位文廣，韓俊鶴，付玉洲

(河南大學(xué) 物理與電子學(xué)院，開(kāi)封 475004)

引 言

相移干涉數(shù)字全息術(shù)主要利用光電探測(cè)元件(如CCD、CMOS等)代替全息記錄干板來(lái)記錄全息圖像，然后在計(jì)算機(jī)上模擬光的干涉過(guò)程對(duì)數(shù)字全息圖像進(jìn)行重建，從而實(shí)現(xiàn)全息技術(shù)從數(shù)據(jù)采集到重建全過(guò)程的數(shù)字化。相移干涉數(shù)字全息技術(shù)以光的波長(zhǎng)為計(jì)量單位且具有全域、無(wú)損的特性，在物體表面形變測(cè)量、細(xì)胞分析、無(wú)損檢測(cè)及光學(xué)元件缺陷檢測(cè)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-5]。光學(xué)相移干涉的基本原理是在兩束相干光，即物光和參考光之間引入有序可控的相移，當(dāng)物光或參考光的相位發(fā)生變化時(shí)，干涉條紋的強(qiáng)弱分布也隨之發(fā)生相應(yīng)的變化；在此過(guò)程中用光電探測(cè)器如電荷耦合器件(charge coupled device,CCD)逐步采集對(duì)應(yīng)的干涉圖，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)后按幀存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)內(nèi)；然后由計(jì)算機(jī)按照特定的相移干涉的波前重建算法由采集的數(shù)字干涉圖樣解出物光的復(fù)振幅分布。根據(jù)所需相移次數(shù)不同，可將相移法分為兩步相移法[6]、三步相移法[7]和四步相移法[8]等。顯然，隨著相移次數(shù)的增加，所采集的干涉圖像和耗費(fèi)的時(shí)間也隨之增加，這也是2步相移法較之其它相移法優(yōu)勢(shì)所在[9-10]。雖然傳統(tǒng)的兩步相移法與四步相移法相比，節(jié)省了近一半時(shí)間，但其算法和光路結(jié)構(gòu)也相對(duì)復(fù)雜。2006年，MENG等人提出了一種兩步相移干涉法，只需要兩幅干涉圖和一個(gè)單獨(dú)的參考光強(qiáng)度分布來(lái)進(jìn)行相位測(cè)量[11]。該方法要求參考波的平均強(qiáng)度比物光波最高強(qiáng)度高兩倍，且隨著物光和參考光相對(duì)強(qiáng)度的變化會(huì)對(duì)全息重建結(jié)果產(chǎn)生不同影響[12]。LIU和POON證明了相位成像可以用兩個(gè)干涉圖和參考波的估計(jì)而非測(cè)量來(lái)完成[13]，其后又對(duì)該算法進(jìn)行了優(yōu)化[14]，此算法雖然可以很好地去除零級(jí)像和孿生像，但計(jì)算原理較為復(fù)雜而且計(jì)算量較大，且使用壓電陶瓷器實(shí)現(xiàn)相移操作不便[15]。

本文中所述的兩步相移干涉數(shù)字全息算法，主要利用兩個(gè)相同的CCD放置于距離像平面后的不同位置，同時(shí)采集不同位置的兩幅干涉圖以縮短采集干涉圖像所需時(shí)間，然后利用光學(xué)相移單元在參考光中引入π的相移后再次采集兩幅干涉圖，并根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的性質(zhì)得到相移前后干涉圖間的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而解出物光的波前分布，這樣只需一次相移就可實(shí)現(xiàn)相位重建的目的。以微透鏡陣列作為待測(cè)物體，驗(yàn)證了本文中提出的兩步相移算法的可行性。

1 理論分析

圖1為兩步相移干涉數(shù)字全息系統(tǒng)示意圖。系統(tǒng)的主體為一個(gè)Mach-Zehnder干涉儀，其中，光源為一個(gè)波長(zhǎng)為632.8nm的He-Ne激光器。He-Ne激光器發(fā)出的光束經(jīng)過(guò)透振方向沿豎直方向的偏振器P后入射擴(kuò)束器(beam expander,BE)，經(jīng)過(guò)擴(kuò)束器BE擴(kuò)束后的光束由消偏振分光棱鏡(non-polarizating beam splitter,NPBS)NPBS1分為參考波和物光波。在參考波光路中，放置一個(gè)光學(xué)相移單元(phase shifting unit, PSU)，用于調(diào)節(jié)參考光的相位。在物光波光路中，一個(gè)微透鏡陣列(microlens array，MA)作為待檢測(cè)物體放置于4倍顯微鏡物鏡(microscopic objective,MO)的前焦平面上。通過(guò)待測(cè)物體的物光波經(jīng)一個(gè)由顯微鏡物鏡MO和消色差透鏡L組成的顯微放大系統(tǒng)放大。Im為像平面,放大后的物光波和參考波合束于消偏振分光棱鏡NPBS2。型號(hào)相同的兩個(gè)CCD，即CCD1和CCD2分別放置于距像平面為D1和D2的位置，用于采集對(duì)應(yīng)位置的干涉圖樣。CCD型號(hào)為DMK 23G274,分辨率為1600pixel×1200pixel，像素尺寸為4.4μm。

Fig.1 Schematic diagram of two-step phase-shifting digital holography system

CCD1與像平面(x0,y0)的距離為d1。設(shè)Od1為物光波O(x0,y0)在自由空間中傳播d1距離后的復(fù)振幅分布，可表示為：

Od1(x1,y1,z1)=F-1{F[O(x0,y0)]·Gd1}

(1)

式中，F(xiàn){}和F-1{}分別表示傅里葉變換和逆傅里葉變換。Gd1為自由空間傳遞函數(shù)，表示為：

(2)

式中，ζ和η為頻域空間坐標(biāo)，λ為激光波長(zhǎng)。設(shè)平面參考波為R，則在d1位置處的干涉強(qiáng)度分布A11可表示為：

A11(x1,y1,d1)=

(3)

在參考光中引入π的相移后，d1處干涉圖樣的強(qiáng)度分布A12可寫為：

A12(x1,y1,d1)=

(4)

則由 (3) 式和 (4) 式可得：

A11-A12=2Od1R*+2Od1*R

(5)

同時(shí)對(duì)(5)式兩邊進(jìn)行傅里葉變換可得：

F{A11-A12}=F{2Od1R*+2Od1*R}

(6)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)平面參考波R的復(fù)振幅為1。根據(jù)(2)式，可知Gd1的復(fù)共軛Gd1*和G-d1相等，再將(1)式和(2)式代入(6)式可得：

F{A11-A12}=

2F{O}·Gd1+2F{O*}·G-d1

(7)

同理，通過(guò)位于距像平面(x0,y0)為d2的CCD2上所記錄的兩幅干涉圖也可以得到如下式所示關(guān)系：

F{A21-A22}=

2F{O}·Gd2+2F{O*}·G-d2

(8)

由(7)式×G-d1-(6) 式×G-d2可解出待測(cè)物體物光波O(x0,y0)的頻譜分布,如下式所示：

F{O}=

(9)

式中,G-d1,G-d2,Gd1-d2和Gd2-d1分別為在距離-d1,-d2,d1-d2和d2-d1的自由空間傳遞函數(shù)。對(duì)(9)式進(jìn)行逆傅里葉變換,可以解出待測(cè)物體物光波O(x0,y0)的復(fù)振幅。這種方法不僅有著和傳統(tǒng)四步相移相同的相位重建效果，而且只用了一半的時(shí)間。與傳統(tǒng)相移算法類似[16-19]，通過(guò)上述方法解出的復(fù)振幅分布仍然是包裹的[20]，作者使用最小二乘法對(duì)包裹的復(fù)振幅分布進(jìn)行解包裹，就可得到物光波的真實(shí)相位分布。

2 理論模擬與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述理論的可行性，首先使用MATLAB對(duì)其進(jìn)行模擬驗(yàn)證。圖2為模擬的待測(cè)物體的振幅分布和相位分布。圖3中I11,I12,I21和I22為按照(3)式和(4)式等生成的數(shù)字全息干涉強(qiáng)度分布圖。其中I11和I12為D1=61mm時(shí)生成的干涉強(qiáng)度分布圖，且I11和I12之間有π的相移；I21和I22為D2=66mm時(shí)生成的干涉強(qiáng)度分布圖，I21和I22之間相移同樣為π。

Fig.2 Simulation of objects to be measured

a—amplitude distribution of the simulated object to be measured b—phase distribution of the simulated object to be measured

按照上面所述方法對(duì)模擬出的干涉強(qiáng)度分布圖進(jìn)行相位重建，可得到圖4。對(duì)比圖4和圖2b中相位分布可知,兩步相移干涉全息算法確實(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)相位重建的目的。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證兩步相移干涉全息術(shù)的有效性，以微透鏡陣列作為待測(cè)物體重建其相位分布。微透鏡陣列為THORLABS公司生產(chǎn)的刻在紫外融石英底板上的熔融石英凸透鏡陣列，型號(hào)為MLA300-14AR-M。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于光的衍射，干涉圖應(yīng)靠近物體像平面采集，因此，將光學(xué)相移單元放置于參考光路，且將兩個(gè)CCD靠近合束棱鏡NPBS2放置。作者將CCD1和CCD2垂直于光路放置，其與物體經(jīng)顯微放大系統(tǒng)所成像的距離分別為47mm和52mm。由于實(shí)驗(yàn)所用的激光束并非理想的平面波，所用的光學(xué)器件也會(huì)引入附加殘余相位，因此,需要在不放置待測(cè)物體時(shí)采集干涉圖重建系統(tǒng)的殘余相位分布，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

Fig.3 The interference intensity distribution

a—D1=61mm and phase shift is 0 b—D2=66mm and phase shift is 0 c—D1=61mm and phase shift is π d—D2=66mm and phase shift is π

Fig.4 Phase reconstruction results of simulated interferograms

圖5a和圖5b分別為相移為0和π時(shí)CCD1所采集干涉圖，圖5c和圖5d分別為相移為0和π時(shí)CCD2所采集干涉圖。把微透鏡陣列放置于顯微放大系統(tǒng)的物平面，繼續(xù)按要求采集4幅干涉圖，結(jié)果如圖5e、圖5f、圖5g和圖5h所示。圖5e和圖5f為相移為0和π時(shí)CCD1所采集干涉圖，圖5g和圖5h分別為相移為0和π時(shí)CCD2所采集干涉圖。按照本文中所述的相位重建算法，經(jīng)過(guò)擬合重建，當(dāng)D1=47.2mm和D2=52.15mm(即ΔD=D2-D1=4.95mm)時(shí)對(duì)圖5a～圖5d的相位重建結(jié)果最好，如圖6a所示。在相同位置對(duì)圖5e～圖5h進(jìn)行相位重建，重建結(jié)果如圖6b所示。圖6a是系統(tǒng)的殘余相位圖，圖6b是包含系統(tǒng)殘余相位時(shí)微透鏡陣列的相位分布圖。

在包含系統(tǒng)殘余相位的微透鏡陣列相位分布圖中除去系統(tǒng)的殘余相位可以得到微透鏡陣列的真實(shí)相位分布，結(jié)果如圖7a所示。為驗(yàn)證相位重建結(jié)果的有效性，同時(shí)使用四步相移法對(duì)微透鏡陣列的相位分布進(jìn)行重建，重建結(jié)果如圖7b所示。對(duì)比圖7a和圖7b可知，兩種方法所得相位重建結(jié)果相一致，由此可知本文中所用的兩步相移算法可以有效的實(shí)現(xiàn)微透鏡陣列的相位重建。

Fig.5 Interference images collected by CCD

a,b—residual phase images collected by CCD1when the phase shift is 0 and π c,d—residual phase images collected by CCD2when the phase shift is 0 and π e,f—the interferograms collected by CCD1when the phase shift is 0 and π g,h—the interferograms collected by CCD2when the phase shift is 0 and π

Fig.6 Preliminary phase reconstruction results

a—residual phase diagram of the system b—phase distribution of microlens array including residual phase of the system

實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)測(cè)量誤差來(lái)源主要有：光學(xué)系統(tǒng)誤差和相移誤差。其中光學(xué)系統(tǒng)誤差主要是透鏡引入的像差可能引起干涉圖樣的變形，此外透鏡對(duì)焦的不準(zhǔn)確也會(huì)造成圖像變形，使用高質(zhì)量的傅里葉變換透鏡可以有效減少此類誤差。相移誤差主要在于相移單元相移的準(zhǔn)確度以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境引起的干涉條紋晃動(dòng)，提高相移單元相移的準(zhǔn)確度以及在CCD采集干涉圖時(shí)使用降低噪聲的功能能夠減少此類誤差。

Fig.7 The final result of phase reconstruction

a—phase reconstruction result of two-step phase shift b—phase reconstruction result of four-step phase shift

3 結(jié) 論

從理論模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，通過(guò)將兩個(gè)相同CCD放置于不同位置同時(shí)采集物光波在不同衍射距離的干涉圖，同時(shí)使用光學(xué)相移單元在參考光中引入特定的相移π，并根據(jù)光學(xué)傳遞函數(shù)的性質(zhì)可得干涉圖之間的函數(shù)關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)相位重建的方法是可行的。這種方法不僅結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、操作方便，而且比四步相移節(jié)約了一半以上時(shí)間，可以快速有效地實(shí)現(xiàn)透明物體的相位重建，理論模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明了這種方法的可靠性和有效性。