崔立魯， 曾廣川， 許文超， 江雪梨， 杜 石

(1.成都大學 建筑與土木工程學院， 四川 成都 610106；2.武漢大學 測繪學院， 湖北 武漢 430079；3.長安大學 地質工程與測繪學院， 陜西 西安 710054)

0 引 言

高精度的衛(wèi)星星歷和鐘差數(shù)據是實現(xiàn)精密單點定位(Precise point positioning,PPP)的2個必要條件[1].目前采用的精密星歷和鐘差文件一般是由國際GNSS服務組織(International GNSS service,IGS)提供的，其中精密鐘差文件雖然精度已經到達了0.1 ns，但仍不能滿足實時精密定位的要求.鑒于對高精度實時動態(tài)定位服務的需求越來越多，找到一種能夠提供高精度實時預報衛(wèi)星鐘差的算法就顯得十分必要[2-4].

目前，北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(Beidou navigation satellite system,BDS)采用的是國產的銣原子鐘，其與衛(wèi)星全球定位系統(tǒng)(Global positioning system,GPS)所使用的原子鐘不同，因此，加強對BDS星載原子鐘預報模型的研究是衛(wèi)星導航定位領域的一個研究重點.對此，本研究探討了多項式模式(Polynomial model,PM)和灰色模型(Grey model,GM)2種鐘差預報模型的基本原理，同時，利用由IGS組織提供的精密星歷數(shù)據來驗證模型參數(shù)的最優(yōu)選擇，并將設置了最優(yōu)參數(shù)的2種預報模型的結果進行比較和分析，得到衛(wèi)星鐘差短期預報的最優(yōu)算法.

1 預報模型

1.1 多項式模型PM

PM模型主要分為1階模型、2階模型和高階模型.本研究以2階模型為例，說明PM模型的數(shù)學原理，其表達式為，

(1)

x=a0+a1Δt+0.5a2Δt2

(2)

將式(2)用矩陣形式表達，以4個已知數(shù)據為例，

L=AX

(3)

求解式(3)，即可得到待定參數(shù)的數(shù)值.

由上述基本原理可知，影響PM模型的因素主要是PM模型的階數(shù)和參與擬合模型的已知點個數(shù).但該算法隨著階數(shù)的增加，其數(shù)學模型也變得更加復雜，計算效率也大為降低.

1.2 灰色模型GM

假設BDS衛(wèi)星某一段鐘差序列為，

x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(k),…，x(0)(n)}

且該序列中所有數(shù)據均非負，對應的時間序列為{xt}(t=1,2,…，n).對該鐘差序列進行累加，得到一個新的序列為，

x(1)={x(1)(1)，x(1)(2),…，x(1)(k)，…，x(1)(n)}

(4)

L=AX

(5)

式中，

根據最小二乘原理可得待求參數(shù)X的估值為，

X=(ATA)-1ATL

(6)

在初始條件x(1)(1)=x(0)(1)的約束下，式(4)的解為，

(7)

經過累減還原，可得原始序列為，

(8)

由上述模型原理可知，GM模型至少需要4個以上的已知數(shù)據才可以建立預報模型，而影響該預報模型的除了原始鐘差序列的觀測誤差外，主要是參與建模的已知點數(shù)量.相關研究表明，該算法有效地減少了預報模型的計算量，提高了計算效率[7-9].

2 實驗分析

本研究的實驗數(shù)據來源于IGS提供的2013年1月1日的SP3格式BDS精密星歷文件，采樣間隔為5 min，共計288個歷元，衛(wèi)星編號為C01.為了檢驗PM模型和GM模型的參數(shù)選取對鐘差預報精度的影響，本研究設計了4個實驗方案，其中PM模型是關于階數(shù)和已知點數(shù)量的，而GM模型是關于已知點數(shù)量的，最后將2種預測模型進行了比較.

2.1 已知點數(shù)量對PM預報模型精度的影響

為了更好地反映已知點數(shù)量對PM模型預報精度的影響，本研究采用2階PM模型，參與計算的已知點數(shù)量分別設置為5、7、9與11個.通過PM模型計算得到的預報值減去精密星歷文件中的鐘差已知值得到相應的殘差值，并對殘差值進行數(shù)值統(tǒng)計和分析，結果見圖1和表1.

圖1 不同已知點數(shù)量的PM模型預報精度

由圖1可知，已知點數(shù)量為5、9與11點的預報精度要明顯低于7點，同時隨著預報歷元的增加，預報誤差隨之增大，這是因為隨著歷元的增加，預報歷元距已知數(shù)據也越來越遠，預報誤差也不斷累積.

由表1的數(shù)據可知，7點法的最大值為-0.008 920，最小值為-0.035 394，平均值為-0.023 156，均方根為0.024 514，遠低于其他3種算法的統(tǒng)計指標.

由上述分析結果可知，參與計算的已知點個數(shù)為7時，PM模型的預報精度最高，因此本研究選擇參與計算的已知點個數(shù)為7.

2.2 多項式階數(shù)對PM預報模型精度的影響

本研究將已知點數(shù)量設置為7，多項式階數(shù)分別設為1、2與3，數(shù)據處理方法同上，結果見圖2和表2.

圖2 不同階數(shù)的PM模型預報精度

由圖2可知，3階PM模型預報精度顯著低于1階和2階，而1階和2階PM模型的殘差十分接近，從圖2中無法直觀進行比較.由表2數(shù)據可知，1階PM模型的最大值為-0.047 480，最小值為-0.048 926，平均值為-0.048 192，均方根為0.048 194；而2階的最大值為-0.008 920，最小值為-0.035 394，平均值為-0.023 156，均方根為0.024 514.從各項精度指標來看，2階PM模型的預測精度要略高于1階，因此本研究選擇PM模型的階數(shù)為2.

2.3 已知點數(shù)量對GM預報模型精度的影響

本研究分別選取已知點數(shù)量為4、5、7、9及11，數(shù)據處理方法同上，結果見圖3和表3.

由圖3可知，所有預測誤差都隨著歷元數(shù)量的增加而增大，這與2.1中實驗方案的結論是一致的.參與計算的已知點數(shù)量越多，預測誤差越小.

由表3數(shù)據可知，4點和5點的殘差精度比較接近，而從5點開始各項精度指標隨著已知點數(shù)量的增加，均有顯著的提升.而各項精度指標中，11點的值是最小的，其最大值為0.010 496，最小值為-0.001 745，平均值為0.003 795，均方根為0.005 311.而表3所得結果與圖3中的結論是一致的.因此，本研究選擇GM模型參與計算的已知點數(shù)量為11.

2.4 2種預報模型的比較

根據上述3個實驗的結果，

本研究分別采用已知點數(shù)量為11的GM模型和已知點數(shù)量為7且階數(shù)為2的PM模型對同一組BDS鐘差進行預報并比較兩者的精度，結果見圖4和表4.

圖3 不同已知點數(shù)量的GM模型預報精度

圖4 2種模型的預報精度

從圖4可知，GM模型和PM模型的變化趨勢保持一致，而GM模型的預測誤差要低于PM模型.從表4的數(shù)據可見，雖然GM模型的最大值大于PM模型，但是其最小值、平均值和均方根值均遠小于PM模型，由此可知，在短期鐘差預報方面GM模型的預報精度要優(yōu)于PM模型.

為了驗證上述結論的可靠性和公平性，本研究將7點GM模型和7點2階PM模型進行比較，結果見圖5和表5.

從圖5和表5可知，GM模型的預報殘差精度指標均優(yōu)于PM模型，與圖4和表4得到的結論是一致的. 總體上來說，GM模型預測精度要高于PM模型，因此本研究建議在進行鐘差短期預報中采用GM模型.

圖5 2種模型的預報精度

3 結 語

本研究分析了常用的2種衛(wèi)星鐘差預報模型，針對衛(wèi)星鐘差模型的參數(shù)選取對預報精度的影響，設計了3個不同的實驗，分別驗證已知點數(shù)量和階數(shù)對PM模型預測精度的影響以及已知點數(shù)量對GM模型預測精度的影響.實驗結果表明，采用7點2階PM模型和11點GM模型進行鐘差短期預報，其預測精度是最優(yōu)的.同時，為了比較2種預報模型的精度，本研究將2種預報模型結果進行了對比，仿真分析結果也表明GM模型的預測精度要優(yōu)于PM模型.