苑光明, 尹田田, 董明慧, 陳長偉, 唐順磊, 陳力

(1 齊魯理工學(xué)院基礎(chǔ)部, 山東 濟(jì)南 250200;2 安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院, 安徽 安慶 246113)

1 引 言

作為量子信息的一類重要的物理資源,量子糾纏在諸多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用,例如描述多體量子比特系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu)、單向量子計(jì)算、超密編碼等。不同于經(jīng)典關(guān)聯(lián)中信息可以自由共享,量子糾纏在其共享過程中受到限制,量子糾纏共享中受限制的情況稱為糾纏單配性關(guān)系[1～4]。換句話說,在量子力學(xué)中一個(gè)系統(tǒng)與另一個(gè)系統(tǒng)的糾纏大小將限制此系統(tǒng)與其他系統(tǒng)的糾纏大小。2000 年,Coffman、Kundu 和Wootters[5]在研究三量子比特系統(tǒng)時(shí)創(chuàng)新性地引入了單配性概念,并使用此概念證明了基于并發(fā)度糾纏平方的單配性關(guān)系。2006 年,Osborne 和Verstraete[6]將基于并發(fā)度糾纏平方的單配性關(guān)系推廣到了多體量子比特系統(tǒng)。隨后對基于并發(fā)度平方的單配性關(guān)系進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)其無法描述所有多體量子比特系統(tǒng)的糾纏分布情況,體現(xiàn)出了一定的局限性。為解決這一問題,科學(xué)家嘗試將這一單配性關(guān)系的概念應(yīng)用于其它的糾纏度量,例如高斯糾纏、形成糾纏等[7～21]。

非廣延熵糾纏是一種基于形成糾纏的推廣量子糾纏度量,參數(shù)q 趨向于1 時(shí),其收斂于形成糾纏。之前Kim 等[20]研究了基于非廣延熵糾纏的單配性關(guān)系,發(fā)現(xiàn)無法滿足所有的參數(shù)范圍。同樣地,之前對于形成糾纏的單配性關(guān)系已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。Bai 等[10]創(chuàng)新性地構(gòu)建了形成糾纏平方的單配性關(guān)系;基于Bai 等的論證思路,Song 等[11,12]改寫了任意熵糾纏及非廣延熵糾纏的函數(shù)解析式,分別給出了任意熵糾纏平方的單配性關(guān)系和非廣延熵糾纏平方的單配性關(guān)系。

本文提出了一種新型的基于非廣延熵糾纏的單配性關(guān)系,并論證了該單配性關(guān)系較文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[12]所得單配性關(guān)系之優(yōu)點(diǎn)。

2 基于并發(fā)度的新型單配性關(guān)系

對于兩體量子比特純態(tài)|ψ〉A(chǔ)B,并發(fā)度的定義為[5]

式中ρA=trB|ψ〉A(chǔ)B〈ψ|為子系A(chǔ) 的約化密度矩陣。對于兩體量子比特混合態(tài)ρAB,并發(fā)度的定義為凸脊擴(kuò)展形式

2000 年,Coffman、Kundu 和Wootters[4]三人首次提出了單配性關(guān)系,并將這一基于并發(fā)度平方的單配性關(guān)系推廣到了多體量子比特系統(tǒng)

之后對于并發(fā)度單配性的研究推廣了更加嚴(yán)格的形式[22]

式中μ≥2。其后對于并發(fā)度單配性的研究進(jìn)一步推廣:對于任意多比特混合態(tài)ρ ∈HA?HB1?···?HBN?1,如 果CABi≥CA|Bi+1···BN-1, 其 中i = 1,2,··· ,m, 且CABj≥CA|Bj+1···BN?1, 其 中j = m + 1,··· ,N ?2, 存 在1 ≤m ≤N ?3,N ≥4,并發(fā)度服從單配性關(guān)系式[21]

式中μ≥2。下面介紹幾個(gè)相關(guān)概念[22]。

引理1 假設(shè)k 為實(shí)數(shù),且0

證明: 首先討論公式f (m,x) = (1+x)m?xm, 其中x ≥1/k, m ≥1。對公式求一階導(dǎo)數(shù)f′(m,x) =m[(1+x)m?1?xm?1],結(jié)果顯而易見為非負(fù),即函數(shù)為增函數(shù)。所以

令x=1/t,可得(6)式;同理,若0 ≤n ≤1,公式f (m,x)=(1+x)n?xn一階導(dǎo)數(shù)為非正,即函數(shù)為減函數(shù)。綜上,不等式證明完畢。

下面利用引理1 知識,給出并發(fā)度的新型單配性關(guān)系。

定理1假設(shè)k 為實(shí)數(shù),且0< k ≤1。對于任意2 ?2 ?2n?2混合態(tài)ρ ∈HA?HB?HC,如果CAB≥CAC,當(dāng)α ≥2,可得

證明:對于任意2 ?2 ?2n?2混合態(tài)ρABC∈HA?HB?HC,如果CAB≥CAC,則

式中第一個(gè)不等式利用并發(fā)度的單配性不等式;第二個(gè)不等式利用引理1。接下來將定理1 擴(kuò)展至多體量子比特系統(tǒng)中。

定理2假設(shè)k 為實(shí)數(shù),且0 < k ≤1。對于任意多比特混合態(tài)ρ ∈HA?HB1?···?HBN-1,如果kBi≥|Bi+1···BN?1,其中i = 1,2,··· ,m,且Bj≤k|Bj+1···BN?1,其中j = m+1,··· , N ?2,存在1 ≤m ≤N ?3,N ≥4,并發(fā)度滿足關(guān)系式

式中α ≥2。

證明:由定理1,可得

結(jié)合以上兩式,證明完畢。

考慮將該單配性關(guān)系應(yīng)用于一個(gè)三比特態(tài)|ψ〉,則

假設(shè)k = 0.5,顯而易見,可以判斷該單配性關(guān)系優(yōu)于以前給出的單配性關(guān)系,即(13)式結(jié)果優(yōu)于(3)～(5)式的結(jié)果。

3 基于非廣延熵糾纏平方的嚴(yán)格單配性關(guān)系

兩體量子比特純態(tài)|ψ〉A(chǔ)B非廣延熵糾纏的定義為[11]

?劉緒貽、李存訓(xùn):《富蘭克林·D．羅斯福時(shí)代，1929 ～1945》(劉緒貽、楊生茂總主編:《美國通史》第五卷)，人民出版社2002年版，第71頁。

式中q>0 且q ≠1。ρA=trB(|ψ〉A(chǔ)B〈ψ|)為子系統(tǒng)A 的約化密度矩陣。非廣延熵糾纏參數(shù)q 趨向于1 時(shí),收斂于形成糾纏

其中最小值取遍所有可能的純態(tài)分解ρAB=Pi|ψi〉A(chǔ)B〈ψi|。

對于非廣延熵糾纏單配性研究,Kim[20]構(gòu)建了非廣延熵糾纏與并發(fā)度的解析表達(dá)式

式中參數(shù)1 ≤q ≤4。通過研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)q ∈[2,3]時(shí),非廣延熵糾纏服從單配性關(guān)系。

類似地,在文獻(xiàn)[11]中,非廣延熵糾纏與并發(fā)度平方的函數(shù)解析式表示為

式中

之前文獻(xiàn)[1] 給出一個(gè)新型的單配性關(guān)系: 對于任意多比特混合態(tài)ρ ∈HA?HB1?···?HBN-1, 如果CABi≥CA|Bi+1···BN?1,其中i=1,2,··· ,m,且CABj≤CA|Bj+1···BN?1,其中j=m+1,··· ,N ?2,存在1 ≤m ≤N ?3,N ≥4,非廣延熵糾纏滿足關(guān)系式

下面利用并發(fā)度的新型單配性關(guān)系,討論基于非廣延熵糾纏的新型單配性。

其中第二個(gè)不等式利用了并發(fā)度平方的單配性關(guān)系,第三個(gè)不等式利用了文中引理1。

對應(yīng)的單配性關(guān)系為

假設(shè)公式中k=0.5。較之前單配性關(guān)系(22)式和(23)式,本結(jié)論(24)式更加嚴(yán)格。

通過以上論證可以發(fā)現(xiàn),所提出的基于多體量子比特系統(tǒng)的單配性關(guān)系較文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[12]結(jié)果更加嚴(yán)格。

4 結(jié) 論

量子糾纏的分布特性不同于經(jīng)典關(guān)聯(lián),量子糾纏不能在多體之間任意分享,糾纏單配性不僅是多體量子比特系統(tǒng)中一類重要的物理性質(zhì),同時(shí)有助于了解多體量子比特系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu)。提出了基于非廣延熵糾纏服從的新型糾纏單配性不等式,此結(jié)論優(yōu)于文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[12]的結(jié)果,有助于推動(dòng)量子糾纏的描述和量化,但仍需進(jìn)行進(jìn)一步研究,特別是還需進(jìn)一步解決對于量子動(dòng)力學(xué)中單配性的證明。