聶帥帥，唐世星，劉 可，徐康泰，李江飛，王少征

（承德石油高等?？茖W(xué)校，河北承德 067000）

水力壓裂是低滲透油氣藏增產(chǎn)改造的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。但是，油氣層非均質(zhì)性強(qiáng)，各井壓裂條件參差不齊，使得壓裂效果難以保障[2]。因此，如何評(píng)價(jià)各參數(shù)對(duì)壓裂效果的影響程度，指出制約壓裂效果的主控因素，定量優(yōu)化壓裂參數(shù)以指導(dǎo)壓裂施工，是提高壓裂效果的關(guān)鍵所在。

部分學(xué)者采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法預(yù)測(cè)壓裂效果。主要分為建立壓裂產(chǎn)量的時(shí)間序列模型、建立模糊綜合評(píng)判模型、建立壓后產(chǎn)量與壓裂影響因素的數(shù)學(xué)模型3 大類[3-10]。

對(duì)壓裂效果主控因素診斷尚缺乏較為系統(tǒng)的方法或流程。而當(dāng)前數(shù)據(jù)挖掘、大數(shù)據(jù)等技術(shù)的興起，為決策優(yōu)化類問題提供了一種新的研究手段或研究角度。為此，本文基于當(dāng)前較為成熟的R 語言數(shù)據(jù)挖掘平臺(tái)，在建模參數(shù)篩選和數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的基礎(chǔ)上，建立壓后產(chǎn)量與壓裂參數(shù)間的最優(yōu)數(shù)學(xué)模型，從而 實(shí)現(xiàn)壓裂效果的預(yù)測(cè)、壓裂效果主控參數(shù)的診斷和優(yōu)化，達(dá)到定量指導(dǎo)壓裂方案優(yōu)化的目的。

X 油田儲(chǔ)層孔隙度為9%～21%，滲透率多低于50 ×10-3μm2，50 ℃時(shí)原油黏度119～455 mPa·s，原始平均壓力系數(shù)為0.93，自然條件下平均單井日產(chǎn)油為1 t，是典型的低壓、低滲、低產(chǎn)、稠油油藏。因此，水力壓裂是提高該油田開發(fā)效果的關(guān)鍵。該油田采用活性水壓裂液，壓裂后日產(chǎn)油低于15 t，壓裂井的壓裂效果差別較大。

1 參數(shù)篩選

根據(jù)石油天然氣行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)SY/T5289-2008《油、氣、水井壓裂設(shè)計(jì)與施工及效果評(píng)估方法》，采用壓裂后一個(gè)月的平均日產(chǎn)油量來評(píng)估壓裂效果。

共采集X 油田52 口井的壓裂數(shù)據(jù)，參數(shù)15個(gè)，包括孔隙度Φ、滲透率K、含水飽和度Sw、壓裂厚度h、加砂量VS、平均砂比Sb、前置液量Vpad、攜砂液量Vscl、實(shí)際壓裂液量Vinj、反排量Vffr、反排率η、破裂壓力Pf、停泵壓力Ps、放噴壓力Pa、日均產(chǎn)油量q。由于各壓裂參數(shù)之間存在著一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)先剔除共線參數(shù)，保證建模參數(shù)之間的獨(dú)立性。

1.1 相關(guān)性系數(shù)確定強(qiáng)相關(guān)參數(shù)

Pearson 相關(guān)性分析可以衡量兩兩變量之間的線性相關(guān)性大小[11]，計(jì)算公式如下：

式中：r為相關(guān)系數(shù)，無量綱；x、y為變量，這里指孔隙度Φ、滲透率K 等15個(gè)參數(shù)；n為觀測(cè)井?dāng)?shù)。

如果相關(guān)系數(shù)r≥0.8，表示相關(guān)程度高；如果0.6≤r＜0.8，表示相關(guān)程度中等；如果r＜0.6，表示相關(guān)程度低。

1.2 方差膨脹因子檢驗(yàn)多重共線參數(shù)

統(tǒng)計(jì)Vif（Variance Inflation Factor，方差膨脹因子）是檢測(cè)因素是否共線的指標(biāo)[12]。表征了參數(shù)的置信區(qū)間能膨脹為與模型無關(guān)的自變量的程度。一般認(rèn)為當(dāng)時(shí)，因素共線。

直接建立q 與14個(gè)參數(shù)間的回歸模型，采用統(tǒng)計(jì)Vif 檢驗(yàn)多重共線性，結(jié)果如圖1。

從圖1 可以看出，Sb、Vs、Vpad、Vscl、Vinj、Vffr、η、Ps和Pa等9個(gè)參數(shù)之間存在多重共線性，檢測(cè)結(jié)果與相關(guān)性分析的結(jié)果一致。

為避免因素多重共線，Vs、Vpad、Vscl、Vinj等4個(gè)參數(shù)選擇1個(gè)即可，這里選取與q 相關(guān)性最大的Vpad；Vffr和η 等2個(gè)參數(shù)選擇1個(gè)即可，在已選擇Vpad的前提下，選擇η；Ps和Pa等2個(gè)參數(shù)選擇1個(gè)即可，這里選擇Ps。因此，共剔除Vs、Vscl、Vinj、Vffr和Pa等5個(gè)參數(shù)。

圖1 多重共線檢驗(yàn)

再次擬合q 與剩余9個(gè)參數(shù)回歸模型，診斷參數(shù)是否存在多重共線性發(fā)現(xiàn)，所有參數(shù)均通過檢驗(yàn)，不存在多重共線性。因此，已經(jīng)成功剔除共線參數(shù)，下一步可以建立模型。

2 數(shù)學(xué)模型建立

由于每口井的資料難以保證是用同一類儀器、相同刻度標(biāo)準(zhǔn)化及統(tǒng)一操作方式而測(cè)得，且不同參數(shù)的量綱和數(shù)量級(jí)差別也較大，為消除這種影響，采用min-max 方法對(duì)原數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，將變量的取值范圍映射到[0，1]區(qū)間，再建立數(shù)學(xué)模型。min-max標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算公式如下：

式中：x*為標(biāo)準(zhǔn)化后的變量數(shù)值，無量綱；x為變量的原始觀測(cè)值；xmax為變量x的最大觀測(cè)值；xmin為變量x的最小觀測(cè)值。

數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后直接建立壓后產(chǎn)量與剩余9個(gè)參數(shù)回歸模型發(fā)現(xiàn)，Ra2=0.15，擬合度低，且9個(gè)參數(shù)均未通過顯著性檢驗(yàn)，模型較差，需要進(jìn)一步優(yōu)化。

2.1 模型優(yōu)化

采用全子集回歸方法確定最佳自變量組合[13]。全子集回歸就是在檢驗(yàn)所有可能模型的基礎(chǔ)上，找出最佳模型。全子集回歸發(fā)現(xiàn)Ra2最高僅為0.24，模型擬合效果依舊不理想。說明存在異常數(shù)據(jù)難以擬合模型，需要剔除異常值。

異常值包括離群點(diǎn)、高杠桿值點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)等3 種類型。離群點(diǎn)是指擬合效果不佳的點(diǎn)，他們往往殘差較大；高杠桿值點(diǎn)是與其他預(yù)測(cè)變量有關(guān)的離群點(diǎn)，可用帽子統(tǒng)計(jì)量（Hat-Values）判斷。帽子統(tǒng)計(jì)量為模型參數(shù)的數(shù)目P 與樣本量n 的比值。一般認(rèn)為，觀測(cè)點(diǎn)的帽子值大于帽子均值的2 倍以上，即為高杠桿值點(diǎn)；強(qiáng)影響點(diǎn)是指對(duì)參數(shù)估計(jì)值影響有些比例失衡的點(diǎn)，常采用距離庫克（Cook）的距離，即D 統(tǒng)計(jì)量檢測(cè)強(qiáng)影響點(diǎn)；當(dāng)D 值大于4/（nk-1）時(shí)，即認(rèn)為是強(qiáng)影響點(diǎn)，其中，k 是預(yù)測(cè)變量數(shù)目，為1。將離群點(diǎn)、高杠桿值點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)整合到一張圖中，如圖3 所示。圖中縱坐標(biāo)超過+2 或-2的點(diǎn)為離群點(diǎn)，水平軸虛線以外的點(diǎn)為高杠桿值點(diǎn)，圓圈大小代表著影響程度，圓圈越大，對(duì)模型參數(shù)估計(jì)的影響就越大。

圖2 異常值觀測(cè)

從圖2 可以看出，17#井、22#井和24#井是3個(gè)圓圈最大的點(diǎn)，影響程度最大。同時(shí)，這3個(gè)數(shù)據(jù)也屬于離群點(diǎn)，優(yōu)先刪除這3個(gè)觀測(cè)。刪除后再次采用全子集回歸，Ra2=0.61，說明剔除異常值后能顯著提高模型的擬合度。同時(shí)，擬合度在0.60 以上的模型參數(shù)組合達(dá)到14個(gè)。

當(dāng)面對(duì)多個(gè)模型時(shí)，有的模型擬合好，有的模型預(yù)測(cè)能力強(qiáng)，一般采用AIC 值（Akaike Information Criterion，赤池信息準(zhǔn)則）優(yōu)選出最佳模型，是綜合考慮了模型的擬合度和參數(shù)數(shù)目，力求用最少的參數(shù)獲取足夠的擬合度[14]。

計(jì)算14個(gè)模型的AIC 值發(fā)現(xiàn)，當(dāng)模型參數(shù)組合為K、h、Vpad、η 和Pf時(shí)，AIC 值最小為-37.93，初步認(rèn)為是最優(yōu)模型。但是，常數(shù)項(xiàng)（P=0.56）和Pf項(xiàng)（P=0.11）未通過顯著性檢驗(yàn)。進(jìn)一步去除常數(shù)項(xiàng)和Pf項(xiàng)，再次擬合Ra2=0.95，參數(shù)均通過顯著性檢驗(yàn)。且AIC 降低至-38.27，模型更優(yōu)。

綜上，建立的最優(yōu)數(shù)學(xué)模型如下：

式中：q*為標(biāo)準(zhǔn)化的壓裂后一個(gè)月平均日產(chǎn)油量，無量綱；K*為標(biāo)準(zhǔn)化的滲透率，無量綱；h*為標(biāo)準(zhǔn)化的儲(chǔ)層厚度，無量綱；V*pad為標(biāo)準(zhǔn)化的前置液量，無量綱；η*為標(biāo)準(zhǔn)化的返排率，無量綱。

2.2 模型診斷

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，進(jìn)行回歸診斷，結(jié)果如圖3 所示。從圖3 可以看出，圖3a 的殘差擬合圖上的數(shù)據(jù)點(diǎn)呈隨機(jī)分布，說明模型整體符合線性假設(shè)；圖3b 的正態(tài)Q-Q 圖上的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在45°角直線上，說明模型符合正態(tài)性假設(shè)。圖3c 的位置尺度圖的數(shù)據(jù)點(diǎn)呈隨機(jī)分布，說明模型滿足不變方差假設(shè)；圖3d 的殘差杠桿圖顯示所有觀測(cè)井的庫克距離均在0.5 以內(nèi)，說明數(shù)據(jù)中不存在異常值。因此，回歸模型滿足線性、正態(tài)性、不變方差假設(shè)，且不存在異常值，模型合理。

圖3 回歸診斷

模型整體上是滿足線性假設(shè)的，但是還需進(jìn)一步檢驗(yàn)各自變量與因變量是否完全滿足線性假設(shè)。繪制了q 與K、h、Vpad、η 等4個(gè)參數(shù)的成分殘差圖（Component + Residual Plots），如圖4 所示。圖4a的成分殘差圖顯示的滲透率K 與日均產(chǎn)油量q 的局部擬合線（實(shí)線）和從日均產(chǎn)油量q 方向上側(cè)面看過去的多元最小二乘回歸平面（虛線）基本重合，且實(shí)線和虛線均為線性，表明滲透率K 與日均產(chǎn)油量q 滿足線性關(guān)系；同樣的，圖4b 的成分殘差圖表明儲(chǔ)層厚度h 與日均產(chǎn)油量q 成線性關(guān)系，圖4c 的成分殘差圖表明前置液量Vpad與日均產(chǎn)油量q 成線性關(guān)系，圖4d 的成分殘差圖表明返排率η 與日均產(chǎn)油量q 成線性關(guān)系。因此，K、h、Vpad、η 等4個(gè)自變量與因變量q 均滿足線性假設(shè)。

圖4 成分殘差圖

為判斷q 值（或殘差）是否相互獨(dú)立，進(jìn)行誤差獨(dú)立性檢驗(yàn)（Durbin-Watson）發(fā)現(xiàn)，P 值不顯著（P=0.72），誤差項(xiàng)之間獨(dú)立。

最后，對(duì)線性回歸模型假設(shè)進(jìn)行綜合驗(yàn)證，包括偏斜度、峰度等。檢驗(yàn)結(jié)果表明，多元回歸模型滿足所有假設(shè)統(tǒng)計(jì)（P=0.76）。

3 結(jié)果分析

基于建立的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)壓裂效果預(yù)測(cè)、主控參數(shù)診斷和優(yōu)化。

3.1 壓裂效果預(yù)測(cè)

將5 口預(yù)測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)代入多元回歸模型，得到日產(chǎn)油量預(yù)測(cè)結(jié)果見表1。從表1 可以看出，5 口井預(yù)測(cè)平均準(zhǔn)確度86.19%，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度能夠滿足工程需求。

表1 回歸模型預(yù)測(cè)結(jié)果

3.2 主控參數(shù)診斷

回歸系數(shù)可以衡量各參數(shù)對(duì)產(chǎn)量的影響程度，回歸系數(shù)的絕對(duì)值越大，說明自變量對(duì)因變量的影響程度越大。除了用回歸系數(shù)尋找主控因素外，還可以用相對(duì)權(quán)重來衡量各自變量對(duì)因變量的影響程度，即對(duì)所有可能的子模型添加1個(gè)自變量引起R2平均增加量的一個(gè)近似值[15]。

各參數(shù)回歸系數(shù)和相對(duì)權(quán)重對(duì)比如圖5 所示。從圖5 中的回歸系數(shù)可以看出，返排率的回歸系數(shù)最大，為0.89，其次是前置液量，為0.44；從相對(duì)權(quán)重上可以看出，返排率的相對(duì)權(quán)重最大，為0.46，其次是前置液量，為0.37。因此，無論是看回歸系數(shù)，還是看相對(duì)權(quán)重，返排率是影響壓裂效果的主控因素，其次為前置液量。提高壓裂規(guī)?？梢赃M(jìn)一步改善儲(chǔ)層，而提高壓裂液返排率可以進(jìn)一步降低儲(chǔ)層傷害程度，診斷結(jié)果與實(shí)際情況相吻合。

圖5 模型參數(shù)相對(duì)權(quán)重

3.3 主控參數(shù)優(yōu)化

31#井日產(chǎn)油1.7 t，壓裂效果最差。以該井為例優(yōu)化施工參數(shù)。已知K=2.99×10-3μm2，h=21.7 m，代入式（3）得到Vpad、與q 的關(guān)系，如圖6 所示。從圖中可以看出，對(duì)于給定的q 值，可以從圖中直接找到對(duì)應(yīng)的Vpad和η 的取值。

4 結(jié)論

（1）基于多種數(shù)據(jù)挖掘方法分析壓裂數(shù)據(jù)，建立壓后產(chǎn)量與壓裂參數(shù)間的最優(yōu)數(shù)學(xué)模型，能夠?qū)崿F(xiàn)壓裂效果的預(yù)測(cè)、主控參數(shù)的診斷和優(yōu)化，為油田壓裂現(xiàn)場(chǎng)施工提供定量化指導(dǎo)。

圖6 壓裂參數(shù)與產(chǎn)量的關(guān)系

（2）診斷結(jié)果表明，X 油田壓裂效果主控因素為返排率，其次為壓裂液量。因此，為提高X 油田壓裂效果，應(yīng)該從提高壓裂規(guī)模和返排率入手。提高壓裂規(guī)?？梢赃M(jìn)一步改善儲(chǔ)層，而提高壓裂液返排率可以進(jìn)一步降低儲(chǔ)層傷害程度，診斷結(jié)果與實(shí)際情況相吻合，具有一定的理論指導(dǎo)價(jià)值。

（3）從數(shù)據(jù)角度尋找產(chǎn)量主控因素是一種新的研究方式，未來還需進(jìn)一步與大數(shù)據(jù)、機(jī)器學(xué)習(xí)等方法相結(jié)合，從各方面挖掘油氣數(shù)據(jù)的潛在價(jià)值，實(shí)現(xiàn)油氣開發(fā)的智慧化。