外角和為360°

張景中

美籍華人陳省身教授是當(dāng)代舉世聞名的數(shù)學(xué)家，他十分關(guān)心祖國數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展.人們稱贊他是“中國青年數(shù)學(xué)學(xué)子的總教練”.

1980年，陳省身教授在北京大學(xué)的一次講學(xué)中語驚四座：“人們常說，三角形內(nèi)角和等于1800.但是，這是不對的！”

大家愕然，怎么回事？三角形內(nèi)角和是1800.這不是數(shù)學(xué)常識嗎？

接著，這位老教授對大家的疑問作了精辟的解答：

說“三角形內(nèi)角和為180°”不對，不是說這個(gè)事實(shí)不對，而是說這種看問題的方法不對，應(yīng)當(dāng)說“三角形外角和是360°”！

把眼光盯住內(nèi)角，只能看到：

三角形內(nèi)角和是180°：

四邊形內(nèi)角和是360°;

五邊形內(nèi)角和是540°;

……

n邊形內(nèi)角和是（n-2）x180°.

這就找到了一個(gè)計(jì)算多邊形內(nèi)角和的公式.公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n.

如果看外角呢？

三角形的外角和是360°;

四邊形的外角和是360°;

五邊形的外角和是360°;

……

任意n邊形的外角和都是360°.

這就把多種情形用一個(gè)十分簡單的結(jié)論概論起來了，用一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律.

設(shè)想一只螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子（如圖1）.每經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)，它前進(jìn)的方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個(gè)頂點(diǎn)處的外角.爬了一圈，回到原處，方向和出發(fā)時(shí)一致了，角度改變量之和當(dāng)然恰好是360°.

這樣看問題，不但給“多邊形的外角和等于360°”這條普遍規(guī)律找到了直觀上的解釋，而且立刻把我們的眼光引向了更寬廣的天地.

一條凸的閉曲線——卵形線，談不上什么內(nèi)角和與外角和.可是螞蟻在上面爬的時(shí)候，它的方向也在時(shí)時(shí)改變.它爬一圈，角度改變量之和仍是360°（如圖2）.