唐娜 楊雪瀅 宋琳 張娟3) 李曉霖 周志坤 石玉仁?

1) (西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 蘭州 730070)

2) (甘肅省原子分子物理與功能材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 蘭州 730070)

3) (蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部, 蘭州 730050)

具有三體相互作用的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(Bose-Einstein Condensate, BEC)束縛于雅可比橢圓周期勢(shì)中, 在平均場(chǎng)近似下可用3—5次Gross-Pitaevskii方程(GPE)描述.首先利用多重尺度法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了理論分析, 將 GPE 化為一定態(tài)非線性薛定諤方程 (Nonlinear Schr?dinger Equation, NLSE), 并給出了一類(lèi)帶隙孤子的解析表達(dá)式.然后采用牛頓共軛梯度法數(shù)值得到了該系統(tǒng)中存在的兩類(lèi)帶隙孤子, 發(fā)現(xiàn)孤子的振幅隨著三體相互作用的增強(qiáng)而減小, 這與多重尺度法分析所得結(jié)論一致.最后用時(shí)間劈裂傅里葉譜方法對(duì)GPE進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)演化以考察孤子的穩(wěn)定性, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中既存在穩(wěn)定的帶隙孤子, 也存在不穩(wěn)定的帶隙孤子,且外勢(shì)的模數(shù)會(huì)對(duì)孤子的結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定性產(chǎn)生明顯影響.

專(zhuān)題：非線性物理

1 引 言

玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate,BEC)現(xiàn)象是在宏觀尺度上能觀察到的最顯著的多體量子現(xiàn)象之一, 最早是由Bose和Einstein在1924年提出, 即理想的玻色子在非常低的溫度下,大部分粒子會(huì)突然跌落到最低能級(jí)上, 處于這種新?tīng)顟B(tài)的物質(zhì)被稱(chēng)為 BEC[1,2].隨著在87Rb 和23Na 等一系列堿金屬原子氣體實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了BEC, 對(duì)于具有弱相互作用的原子氣體中的BEC物質(zhì)波孤子現(xiàn)象引起了研究者的注意[3].孤子也是自然界中普遍存在的一種非線性現(xiàn)象, 廣泛存在于水波、粒子物理、等離子體、分子生物學(xué)及纖維等各種非線性介質(zhì)中[4,5].作為一種非線性波, 孤子因其獨(dú)特的傳播性質(zhì)及潛在的應(yīng)用價(jià)值, 成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的重要研究課題之一.隨著B(niǎo)EC和簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn), 研究表明超冷原子氣體中也存在物質(zhì)波孤子現(xiàn)象.實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)相繼發(fā)現(xiàn)物質(zhì)波亮孤子、暗孤子及渦旋孤子等非線性現(xiàn)象[6–9].

一般在低濃度BEC中, 原子間相互作用距離尺度遠(yuǎn)小于原子間距離, 這時(shí)只需考慮兩體相互作用, s-波散射很重要[10,11].但濃度較高時(shí), 例如BEC在原子芯片和原子波導(dǎo)表面的發(fā)展將會(huì)涉及到強(qiáng)壓縮和密度的提高, 則需考慮三體相互作用的影響[12–16].近年來(lái)在銫原子超冷氣體實(shí)驗(yàn)中已發(fā)現(xiàn)三體相互作用現(xiàn)象[17].三體作用對(duì)于玻色凝聚氣體的穩(wěn)定性有著重要作用.例如, 它可以明顯改變凝聚體的穩(wěn)定區(qū)域, 即使強(qiáng)度很小也可使得凝聚原子數(shù)量增加.另一方面, 三體作用除了使凝聚體密度分布發(fā)生變化外, 也會(huì)改變集體振蕩激發(fā)的光譜, 因?yàn)檫@時(shí)系統(tǒng)的可壓縮性受到三體相互作用對(duì)基態(tài)能量貢獻(xiàn)的影響[18].考慮三體相互作用對(duì)于研究BEC在光晶格中呼吸子的性質(zhì)也有重要意義[19].在平均場(chǎng)近似下, 超低溫下稀薄BEC的動(dòng)力學(xué)行為可用Gross-Pitaevskii方程(GPE)描述,它可從海森堡方程導(dǎo)出[20,21].GPE是一非線性方程, 一般情況下很難得到其精確解析解, 不過(guò)在特殊情形下卻能由許多方法給出它的精確孤子解, 例如 Darboux 變換法[22]、 Backlund 變換[23], Hirota直接法[24]、Painleve展開(kāi)方法[25,26]和變分法[27]等.

具有周期調(diào)制的系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)一系列新的效應(yīng), 特別是線性能帶譜的帶隙中會(huì)存在一種結(jié)構(gòu)豐富的孤子, 稱(chēng)為帶隙孤子[28,29].該類(lèi)孤子可存在于不同類(lèi)型的非線性系統(tǒng)中, 包括低維光子晶體、光子層狀結(jié)構(gòu)[30,31]和光晶格勢(shì)中的 BEC[32–34]等.本文考慮具有三體相互作用的準(zhǔn)一維BEC束縛于雅可比橢圓周期勢(shì)中(實(shí)驗(yàn)中該勢(shì)可由兩束不同頻率的激光疊加來(lái)近似), 在平均場(chǎng)近似下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可由3—5次GPE描述.利用多重尺度法對(duì)系統(tǒng)的帶隙孤子進(jìn)行了理論分析, 將3—5次GPE化為一定態(tài)非線性薛定諤方程(nonlinear Schr?dinger equation, NLSE), 并給出了一類(lèi)帶隙孤子的解析表達(dá)式.然后采用牛頓共軛梯度法數(shù)值得到了該系統(tǒng)中存在的帶隙孤子, 包括兩類(lèi)基本帶隙孤子(on-site孤子和off-site孤子)與亞基本帶隙孤子 (sub-fundamental gap soliton).最后, 用時(shí)間劈裂傅里葉譜方法對(duì)GPE進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)演化以考察孤子的穩(wěn)定性, 發(fā)現(xiàn)on-site孤子始終穩(wěn)定, 同相偶極孤子和異相偶極孤子既有穩(wěn)定的也有不穩(wěn)定的.外勢(shì)的模數(shù)對(duì)孤子的結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定性會(huì)產(chǎn)生明顯影響.

2 三體相互作用BEC中的帶隙孤子

2.1 理論模型

具有三體相互作用的BEC束縛于外勢(shì)中, 在平均場(chǎng)近似下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可用如下GPE描述[35]

其中Ψ=Ψ(r,t) 是系統(tǒng)的序參量 (波函數(shù)),r=(x,y,z)是位矢,g=4π2as/m表征原子間相互作用強(qiáng)度,m是原子質(zhì)量.as是s波散射長(zhǎng)度(as>0表示原子間相互排斥,as<0 表示原子間相互吸引), 可由 Feshbach共振調(diào)節(jié)[36].h表征三體相互作 用 強(qiáng) 度 ,V(r) 表 示 外 勢(shì) , 總 粒 子 數(shù)實(shí)驗(yàn)中, BEC 通常束縛于一諧振子勢(shì)阱內(nèi), 其中ωx,ωy,ωz分別表示x,y,z方向的頻率.當(dāng)ωx≈ωy且ωz?ωx時(shí), BEC在z方向被“凍結(jié)”于基態(tài), 這時(shí)系 統(tǒng) 可 用 準(zhǔn) 二 維 GPE描 述; 當(dāng)ωy,ωz?ωx時(shí),BEC 在y,z方向均被“凍結(jié)”, 將在x方向呈雪茄狀分布, 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可用準(zhǔn)一維GPE描述[37].

考慮BEC被囚禁于光晶格勢(shì)下的準(zhǔn)一維情形, 并做如下無(wú)量綱化處理:

其中n0為無(wú)量綱化時(shí)粒子數(shù)密度的特征量, 此時(shí)總粒子數(shù)為為方便起見(jiàn), 這里已省略變量上面的“~”.

取 外 勢(shì)V(x)=V0sn2(x,q) , 其 中 s n(x,q) 為 雅可比橢圓正弦函數(shù),q是其模數(shù) ( 0q1 ).當(dāng)q=0時(shí),V(x)=V0sin2x, 文獻(xiàn) [38]中考慮的外勢(shì)即為此情形, 所以該勢(shì)可看作是對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的推廣.當(dāng)q=1 時(shí),V(x)=V0tanh2x, 此時(shí)V(x) 并非周期勢(shì), 故后面不考慮此情形.若考慮該勢(shì)的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn), 可用下面公式[39]

從中可以看出, 該勢(shì)在實(shí)驗(yàn)中可用兩束不同頻率的激光來(lái)近似實(shí)現(xiàn).當(dāng)q<0.9 時(shí), 其近似程度可達(dá)99%.

尋找方程(2)下列形式的定態(tài)解

其中ψ(x) 為實(shí)函數(shù),μ為化學(xué)勢(shì).代入方程 (2)后得

若波函數(shù)振幅為無(wú)窮小, 則可忽略非線性項(xiàng), 得

方程(7)為一廣義馬丟(Mathieu)方程, 它的有界解被稱(chēng)為布洛赫模(Bloch Modes), 對(duì)應(yīng)的化學(xué)勢(shì)μ構(gòu)成了布洛赫帶 (Bloch Bands).一般情況下, 它的有界解可寫(xiě)為

將(8)式代入方程(7)后, 通過(guò)求解所得本征問(wèn)題便可得色散關(guān)系μ=μ(k) , 從而得到系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu).這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[29]中有詳細(xì)討論, 此處不再贅述.在 Bands中, 線性波可以傳播; 在 Gaps 中, 雖然線性波無(wú)法傳播, 但可存在具有局域結(jié)構(gòu)的非線性波, 即帶隙孤子 (gap soliton).

2.2 帶隙孤子的多重尺度法分析

若波函數(shù)振幅不是無(wú)窮小, 則方程(6)中非線性項(xiàng)不能忽略.考慮化學(xué)勢(shì)μ從 Band的邊界k=k0,μ0=μ(k0) 處進(jìn)入帶隙, 且k?k0,μ?μ0均為小量的情形, 可用多重尺度法對(duì)其進(jìn)行理論分析.引入多重尺度X0=x,X1=εx, 將化學(xué)勢(shì)與波函數(shù)展開(kāi)為

其中ε=k?k0是一小量.將此展開(kāi)式代入方程(6), 并假設(shè)η=ε?2=O(ε?2) .按e的同次冪項(xiàng)合并后得

方程(11)與(7)形式相同, 故具有下列形式的解

其中B(X1) 表示慢變包絡(luò) (調(diào)制波),p(X0) 為快變載波, 顯然該解滿(mǎn)足Fredholm條件[40], 這里函數(shù)f1(x)與f2(x) 的內(nèi)積定義為

“*”表示復(fù)共軛.方程 (12)的解可寫(xiě)為

則有L0H=p′(X0) , 此時(shí)Fredholm條件也自動(dòng)成立.

將ψ0和ψ1代入方程 (13) 得

再次應(yīng)用Fredholm條件, 得

在X1=0 處B(X1) 取得極值, 故調(diào)制波的振幅由此可知在其他參數(shù)給定時(shí), 隨著非線性相互作用g,η的增大, 帶隙孤子的振幅會(huì)單調(diào)遞減, 后面的數(shù)值結(jié)果也證實(shí)了該結(jié)論.另外, 為保證b為實(shí)數(shù), 則μ2與D須異號(hào),即 s gn(μ2)= ?sgn(D) , 這里 s gn(x) 為符號(hào)函數(shù).該式表示此時(shí)的μ必位于帶隙內(nèi), 即孤子確為帶隙孤子.為保證解不存在奇性, 須d為正實(shí)數(shù)且δ+γ>0, 則有舉例來(lái)說(shuō), 如果要研究半無(wú)界帶隙內(nèi)的孤子, 則此時(shí)D>0,μ2<0 , 若取g,η<0則兩個(gè)條件必同時(shí)滿(mǎn)足(充分非必要); 但若研究第一帶隙內(nèi)接近第一Band的孤子, 則μ2>0,D<0, 取g,η>0 則兩個(gè)條件必同時(shí)滿(mǎn)足(充分非必要).以上分析對(duì)于數(shù)值研究帶隙孤子有一定的指導(dǎo)意義.

2.3 牛頓共軛梯度法尋找?guī)豆伦?/h3>

牛頓共軛梯度法(Newton-Conjugate-Gradient,NCG)[41]是一種高效的數(shù)值方法, 可用來(lái)求解非線性演化方程的孤立波解.該方法的主要思路是用牛頓迭代法結(jié)合共軛梯度法求解所得線性方程, 其收斂速度比共軛梯度法和牛頓法等其他現(xiàn)有的迭代法要快, 而且容易編程實(shí)現(xiàn).文獻(xiàn)[42]也提出了牛頓法與共軛梯度法的組合方法, 并證明該方法的全局收斂性.NCG法是解決無(wú)約束最小優(yōu)化問(wèn)題的方法之一[43].文獻(xiàn)[44]中運(yùn)用該方法討論了路徑約束動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題.NCG法在一些物理模型上得到了廣泛應(yīng)用, 例如具有周期外勢(shì)或無(wú)周期外勢(shì)的二維非線性薛定諤方程, Kortewegde Vries (KdV)方程和五階 Kadomtsev Petviashvili(KP)方程的求解等[41].它可用來(lái)尋找各種物理系統(tǒng)(如非線性光學(xué), BEC和水波等)中的孤立波,而且既能尋找基態(tài)也能求解激發(fā)態(tài), 可以作為處理這類(lèi)問(wèn)題的首選方法.

下面采用NCG尋找方程(6)的帶隙孤子.計(jì)算時(shí), 需要將無(wú)窮區(qū)間x∈(?∞,+∞) 截?cái)酁橛邢迏^(qū)間.通?？扇⊥鈩?shì)的足夠多個(gè)周期作為計(jì)算的空間范圍, 然后對(duì)該區(qū)間進(jìn)行離散化后便可應(yīng)用NCG求解.計(jì)算表明, 所得結(jié)果對(duì)迭代初值有一定的依賴(lài)性(但并不十分敏感).若迭代初值選擇不當(dāng), 則迭代過(guò)程會(huì)發(fā)散或者收斂于平凡解ψ=0 .計(jì)算時(shí), 取以下多個(gè)高斯波包的疊加

作為迭代初始條件, 這里Aj,xj,Wj分別表示開(kāi)始迭代時(shí)第j個(gè)波包的振幅、中心位置和寬度,N表示總波包數(shù).通過(guò)選擇合適的Aj,xj,Wj,N, 便可得到所需帶隙孤子.若欲尋找結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的帶隙孤子, 可嘗試選用其他形式的迭代初值.

圖1顯示了q=0.1 和0.99時(shí)不同參數(shù)條件下的單峰帶隙孤子, 迭代時(shí)取N=1,A1= 0.6,x1=0,W1=K(q) .該孤子的峰值位于外勢(shì)的最低點(diǎn)處, 一般稱(chēng)其為 on-site soliton.圖1(a)和圖1(b)為q=0.1 時(shí)吸引相互作用下半無(wú)界帶隙中的帶隙孤子, 圖1(c)和圖1(d)為q=0.99 時(shí)排斥作用下第一帶隙中的帶隙孤子.從圖1可以看出, 當(dāng)三體相互作用強(qiáng)度不變而兩體相互作用變強(qiáng)時(shí), 帶隙孤子的振幅明顯降低; 也可看出, 當(dāng)兩體相互作用強(qiáng)度不變而三體相互作用變強(qiáng)時(shí), 帶隙孤子的振幅也會(huì)變小.這與前面理論分析結(jié)論一致.q=0.1時(shí)孤子的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜, 但q=0.99 時(shí)孤子為鐘形,故外勢(shì)模數(shù)對(duì)孤子結(jié)構(gòu)有一定影響.為進(jìn)一步研究孤子振幅隨相互作用強(qiáng)度的變化, 定義A=max|Ψ|為孤子振幅.圖2(a)和圖2(b)分別顯示了在吸引相互作用下半無(wú)界帶隙內(nèi)和排斥相互作用下第一帶隙內(nèi)單峰孤子振幅隨相互作用強(qiáng)度的變化.可以看出, 隨著兩體相互作用強(qiáng)度|g|和三體相互作用強(qiáng)度|h|的增大, 孤子的振幅確在單調(diào)遞減.

圖3顯示了不同參數(shù)情形下圖1中on-site孤子三體和兩體相互作用能量的比值, 其中可以看出, 當(dāng)h固定時(shí), |g|越大, 比值越小, 表明二體相互作用越占優(yōu); 但當(dāng)g固定時(shí), 隨著|h|的增大,比值也在增大, 表明三體相互作用逐漸增強(qiáng).圖3(a)中兩種能量已處于可比擬的范圍; 圖3(b)中h足夠大時(shí), 三體相互作用能量已超過(guò)兩體相互作用能量.這種情況下, 三體相互作用更不可忽略.

圖1中所示的帶隙孤子是結(jié)構(gòu)最為簡(jiǎn)單的一類(lèi)基本孤子.除此之外, 也存在另一類(lèi)如圖4所示的雙峰孤子.這類(lèi)孤子具有兩個(gè)波峰, 兩波峰間的中心位置在外勢(shì)的最高點(diǎn)處, 一般稱(chēng)其為off-site soliton.圖4(a)和圖(b)所示兩波峰具有相同的相位, 稱(chēng)為同相偶極孤子 (迭代時(shí)取N=2 ,A1=A2=0.6,x1= 0,x2= –2K(q),W1=W2=K(q));圖4(c)和圖4(d)所示孤子則被稱(chēng)為異相偶極孤子 (迭代時(shí)取N=2 ,A1= 0.6,A2= –0.6,x1= 0,x2= –2K(q),W1=W2=K(q)).該類(lèi)孤子的振幅也隨著|g|和|h|的增大而減小.從波形結(jié)構(gòu)上來(lái)看,off-site孤子似乎可以看作是兩個(gè)單峰on-site孤子的組合; 但從動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性來(lái)看, on-site孤子始終穩(wěn)定而同相偶極孤子始終不穩(wěn)定, 故同相偶極孤子也被視為另一類(lèi)基本孤子.異相偶極孤子的穩(wěn)定性則較為復(fù)雜, 一般依賴(lài)于系統(tǒng)的參數(shù).

圖1 3?5 次 GPE 的單峰帶隙孤子 ( V0=4 ) (a), (b) q =0.1 ; (c), (d) q =0.99 .陰影部分表示外勢(shì) V (x) 低處Fig.1.Profiles of singl-hump gap solitons of the cubic-quintic GPE ( V0=4 ): (a), (b) q = 0.1; (c), (d) q = 0.99.Shaded regions represent lattice sites, i.e., regions of low potential values V (x) .

圖2 單峰帶隙孤子的振幅隨相互作用強(qiáng)度的變化( V0=4 )Fig.2.Amplitudes of single-hump gap solitons v.s.nonlinear interaction strength.

圖3 on-site孤子三體相互作用能量和兩體相互作用能量的比Fig.3.The ratio of three-body energy to two-body energy for on-site solitons with different interaction strength.

圖4 3?5 次 GPE 的同相偶極孤子和異相偶極孤子 ( V0=4 ) (a), (b) q =0.1; (c), (d) q =0.99 .陰影部分表示外勢(shì) V (x) 低處Fig.4.Profiles of double-hump gap solitons of the cubic-quintic GPE ( V0=4 ) (a), (b) q = 0.1; (c), (d) q = 0.99.Shaded regions represent lattice sites, i.e., regions of low potential values V (x) .

3 帶隙孤子的穩(wěn)定性

孤子的穩(wěn)定性無(wú)論在理論上還是在實(shí)驗(yàn)上都是一個(gè)重要的問(wèn)題, 下面將用非線性動(dòng)力學(xué)演化的方法來(lái)研究前面所得帶隙孤子的穩(wěn)定性.在初始時(shí)刻, 給波函數(shù)一小擾動(dòng).若經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間演化后孤子的振幅和波形沒(méi)有發(fā)生明顯變化, 則可認(rèn)為該孤子動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定; 否則認(rèn)為它動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定.數(shù)值計(jì)算時(shí), 所用方法為時(shí)間劈裂傅里葉譜方法[45].該方法具有效率高、精度高、計(jì)算過(guò)程中粒子數(shù)守恒,而且程序容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn).

對(duì)初始波函數(shù)做下面類(lèi)型的擾動(dòng)

其中ψ(x) 是前面所得定態(tài)帶隙孤子,β?1 是擾動(dòng)參數(shù), 計(jì)算時(shí)取β=0.01 .

圖5為不同參數(shù)情形下不同類(lèi)型帶隙孤子動(dòng)力學(xué)演化的等值線圖(V0=4 ).可以看出, 不同類(lèi)型孤子的穩(wěn)定性有所不同.圖5(a)為μ=1 ,q=0.1,g= –1,η=?1 (對(duì)應(yīng)圖1(a)中情形)時(shí) onsite孤子的動(dòng)力學(xué)演化.可以看出, 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后波形和振幅都沒(méi)有發(fā)生明顯變化, 故它是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的.數(shù)值研究中, 通過(guò)對(duì)各種參數(shù)情形進(jìn)行計(jì)算, 結(jié)果均表明無(wú)論在第一帶隙還是半無(wú)界帶隙中, on-site 孤子始終穩(wěn)定.圖5(b)為μ=0.5 ,q=0.1,g= –1,η=?1 (對(duì)應(yīng)圖4(a)中同相偶極孤子)的動(dòng)力學(xué)演化.很明顯孤子演變成振蕩狀態(tài),即能量在兩個(gè)相鄰光晶格之間周期性地轉(zhuǎn)移.初始時(shí)刻孤子空間結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性隨時(shí)間演化時(shí)被破壞,所以這是一種振蕩型不穩(wěn)定.大量計(jì)算表明, 這種同相偶極孤子總是動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定的.即使q較大時(shí), 盡管兩波峰相距較遠(yuǎn), 它仍然表現(xiàn)出不穩(wěn)定(但不穩(wěn)定性變?nèi)?.所以這種類(lèi)型的孤子不宜視為兩個(gè) on-site 孤子的組合.圖5(c)為μ=2 ,q= 0.5,g= 1,η=1 時(shí)第一帶隙內(nèi)異相偶極孤子 (帶隙孤子結(jié)構(gòu)與圖4(c)和圖4(d)中類(lèi)似)的動(dòng)力學(xué)演化.可以看出, 此時(shí)的孤子仍具有振蕩不穩(wěn)定性.圖5(d)為q=0.99 (其他參數(shù)與圖5(c)中相同)時(shí)異相偶極孤子的動(dòng)力學(xué)演化.可以看出, 此時(shí)的帶隙孤子是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的.這一結(jié)果表明外勢(shì)的模數(shù)會(huì)影響帶隙孤子的穩(wěn)定性; 同時(shí)也意味著其他參數(shù)固定時(shí), 存在臨界值qc.當(dāng)q?qc時(shí), 異相偶極孤子穩(wěn)定; 而當(dāng)q

圖5 不同類(lèi)型帶隙孤子的動(dòng)力學(xué)演化 (a) on-site 孤子; (b) 同相偶極孤子; (c), (d) 異相偶極孤子Fig.5.Contour plots of | Ψ(x,t)| for perturbed gap solitons: (a) On-site soliton; (b) in-phase dipole soliton; (c), (d) out-phase dipole soliton.

值得說(shuō)明的是, 前面僅討論了兩類(lèi)基本結(jié)構(gòu)的帶隙孤子, 即on-site孤子與off-site孤子.實(shí)際上,方程(6)存在無(wú)窮多結(jié)構(gòu)各異的帶隙孤子, 如三峰、四峰等結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的孤子.很多結(jié)構(gòu)復(fù)雜的帶隙孤子, 可視為這兩類(lèi)基本帶隙孤子的組合.這類(lèi)孤子的特點(diǎn)是它們的峰值總位于外勢(shì)的最低點(diǎn)處.數(shù)值結(jié)果表明, 方程(6)也存在另外一類(lèi)帶隙孤子, 它們的峰值并不位于外勢(shì)的最低點(diǎn)處.文獻(xiàn)中將該類(lèi)孤子稱(chēng)為亞基本帶隙孤子(sub-fundamental gap soliton)[46].圖6(a)和圖6(c)顯示了q= 0.1,g= –1,η=?2,V0= 4 不同μ值時(shí)的亞基本帶隙孤子, 它有著和前面兩種類(lèi)型的孤子明顯不同的結(jié)構(gòu)特征.這類(lèi)孤子在空間上呈奇對(duì)稱(chēng)分布, 它的中心位置位于外勢(shì)的最低點(diǎn)處, 波峰則介于外勢(shì)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間.圖6(b)和圖6(d)為該類(lèi)帶隙孤子的動(dòng)力學(xué)演化, 可以看出,μ=2.9 時(shí)孤子不穩(wěn)定而μ=3 時(shí)孤子穩(wěn)定.該結(jié)果意味著存在臨界值μc,當(dāng)μ<μc時(shí)孤子不穩(wěn)定而μ>μc時(shí)孤子穩(wěn)定.數(shù)值結(jié) 果 表 明 在 該 組 參 數(shù) 下,μc≈ 2.992 .這 里 取ψ(x)=A1e?x2/W1sin(k1x)作為迭代初始條件, 計(jì)算時(shí)取A1= 1,W1= 4K(q),k1= 1.

三體相互作用強(qiáng)度對(duì)于帶隙孤子的穩(wěn)定性也有一定影響.圖7 顯示了V0= 2,μ= 1.25,q= 0.1,g= 1而不同h時(shí)第一帶隙中同相偶極孤子的動(dòng)力學(xué)演化.圖7(a)中η=0 , 可以看出, 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后帶隙孤子呈現(xiàn)出動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定; 圖7(b)中η=?0.2, 可以看出此時(shí)的帶隙孤子是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的.表明三體相互作用強(qiáng)度對(duì)于帶隙孤子的穩(wěn)定性確實(shí)有著一定影響, 它可以改變帶隙孤子的穩(wěn)定性區(qū)域, 該結(jié)論與文獻(xiàn)[18]中結(jié)論一致.注意這里的同相偶極孤子與圖3中有所不同, 它屬于文獻(xiàn)[29]中提到的(1, 1)結(jié)構(gòu), 并非從Band中分岔出來(lái)(迭代時(shí)取N=2 ,A1=A2= 0.6,x1= 0,x2=–2K(q),W1=W2=K(q) ).

圖6 (a), (c) 第一帶隙中的亞基本帶隙孤子 (紅色).藍(lán)線表示外勢(shì); (b), (d) 亞基本帶隙孤子的動(dòng)力學(xué)演化Fig.6.(a), (c) Profiles of sub-fundamental gap solitons (red lines) lie in the first bandgap.The solid blue lines denote the external potential; (b), (d) contour plots of | Ψ(x,t)| for perturbed gap solitons.

圖7 第一帶隙中同相偶極孤子 (a) η =0 和 (b) η =?0.2 時(shí)的動(dòng)力學(xué)演化Fig.7.Contour plots of | Ψ(x,t)| for in-phase dipole solitons lie in the first bandgap with (a) η =0 and (b) η =?0.2 .

4 結(jié) 論

本文研究了準(zhǔn)一維情形下束縛于雅可比橢圓函數(shù)周期勢(shì)中具有三體相互作用BEC系統(tǒng)中的帶隙孤子及其穩(wěn)定性.在平均場(chǎng)近似下, 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為可由3—5次GPE描述.首先利用多重尺度法對(duì)系統(tǒng)的帶隙孤子進(jìn)行了理論分析, 將3—5次GPE化為一定態(tài)NLSE, 并給出了一類(lèi)帶隙孤子的解析表達(dá)式.然后采用NCG法數(shù)值得到了該系統(tǒng)中存在的帶隙孤子, 包括兩類(lèi)基本帶隙孤子(on-site孤子和off-site孤子)與亞基本帶隙孤子 (sub-fundamental gap soliton).數(shù)值結(jié)果與理論分析均表明, 三體相互作用強(qiáng)度的增大將會(huì)導(dǎo)致帶隙孤子的振幅減小.最后, 用時(shí)間劈裂傅里葉譜方法對(duì)GPE進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)演化以考察孤子的穩(wěn)定性, 發(fā)現(xiàn)on-site孤子始終穩(wěn)定, 同相偶極孤子和異相偶極孤子既有穩(wěn)定的也有不穩(wěn)定的.三體相互作用強(qiáng)度對(duì)于帶隙孤子的穩(wěn)定性也有一定影響.外勢(shì)的模數(shù)對(duì)孤子的結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定性會(huì)產(chǎn)生明顯影響, 故實(shí)驗(yàn)中可通過(guò)調(diào)整外勢(shì)的模數(shù)來(lái)改變帶隙孤子的穩(wěn)定性.