王 霞， 鐘守銘， 施開波

(1.電子科技大學 數(shù)學科學學院， 四川 成都 611731；2.成都大學 信息科學與工程學院， 四川 成都 610106)

0 引 言

近年來，基于神經(jīng)網(wǎng)絡在人工智能與機器學習等領(lǐng)域的廣泛應用[1-2]， 學者們對神經(jīng)網(wǎng)絡進行了深入研究，并在時滯中立型、脈沖中立型、脈沖時滯中立型和馬爾可夫跳時滯中立型神經(jīng)網(wǎng)絡等方面取得了豐富的成果[3-8].然而，目前， 針對脈沖馬爾可夫跳時滯中立型神經(jīng)網(wǎng)絡[9]方面的研究仍少見報道.事實上， 如果在系統(tǒng)存在內(nèi)部干擾時神經(jīng)元僅有部分信息能傳輸出來， 那就有必要對持續(xù)的輸出測量進行精確估計.此外，由于系統(tǒng)的傳輸寬帶有限， 在采樣數(shù)據(jù)時引入事件觸發(fā)機制可以增大傳輸率， 因此， 時滯脈沖馬爾可夫跳神經(jīng)網(wǎng)絡[12]、憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡[13]和離散時間多重神經(jīng)網(wǎng)絡[14]等各種系統(tǒng)引入事件觸發(fā)器都獲得了很好的研究效果.但是至今很少有關(guān)于脈沖馬爾可夫混合時滯中立型神經(jīng)網(wǎng)絡事件觸發(fā)估計的研究報道.基于此，本研究分析了具脈沖馬爾可夫跳中立型時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的事件觸發(fā)狀態(tài)估計， 基于Lyapunov-Krasovskii泛函和脈沖理論，利用詹森不等式、倒凸不等式、自由權(quán)矩陣和區(qū)間分割等技術(shù)， 給出并證明了增廣系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件， 同時通過數(shù)值算例驗證了所提出結(jié)論的有效性.

1 系統(tǒng)描述

記號為了簡便，本研究中的Rn和Rm×n分別表示n維歐幾里德空間和m×n維實矩陣，實對稱矩陣Q>0表示Q是一個正定矩陣，I和O分別代表適當維數(shù)的單位矩陣和零矩陣，diag{…}代表塊對角矩陣，在對稱塊矩陣中*表示相應的對稱項，其中Sym(X)=X+XT，‖·‖代表矢量的歐幾里德范數(shù)或者矩陣的譜范數(shù)，λmax(P)和λmin(P)分別表示矩陣P的最大特征值和最小特征值.

下面考慮帶有混合時滯、脈沖和馬爾可夫跳變參數(shù)的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，

(1)

式中，x(t)=(x1(t),x2(t),…，xn(t))T∈Rn是神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)向量；y(t)∈Rm是測量輸出；A(ρt)=diag{a1(ρt),a1(ρt),…，an(ρt)}為正定對角矩陣；

P{ρt+Δ(t)=s|ρt=}

(2)

下面引入事件觸發(fā)機制，下一個觸發(fā)時刻定義為，

σxT(tk-1+lr)Φx(tk-1+lr)}，

其中，θk-1(t)是當前狀態(tài)x(tk-1+lr)與上一狀態(tài)x(tk-1)的誤差狀態(tài)，k,l=1,2,…，r為采樣周期，矩陣Φ>0和常數(shù)σ>0.定義，

由此可知，0≤τ(t)≤r,事件觸發(fā)條件可描述為，

(3)

=C(ρt)x(tt-1),t∈[tk-1,tk)，k=1,2,….

(4)

A(ρt=)=A，K(ρt=)=Kt，

J(ρt=)=J，B0(ρt=)=B，

B1(ρt=)=B，B2(ρt=)=B，

B3(ρt=)=B.

(5)

(6)

N=(I0)，j=NTJ，

假定1離散時間時滯r(t)、分布時間時滯h(t)和中立時滯σ(t)分別滿足以下條件，

其中ζ1、ζ2是實數(shù)，且ζ1≠ζ2.

定義1 若存在正常數(shù)ε和β>1，且滿足關(guān)系式，‖ζ(t)‖≤βφe-εt，則系統(tǒng)稱為指數(shù)穩(wěn)定的，ε為其指數(shù)收斂率.其中，φ為系統(tǒng)的初始條件，且，

2 主要結(jié)果

本研究通過構(gòu)造一個合適的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)，首先假設反饋獲得矩陣K是已知的，內(nèi)部輸入向量J=0,得到增廣系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，其中定義如下符號：

ei=(0n×(i-1)n,In×n，0n×(34-i)n)T，i=1～34，

fT(Nζ(t-r1))fT(Nζ(t-r(t)))×

(7)

(8)

這里，

Ω=diag{Ω1,Ω2},Ωi=diag{-Ti,-3Ti}，i=1,2

χ1(t)=(ζT(t)fT(Nζ(t)))T

證明構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，

其中，

v1(ζ(t),ρ(t),t)=e2εtζT(t)Pζ(t)

v2(ζ(t),ρ(t),t)

v3(ζ(t),ρ(t),t)

v4(ζ(t),ρ(t),t)

v5(ζ(t),ρ(t),t)

v6(ζ(t),ρ(t),t)

v7(ζ(t),ρ(t),t)

v8(ζ(t),ρ(t),t)

(9)

由式(3)可得，

=e2εtζT(t)Γ9ζ(t)≥0

(10)

從假定2可知，對于任意合適維數(shù)的正定對角矩陣Λ1和Λ2，神經(jīng)元激活函數(shù)滿足.

2e2εt[-ζT(t)F1Λ1ζ(t)+ζT(t)F2Λ1f(ζ(t))+

fT(ζ(t))F2Λ1ζ(t)-fT(ζ(t))Λ1f(ζ(t))]

=e2εtζT(t)Γ10ζ(t)>0

(11)

2e2εt[-ζT(t-r(t))F1Λ2ζ(t-r(t))+

ζT(t-r(t))F2Λ2f(ζ(t-r(t)))+

fT(ζ(t-r(t)))F2Λ2ζ(t-r(t))-

fT(ζ(t-r(t)))Λ1f(ζ(t-r(t)))]

=e2εtζT(t)Γ11ζ(t)>0

(12)

式中，

fT(ζ(t))=(fT(Nζ(t)) 0)T,

fT(ζ(t-r(t)))=(fT(Nζ(t-r(t))) 0)T.

對于增廣系統(tǒng)和任意合適維的矩陣P，式(13)成立，

Wf(N(ζ(t)))+Wf(N(ζ(t-r(t))))+

=e2εtζT(t)Γ12ζ(t)

≥0

(13)

(t)‖2成立，最后可以得到，

故根據(jù)定義1知道增廣系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的.

以下部分主要是為了得到增廣系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，同時通過MATLAB線性矩陣不等式工具箱求解反饋獲得矩陣K和設計的事件觸發(fā)器矩陣Φ，其中，

(14)

(15)

這里，

其余的符號表示和證明過程均同于定理1.

3 數(shù)值算例

本研究將給出一個數(shù)值算例并用MATLAB線性矩陣不等式工具箱驗證了定理2提出的結(jié)果的有效性，同時可解得反饋獲得矩陣.在算例中，考慮含2個馬爾可夫跳模態(tài)的二階脈沖中立型時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)為：

C2=(0.7 0.3)，I=diag{1,1,1,1},

Hk=-0.4I，F(xiàn)=0.5I，F(xiàn)1=0.05I，F(xiàn)2=0.3I

表1 不同的μ值可取的最大時滯上界r2

當r2=1.817，且μ=1.2時，得到事件觸發(fā)矩陣和反饋獲得矩陣如下，

圖1馬爾可夫過程

4 結(jié) 語

本研究探討了具脈沖和混合時滯的馬爾可夫跳中立型神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)估計，采樣時引入事件觸發(fā)傳輸機制，并基于Lyapunov-Krasovskii泛函和脈沖理論，利用詹森不等式、倒凸不等式、自由權(quán)矩陣和區(qū)間分割等技術(shù)，給出了增廣系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.同時，通過數(shù)值算例驗證了所提出方法的正確性.