。 通過(guò)和虛擬滾檢得到的接觸印痕相對(duì)比進(jìn)行相互佐證以驗(yàn)證分析結(jié)論的正確性[10-13]。

圖6 傳動(dòng)誤差和齒面接觸印痕

從圖6 中觀(guān)察可得：直齒錐齒輪傳動(dòng)誤差曲線(xiàn)為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，兩側(cè)拋物線(xiàn)平滑略不對(duì)稱(chēng)；接觸跡線(xiàn)上所選取的接觸點(diǎn)接觸的橢圓長(zhǎng)軸近似無(wú)窮大，方向沿著其所在的接觸線(xiàn)且通過(guò)節(jié)錐頂點(diǎn)。

直錐齒面為一直紋面，母線(xiàn)通過(guò)節(jié)錐，在錐齒輪傳動(dòng)時(shí)大小輪直紋面的母線(xiàn)相接觸，此時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)軸應(yīng)為無(wú)窮大，方向沿主、被動(dòng)輪齒面上接觸線(xiàn)方向， 即實(shí)驗(yàn)結(jié)果滿(mǎn)足理論依據(jù)。

4.結(jié)論

（1）根據(jù)刨齒機(jī)刨削直錐過(guò)程，建立錐齒輪齒面方程，提取齒面點(diǎn)族數(shù)據(jù)。 基于齒輪幾何原理，提出以分度圓上弧齒厚控制理論依據(jù)來(lái)精確建模，實(shí)驗(yàn)表明模型精確無(wú)誤，理論依據(jù)滿(mǎn)足建模要求。

（2）對(duì)精確建立的齒輪副模型進(jìn)行虛擬運(yùn)動(dòng)仿真，以其虛擬滾檢得到的接觸印痕和齒面接觸分析程序所得接觸印痕相對(duì)比基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的精確性和本文所提出建立直錐理論方法的正確性。