樓森岳

(寧波大學物理科學與技術學院, 寧波 315211)

多孤子解是非線性數(shù)學物理系統(tǒng)的基本激發(fā)模式.文獻中存在各種類型的表達式, 如廣田(Hirota)形式,朗斯基(Wronskian)或雙朗斯基形式和法夫(Phaffian)形式.最近在多地系統(tǒng)的研究中, 我們發(fā)現(xiàn)使用一種全新但等價的形式具有極為簡潔和方便的優(yōu)點.本文主要綜述多種類型可積非線性系統(tǒng)的多孤子解的新型表達式, 同時對SK方程、非對稱NNV系統(tǒng)、修正KdV型、sG型、AKNS模型和全離散H1系統(tǒng)也給出一些文獻中還沒出現(xiàn)過的新的更為簡便的表達式.新的孤子表達式通常具有顯然的時空全反演(包括時間反演、空間反演、孤子初始位置反演及電荷共軛反演(正反粒子反演))對稱性.這種具有顯式全反演對稱性的表達式在研究多地非局域系統(tǒng)和局域和非局域可積系統(tǒng)的各種共振結構時具有很大的優(yōu)越性.

專題：非線性物理

1 引 言

自從孤立波的發(fā)現(xiàn)[1]、孤立子(孤子)概念的提出[2]和反散射方法的建立[3]以來, 孤子在物理學的各個分支如流體物理[4]、等離子體物理[5]、光纖物理[6]、光學[7?10]、復雜系統(tǒng)和復雜網絡[11]、量子場論和粒子物理[12]、引力理論[13]、玻色愛恩斯坦凝聚[14]、大氣和海洋物理[15]等等起著非常重要的作用.

求解可積系統(tǒng)的多孤子解有很多方法, 如廣田 (Hirota)法[16]、達布 (Darboux)變換法[17]、反散射方法[3]、對稱性方法[18]等等.通常使用不同的方法得到的多孤子解表面上可以是很不一樣的.如Hirota方法得到的指數(shù)函數(shù)形式的組合求和解和Phaffian解及達布變換方法得到的朗斯基或雙朗斯基解等等.而要證明這些看起來不同的表達式的等價性也往往不是顯然的, 也因此經常誤導一些作者聲稱得到了“新”的孤子解.對于眾所周知的可積系統(tǒng), 要聲稱得到新解必須非常慎重.對于單孤子解, 各種非線性模型的單孤子解絕大多數(shù)的文獻都采用緊致簡潔的雙曲函數(shù)形式, 因此很多著名專家如Hirota和Toda及我國的陳登遠[19]等都期望能用雙曲函數(shù)來簡潔地表達多孤子解, 但是這一期望直到我們的工作[15,20]發(fā)表前一直沒有被實現(xiàn).

自然界隱含著各種各樣的對稱性, 如時空平移不變性、標度不變性、空間轉動不變性、宇稱反演(空間反演)不變性等等.因此, 描述物理基本規(guī)律的方程都自然地包含了這些反映自然規(guī)律的不變性質.然而, 作為非線性可積系統(tǒng)的最基本的非線性激發(fā), 現(xiàn)有的多孤子解卻往往沒有把它們具有的對稱性反映出來.最近, 在文獻[20]中我們把多孤子解的全反演(包括時空反演、所有孤子的初始位置反演、電荷共軛反演、位相反演和場反演等)對稱性明顯地體現(xiàn)在了新的表達式中.

本文第2節(jié)我們首先綜述給出Korteweg de-Vries(KdV)型方程的多孤子解的Hirota形式并將它改寫成具有明顯的全反演對稱表達式.在相應的子節(jié)中我們給出KdV方程、Toda方程、Kadomtsev-Petviashvilli (KP)方 程 (包 括 KdV 方 程 和Boussinesq 方程)、(1 + 1 維和 2 + 1 維) Sawada-Kotera (SK)方 程 、非 對 稱 Nizhnik-Novikov-Veselov (NNV)等對應方程的具有明顯的全反演對稱性的多孤子解.在第3節(jié)我們綜述給出修正KdV (MKdV)和 sine-Gordon (sG)型方程的多孤子解的Hirota形式以及具有明顯的全反演對稱表達式.特別給出MKdV方程和sG方程的一個新的具有明顯全反演對稱性的多孤子解.第4節(jié)中,我們給出散焦型非線性薛定諤(NLS)方程多孤子解的具有明顯全反演對稱(包括電荷共軛對稱)的表達式.對于聚焦型NLS方程, 具有顯式的時空反演對稱性和電荷共軛對稱性的表達式比Hirota形式更為復雜.因此, 本文不作直接討論.在第 5節(jié)中, 我們直接給出 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)系統(tǒng)多孤子解的一種新表達式: 范德蒙-朗斯基行列式形式.同時指出該新形式包含的全反演對稱性.本文第6節(jié), 我們在重新定義全離散的雙曲函數(shù)后, 寫下全離散勢KdV系統(tǒng)(H1)的具有明顯的全反演對稱多孤子解.最后一節(jié)是總結和討論.

2 KdV-KP-Toda型多孤子解的新型表達式

KdV-KP-Toda型方程文獻中簡單地稱之為KdV型方程[21].其一般的多孤子解(N-孤子解)的Hirota形式可以統(tǒng)一地寫為

其中關于μ的求和是關于μi=0,1,i=1,2,...,N的各種可能組合的求和,ξj為

xi,i=1,2,···,d,可以是連續(xù)的或離散的空間和時間變量.x0j代表第j個孤子的任意初始位置向量.對于給定的模型kji要滿足相應的色散關系,exp(θjl)要滿足三孤子存在條件.(1)中的F滿足所謂的Hirota雙線性方程

文獻[21]對各種可能存在三孤子的P(Dx) 作了完整的分類.

從(1)和(2), 我們可以看到時空平移不變性(任意初始位置向量)外, 我們并不能看到其它對稱性.為了找到明顯的全反演不變的多孤子解表達式,我們可以利用(1)和(2)的下述的顯然的對稱性,

其中β,K,?和X0為任意常數(shù).利用對稱性 (6),重新定義任意的孤子初始位置向量, 將ξj重寫為

則(1)和(2)可以重新改寫為

其中關于ν={ν1,ν2,···,νN}的求和必須對所有νi=1,?1,i=1,2···,N的非對偶組合求和.由于(9)中的雙曲函數(shù)是偶函數(shù), 所以n和 ?ν產生的是一樣的貢獻, 所以我們稱n和 ?ν是互為對偶的.在(9)中的與組合n相關的常數(shù)Kν與模型的多孤子存在條件相關.下面各子節(jié)我們列出具體的KdV-KP-Toda型多孤子解的具有全反演對稱性的具體表達式.

2.1 KdV方程的多孤子解

對于KdV方程

多孤子解為

其中

從(11)可以看出, KdV方程的多孤子解(11)具有顯然的全反演(時空反演 {x,t}→ {?x,?t} 和孤子初始位置反演 {x0j,t0j}→ {?x0j,?t0j} )變換下的不變性.換句話說KdV方程的多孤子解(11)是在全反演變換

下不變的.

兩地非局域KdV系統(tǒng)(也稱作是Alice-Bob KdV(ABKdV)系統(tǒng))

具有如下性質

其中KdV由 (10) 定義.許多具體的 ? (A,B) 可在文獻(如[20])中找到.由于(11)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABKdV系統(tǒng)(14)的PT(P宇稱, T時間反演)不變解.

2.2 KP方程的多孤子解

對 于 KP方 程 (包 括 KdV方 程uy=0 和Boussinesq方程ut=0 )

多孤子解為

從(18)可知, KP方程的多孤子解(18)是在全反演變換(13)下不變的.

兩地非局域KP系統(tǒng)(Alice-Bob KP(ABKP)系統(tǒng))

是具有如下性質

的非局域系統(tǒng), 其中KP由(17)定義.一些具體的?(A,B)可在文獻(如[20])中找到.由于(18)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABKP系統(tǒng)(20)的PT (P宇稱, T時間反演)不變解.

2.3 Toda方程的多孤子解

為了將多孤子解寫成統(tǒng)一的形式, 對于Toda系統(tǒng)我們采用下述等價形式

其中差分算子E定義為

Toda方程(23)的全反演對稱多孤子解為

從(25)可知, Toda方程的多孤子解(25)是在全反演變換(13)下不變的.

兩地非局域Toda系統(tǒng)(Alice-Bob Toda(ABT)系統(tǒng))

是具有如下性質

的非局域系統(tǒng), 其中Toda由(23)定義.具體的?(A,B)的例子可在文獻(如文獻[20])中找到.由于(25)的全反演變換不變性, 因此

是任意 ABToda 系統(tǒng) (27)的 PPn(P 宇稱, Pn離散變量n的反演)不變解.

2.4 SK方程的多孤子解

關于 (2 + 1)-維的 SK 方程

的全反演對稱多孤子解為

從(31)可知, SK方程的多孤子解(31)是在全反演變換(13)下不變的.

(1 + 1)-維的SK系統(tǒng)的多孤子解可以簡單地在 (2 + 1)-維的結果中取lj=0 使得uy=0,v=0即可.

兩地非局域SK系統(tǒng)(Alice-Bob SK(ABSK)系統(tǒng))

是具有如下性質

的非局域系統(tǒng), 其中SK由(30)定義.由于(31)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABSK系統(tǒng)(33)的PT不變解.

2.5 非對稱NNV方程的多孤子解

非對稱的NNV方程

的全反演對稱多孤子解為

從 (37)可知, 非對稱 NNV方程的多孤子解(37)是在全反演變換(13)下不變的.

兩地非局域非對稱NNV系統(tǒng)(Alice-Bob ANNV(ABANNV)系統(tǒng))

是具有如下性質

的非局域系統(tǒng), 其中ANNV由 (36)定義.由于(37)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABANNV系統(tǒng)(39)的PT不變解.

3 MKdV-sG型多孤子解的新型表達式

MKdV-sG型方程在傳統(tǒng)文獻中通常分為MKdV型和sG型兩種類型的方程[21].其實從多孤子解的表達式可知, 這兩種類型可以歸結為同一種類型.實際上人們都知道, MKdV方程的勢形式和sG方程是屬于同一個可積梯隊的.MKdV-sG型方程的多孤子解的Hirota形式可以統(tǒng)一地寫為[19]

其中關于μ的求和是關于μi=0,1,i=1,2···,N的各種可能組合的求和,ξj為

xi,i=1,2,···,d,可以是連續(xù)的或離散的空間和時間變量.x0j代表第j個孤子的任意初始位置向量.對于給定的模型kji要滿足相應的色散關系,exp(θjl)要滿足三孤子存在條件.(42)式中的F±滿足所謂的Hirota雙線性方程[21]

其中Q是偶函數(shù),P可以是偶函數(shù)(sG)也可以是奇 函 數(shù) (MKdV).如 果P是 奇 函 數(shù) , (45)和(46)式通過轉動變換可以等價地寫為

在文獻[21]中, Hietarinta對各種可能的三孤子存在條件對P和Q作了完整的分類.

為了找到MKdV-sG系統(tǒng)的明顯的全反演不變的多孤子解表達式, 可以利用(42)和(43)式的下述顯然的對稱性,

其中β,K,?和X0為任意常數(shù),M為任意整數(shù).利用對稱性(49), 類似于KdV型的情況, 重新定義任意的孤子初始位置向量, 解(42)和(43)可以等階地改寫為

其中關于ν={ν1,ν2,...,νN} 的求和必須對所有νi=1,?1,i=1,2...,N的非對偶組合求和.在(50)中的與組合n相關的常數(shù)Kν與模型的多孤子存在條件相關.在表達式(50)中顯然的全反演對稱變換包含了時空反演x→?x, 孤子初始位置反演x0j→ ?x0j, 電荷共軛反演i→ ?i以及場反演u→ ?u.實際上, 波向量kj為實的話, 解 (50) 也是實的.所以對于實的kj, 解(50)可以進一步改寫成實形式,

其中關于νo和νe的求和分別是關于n的非對偶的奇排列和偶排列求和.奇(偶)排列定義為排列νi=1,?1,i=1,2...,N中具有奇 (偶)數(shù)個νi=1.

下面各子節(jié)我們列出一些具體的MKdV-sG型多孤子解的具有全反演對稱性的具體表達式.

3.1 MKdV方程多孤子解

對于修正KdV方程

的多孤子解由(50)或(51)給出, 其中第j個孤子的行波變量ηj和分布系數(shù)(相互作用常數(shù))Kν為

任意的具有性質 ? (A,A)=MKdV的兩地MKdV系統(tǒng)

的PT群不變多孤子解具有與(50)或(51)相同的形式, 但 (53) 中的x0j和t0j都必須為零.

3.2 sG方程的多孤子解

對于sG方程

的多孤子解由(50)或(51)給出, 其中第j個孤子的行波變量ηj和分布系數(shù)(相互作用常數(shù))Kν為

任意的具有性質 ? (A,A)=sG的兩地sG系統(tǒng)

的PT群不變多孤子解具有與(50)或(51)相同的形式, 但 (56) 中的x0j和t0j都應取為零.

4 NLS方程多孤子解的新型表達式

對應于非線性薛定諤(NLS)方程

存在散焦(σ=?1 )和聚焦(σ=1 )兩種完全不同的情況, 需要區(qū)別對待.由于聚焦NLS方程的雙曲函數(shù)表達式過于復雜, 我們不在本文討論這種形式, 而僅僅處理散焦NLS方程的新型孤子解.

散焦(σ=?1 ) NLS系統(tǒng)(58)的多孤子解的Hirota形式為[19]

其中孤子行波變量為

相互作用常數(shù)為

而α,ξ0j,θj,j=1,2,...,N和?0為 任 意 常 數(shù).(59)中的關于μ的求和是對所有可能組合μj=0,1,j=1,2,...,N的求和.

類似于KdV-KP-Toda型方程的情況, 多孤子解(59)可以重新改寫成全反演對稱形式,

其中關于n的求和是對所有可能的非對偶組合νj=1,?1,j=1,2,···,N求和.表達式 (62)中的孤子行波變量ηj及相互作用常數(shù)Kν為

θj,x0j,t0j,αand為任意實常數(shù).

由于解(62)的全反演(時空反演, 孤子初始位置和初始位相反演, 電荷共軛反演)不變性, 任意的具有性質 ? (A,A)=NLS(σ= ?1) 的兩地NLS系統(tǒng)

的PTC (C為電荷共軛, 即復共軛)群不變多孤子解具有與 (62)相同的形式, 但 (63)中的x0j、t0j和初始位相都應取為零.

聚焦NLS系統(tǒng)多孤子解的Hirota形式雖然沒有顯式的簡單的全反演對稱形式, 但是這一對稱性還是隱含著的[15].

5 AKNS系統(tǒng)多孤子解的新型表達式

AKNS系統(tǒng)

是最重要的數(shù)學物理模型之一, 除了著名的局域的NLS方程是其最基本的約化(v=u?)外, 很多非局域NLS方程也是其對稱性約化[15,22,23].AKNS的嚴格解已經為很多研究者用很多方法研究過[24,22].其多孤子解可以用雙朗斯基行列式表示[22].為了較為明顯地顯示多孤子解的全反演對稱性, 我們可以將AKNS系統(tǒng)(65)的雙朗斯基行列式解等價地改寫成下述范德蒙-朗斯基行列式形式({u,v}→{uM,N,vM,N}):

矩陣(67)的前n行是范德蒙矩陣形式, 后m行是朗斯基矩陣形式, 因此我們稱解為范德蒙-朗斯基行列式解.

可以證明AKNS的范德蒙-朗斯基行列式解(66)具有下述全反演變換下的不變性:

為了明顯看出不變性(68), 這里我們列出一些小的M,N解的具體形式

解(69)—(74)在全反演變換(68)下的不變性是顯然的.

6 全離散系統(tǒng)多孤子解的新型表達式

前面幾節(jié)討論的全反演對稱形式的結果也可以在全離散形式下實現(xiàn).本文我們僅僅討論全離散勢KdV系統(tǒng)(H1)的

全反演對稱形式.H1方程 (75)中,

p,q為任意常數(shù).

H1方程的多孤子解可以用Phaffian來表示[25]

為了看出明顯的全反演變換不變性, 我們引入全離散雙曲函數(shù),

這樣定義的雙曲函數(shù)滿足連續(xù)雙曲函數(shù)的加法公式:

可以證明在上述雙曲函數(shù)定義下,H1方程(75)的多孤子解可以重寫為

顯然(81)是全反演變換

下不變的.這一不變性很容易用來求解非局域H1系統(tǒng)的多孤子解.

7 結論和討論

本文既綜述了最近我們在研究非局域系統(tǒng)的P-T-C群不變的多孤子解時新發(fā)現(xiàn)的很多局域可積系統(tǒng) (KdV、KP、Toda、MKdV、sG、Boussinesq和NLS系統(tǒng)等等)的具有全反演對稱性的多孤子表達式, 也給出了一些公開發(fā)表的文獻中尚未出現(xiàn)過的局域可積系統(tǒng)新的全反演對稱性的表達式.如, (2 + 1)維和 (1 + 1)維 SK 方程的解 (31), 非對稱NNV方程的解(37), 修正KdV和sG方程多孤子解 (50), AKNS 的范德蒙-朗斯基解 (66), 全離散勢KdV系統(tǒng)(H1系統(tǒng))的多孤子解(81)都是文獻中尚未出現(xiàn)過的新結果.

當前在非線性系統(tǒng)求解方向有一些重要的熱門課題, 如各種共振解(呼吸子、怪波(瞬子)、團塊解(lump)、帳篷解(Dromion)、網格解和孤子分子等等)的尋求和分類及多地非局域系統(tǒng)的求解等等.多孤子解的不同形式在尋求各種共振孤子時可以體現(xiàn)出不同的優(yōu)點[28], 初步的研究表明本文提出的新的形式會提供極大的方便甚至給出新的共振激發(fā)模式.在多地非局域系統(tǒng)的求解研究中, 對很多非局域系統(tǒng), 全反演對稱形式的多孤子解會自然地得到這些系統(tǒng)群不變多孤子解, 對于對稱性破缺解的求解也非常有用并可揭示非局域系統(tǒng)的很多新的物理, 如經典禁戒、非線性激發(fā)結構改變和相變等等[26,27].與本文相關的還有很多沒有得到解決的問題, 有的僅僅只是一個開始, 值得在以后的研究中進一步深入和擴展.

感謝李玉奇老師的各種有益討論, 特別是在AKNS系統(tǒng)的范德蒙-朗斯基解表達式中的建設性意見.