水平層狀模型中多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的靈敏度分析

尹曉菲 胥鴻睿 郝曉菡 孫石達 王 芃

(①中國地震局地震預測研究所，北京100036； ②中國地質大學(武漢)地球內部成像與探測實驗室，湖北武漢430074； ③浙江省交通規(guī)劃設計研究院有限公司，浙江杭州310000； ④華中科技大學物理學院基本物理測量教育部重點實驗室，湖北武漢430074)

0 引言

面波沿自由表面(如土壤與空氣之間界面、土壤與水之間界面)傳播，瑞雷波和拉夫波是兩種基本的面波類型。瑞雷波是由P波和S波耦合形成的[1]，在半無限空間中，位于自由表面的粒子運動軌跡是沿逆時針方向旋轉的橢圓，當瑞雷波傳播到0.2倍波長的深度時，粒子運動軌跡由逆時針變?yōu)轫槙r針[2]。拉夫波的形成與層內多重SH波相互干涉有關[3]，其粒子運動軌跡是水平的且垂直于波的傳播方向。面波具有低速度、低頻率、高振幅和頻散等特點[4]，高頻面波方法即是依據(jù)這些特性而建立，且已被廣泛應用于解決淺地表地球物理問題[5-6]。

面波在層狀介質中具有多階模態(tài)，按照數(shù)值由小到大分為基階、一階高階和二階高階模式相速度等。高頻面波方法通過提取和反演面波相速度頻散曲線獲得地下介質的橫波速度[7-10]。由于高階模式面波在高頻段攜帶了比基階模式波更多的能量，聯(lián)合反演基階和高階模式瑞雷波(或拉夫波)相速度頻散曲線可提高橫波速度反演精度[11-13]。然而實際應用中，可能會因外在因素(如噪聲干擾)使某些頻段的瑞雷波(或拉夫波)頻散數(shù)據(jù)缺失，導致單獨反演瑞雷波或拉夫波相速度頻散曲線得到的橫波速度的精度較低[14]。這時，有必要同時考慮瑞雷波和拉夫波頻散數(shù)據(jù)。Hamimu等[15]應用遺傳算法聯(lián)合反演基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線，明確指出瑞雷波和拉夫波聯(lián)合反演法可有效提高橫波速度的精度。然而這些研究均側重于如何確定淺地表橫波速度，并未細究面波相速度頻散曲線的靈敏度對橫波速度反演結果的影響。

面波相速度頻散曲線的靈敏度分析可指導反演過程中選取合適的多模式和頻段范圍的面波相速度，從而保證穩(wěn)定、可靠地反演橫波速度[16]。Feng等[17]通過大量實驗證明相同頻率的多模式面波相速度對同一地層橫波速度的靈敏度不同?；贚ai等[18]計算面波相速度偏導數(shù)的方法，Zeng等[19]指出相同模型內低頻段的基階模式瑞雷波相速度對半空間橫波速度的靈敏度低于相同頻段的基階模式拉夫波相速度。

低速和高速夾層模型是淺地表物探中兩種常見的速度非遞增地質結構。其中低速夾層模型是指某一層的橫波速度低于該層上覆地層中至少一層橫波速度； 高速夾層模型是指某一層的橫波速度高于其下伏地層中至少一層橫波速度。Liang等[20]發(fā)現(xiàn)瑞雷波的相速度對低速層下伏地層的橫波速度不靈敏。在高速夾層模型中，相對于高速層的橫波速度和層厚，基階模式瑞雷波相速度頻散曲線對高速層所在深度位置的改變更靈敏[21]； Yin等[22]的模擬結果還證實基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對高速層下伏地層的橫波速度不靈敏。Shen等[23]研究認為隨著速度異常層與鄰層之間橫波速度差異的增大，基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線關于速度異常層橫波速度的靈敏度效應(高速層的低靈敏度和低速層的高靈敏度)會增強。

本文首先研究各模型參數(shù)的改變對多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的影響； 然后選取速度遞增、低速夾層和高速夾層三種典型的水平層狀模型，分別計算這些模型的不同模式瑞雷波和拉夫波相速度對于不同深度地層橫波速度的靈敏度，探究不同模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對速度異常層橫波速度的靈敏度，為面波反演獲得高精度的橫波速度提供理論指導。

1 方法原理

1.1 多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線計算

對于水平層狀模型，各頻率的瑞雷波相速度可表示為四組模型參數(shù)(橫波速度、密度、層厚、縱波速度)的函數(shù)[24]

FR(fj,cRj,vS,vP,ρ,h)=0

(1)

式中：FR是非線性的隱函數(shù)；j=1,2,…,m，其中m為頻率點的個數(shù)；fj代表第j個頻率；cRj為第j個頻率fj對應的瑞雷波的相速度；vS=(vS1,vS2,…,vSn)T代表橫波速度的列向量，其中vSi為該向量的第i個元素，即第i層橫波速度，i=1,2,…,n，n是模型層數(shù)，上標“T”表示向量的轉置；vP=(vP1,vP2,…,vPn)T是縱波速度的列向量，vPi為第i層的縱波速度；ρ=(ρ1,ρ2,…,ρn)T為密度向量，ρi表示第i層的密度；h=(h1,h2,…,hn)T表示層厚向量，hi是第i層的厚度。

拉夫波的產(chǎn)生要求在表層即覆蓋層的下面存在一個高速層[25]。與瑞雷波不同，拉夫波的相速度與縱波速度無關[26]，其表達式為

FL(fj,cLj,vS,ρ,h)=0

(2)

式中cLj為第j個頻率fj對應的拉夫波的相速度。

利用Knopoff算法計算某一頻率的瑞雷波和拉夫波相速度[27]。假設共有m個頻率，則將式(1)和式(2)分別改寫成m個頻散方程； 再據(jù)二分法[28]對其求解，得到多模式瑞雷波和拉夫波相速度。

1.2 各模型參數(shù)的靈敏度分析

由式(1)和式(2)可知，瑞雷波和拉夫波相速度皆與地下各層的橫波速度、密度和層厚有關。此外，瑞雷波相速度亦與各層的縱波速度有關。但若某個參數(shù)對相速度頻散曲線的影響小到一定程度，則可在反演過程中忽略該參數(shù)的影響。在1～50Hz頻段內，分別將模型N(表1，其中δ代表泊松比)中所有地層的橫波速度、縱波速度和層厚增加25%，研討橫波速度、縱波速度和層厚的改變對不同模式瑞雷波和拉夫波相速度的影響。當討論密度的改變對面波相速度的影響時，為了使密度的改變對面波相速度頻散曲線的影響達到最大，這里將第1和第2層的密度同時減少25%，并將其他地層的密度增加25%(通常認為25%的密度變化近似于砂巖與頁巖分界面、頁巖與石灰?guī)r分界面及砂礫與黏土分界面的變化幅度)(圖1和圖2)。

表1 模型N的參數(shù)

注：拉夫波計算時，不需縱波速度。表4、表5相同

圖1 模型N各參數(shù)的改變對多模式瑞雷波相速度頻散曲線的影響

圖2 模型N各參數(shù)的改變對多模式拉夫波相速度頻散曲線的影響

表2總結了各模型參數(shù)的改變對1～50Hz頻段內不同模式瑞雷波相速度頻散曲線影響的平均值。當橫波速度改變25%時，瑞雷波相速度頻散曲線的平均相對變化最大(基階、一階高階和二階高階模式的平均相對變化分別為39.65%、36.96%和41.52%)； 當層厚改變25%時，隨著瑞雷波模式階數(shù)的增加，層厚的影響增大(基階、一階、二階對應的平均變化率為10.92%、11.04%和13.07%)； 相同幅度的密度變化對不同模式瑞雷波相速度頻散曲線的影響較橫波速度和層厚的影響明顯降低(由低階到高階對應的平均變化率為5.92%、6.21%和0.65%)； 而相同幅度縱波速度變化對不同模式瑞雷波相速度頻散曲線的影響在諸模型參數(shù)中最小(皆小于2%)。

表2 模型參數(shù)改變25%時引起的1～50Hz頻段的基階、一階高階和二階高階瑞雷波相速度頻散曲線的平均相對變化

參數(shù)模型基階/%一階/%二階/% 橫波速度39.6536.9641.52縱波速度1.141.720.86密度 5.926.210.65層厚 10.9211.0413.07

由各模型參數(shù)改變25%時引起的不同模式拉夫波相速度頻散曲線的平均相對變化(表3)可知： 當橫波速度改變25%時，對拉夫波相速度頻散曲線的影響隨著面波模式階數(shù)的增加而增大(由低階到高階對應的平均變化率為36.59%、49.97%和55.05%)； 同樣幅度的密度改變引起的拉夫波相速度頻散曲線的平均相對變化較小(由低階到高階依次為3.61%、3.07%和2.13%)； 當層厚改變25%時，對模式階數(shù)越高的拉夫波相速度頻散曲線的影響越顯著，其中二階高階模式的平均變化率最大(18.76%)。

表3 模型參數(shù)改變25%時引起的1～50Hz頻段的基階、一階高階和二階高階拉夫波相速度頻散曲線的平均相對變化

參數(shù)模型基階/%一階/%二階/% 橫波速度36.5949.9755.05密度 3.613.072.13層厚 7.0714.9318.76

根據(jù)以上分析，橫波速度是影響瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線變化的最主要參數(shù)，這也是反演瑞雷波或拉夫波相速度頻散曲線可獲得橫波速度的根本原因。巖石密度改變25%導致瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的平均相對變化均小于7%；同時，縱波速度25%的改變引起的瑞雷波相速度頻散曲線的平均相對變化小于2%。在實際反演應用中，由于獲取精度大于25%的密度或縱波速度信息相對容易，因此可假定密度和縱波速度為已知。但地層層厚對面波相速度頻散曲線的影響相對較大，使得反演面波相速度頻散曲線估計層厚的可行性較強。為了減少解的非唯一性，可通過將地表以下地層細分為合理層數(shù)，使得反演過程中的層厚不再作為未知變量，則僅有橫波速度為未知。然而，瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的反演是一個高度非線性的地球物理反演問題，為了得到精確的從表層到深層乃至半空間的橫波速度，仍需深入研究多模式面波相速度頻散曲線對各層橫波速度變化的靈敏度。

利用雅可比矩陣對比分析多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對各層橫波速度改變的靈敏度[7]

(3)

式中：c是相速度；k是面波的模式階數(shù)(k=1、2、3,分別對應基階、一階高階、二階高階)。雅可比矩陣中各元素等價于第k階模式瑞雷波或拉夫波相速度在某一特定頻率fj時對第i層橫波速度的偏導數(shù)。為簡化計算，這里用有限差分代替求導，計算橫波速度改變10%引起的相速度變化以獲取偏導數(shù)。

2 水平層狀模型的面波相速度頻散曲線的靈敏度分析

2.1 速度遞增模型

以表1給出的模型N為研究對象，它是一個六層的速度遞增模型(橫波速度隨深度遞增，圖1a和圖2a)。無論是瑞雷波還是拉夫波，多模式面波相速度頻散曲線的分布形態(tài)較規(guī)則；基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線在其高頻段均趨近表層橫波速度，在其低頻段趨于半空間的橫波速度。在16Hz處，瑞雷波相速度頻散曲線呈現(xiàn)“模式接吻”(Mode-kissing)現(xiàn)象[12]，即基階與一階高階模式瑞雷波相速度的數(shù)值相近，這是由于多層模型的上覆(半空間以上)地層的等效代替層同半空間存在強的橫波速度分界面造成的[29]。

分別將模型N中各層的橫波速度增加10%，然后計算多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對應每個頻率的相速度變化，得到模型N的基階、一階高階和二階高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對各層橫波速度變化的靈敏度(圖3)。

從圖3可知，無論是瑞雷波還是拉夫波，面波相速度頻散曲線對表層橫波速度變化的靈敏頻段占據(jù)了整個高頻段； 隨著地層深度的增加，靈敏頻段變得更為狹窄，表現(xiàn)為面波相速度的高頻成分對表層橫波速度的變化靈敏，而低頻的面波相速度對深層和半空間橫波速度的變化靈敏。

基階模式瑞雷波相速度頻散曲線對除表層外的各層橫波速度的靈敏頻段(圖3a)主要集中于10～25Hz頻段，除表層外的各層靈敏度峰值均分布在18Hz附近；基階模式拉夫波相速度對除表層外的各層橫波速度的靈敏頻段(圖3b)都集中于5～20Hz頻段，且各層的靈敏度峰值分布在10Hz附近。當僅利用基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線進行反演時，能否準確地測量靈敏度峰值頻段對應的基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線是獲得準確橫波速度的關鍵；同時由于靈敏度峰值集中，在靈敏度較小的頻段內微小的數(shù)據(jù)擾動可能會影響反演的穩(wěn)定性。

圖3 模型N的多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的靈敏度分析

隨著面波模式階數(shù)的增加，高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對各層橫波速度的靈敏度峰值會向高頻方向移動。一階高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對相同地層橫波速度的高靈敏度的頻段較寬(圖3c、圖3d)，且靈敏度峰值分散；二階高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的靈敏度(圖3e、圖3f)具有相似的特點。由于高階模式面波相速度頻散曲線對橫波速度的靈敏頻段較寬，反演過程中高階模式面波相速度頻散曲線微小的擾動將不會導致反演橫波速度結果大的改變。

依據(jù)相同模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線關于同一地層橫波速度有較大靈敏度的頻段不同，可推知兩種數(shù)據(jù)能夠互為補充，因此聯(lián)合利用瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線進行反演，有助于獲得高精度的橫波速度。

2.2 低速夾層模型

建立一個六層的低速夾層模型(表4中模型L)，即將速度遞增模型(表1中模型N)的第4層改為低速層，同時該層的縱波速度(由固定泊松比δ確定)和密度也進行相應改變，而其他參數(shù)不變。圖4為低速夾層模型正演計算的多模式瑞雷波和拉夫波的相速度頻散曲線?；A模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線在其高頻段趨近表層橫波速度，而在其低頻段趨近半空間的橫波速度；在某些頻段，瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線隨頻率變化劇烈，這可能與低速層的存在有關[30]。

通過計算模型L的多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線關于各層橫波速度變化的靈敏度(圖5)，可發(fā)現(xiàn)同速度遞增模型(模型N)的瑞雷波與拉夫波的靈敏度分析結果類似，基階、一階高階和二階高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線關于相同地層橫波速度具有高靈敏度頻段的范圍不同，對表層橫波速度變化具有高靈敏度的頻段主要集中在整個高頻段；隨著深度的增加，對各層橫波速度變化的靈敏頻段趨于低頻，且更為狹窄。

表4 模型L的參數(shù)

基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對低速層(第4層)橫波速度的靈敏度最高(圖5a、圖5b)，靈敏度的最大值分別為3.79和3.29；而低速層下伏地層(第5層和半空間)橫波速度的靈敏度較低。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可解釋為，當面波傳播到低速層時，面波的大部分能量被“鎖在”其中，僅有很少的能量能夠穿透低速層下伏地層，從而導致面波相速度對低速層下伏地層的橫波速度的改變不靈敏[31]。

相對于基階模式波，高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對第1、第2和第3層橫波速度的靈敏頻段更寬(圖5c、圖5f)，因此加入高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線，有利于提高第1、第2和第3層的橫波速度的反演精度。高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對低速層橫波速度的靈敏度高，但是對低速層下伏地層橫波速度的靈敏度較低。

該結果說明低速層的橫波速度能通過面波相速度頻散曲線反演準確地確定，但低速層下伏地層的橫波速度則具有較強不確定性，需慎重對待。

圖4 模型L的多模式瑞雷波(a)和拉夫波(b)的相速度頻散曲線

圖5 模型L的多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的靈敏度分析

2.3 高速夾層模型

建立一個六層的高速夾層模型(表5中模型H)，即將速度遞增模型(表1中模型N)的第4層改為高速層，同時該層對應的縱波速度(由固定泊松比δ確定)和密度也進行相應改變，其他參數(shù)不變。

在高速夾層模型中，多模式瑞雷波相速度頻散曲線的分布形態(tài)與速度遞增模型的相似(圖6a)，出現(xiàn)“模式接吻”現(xiàn)象；而對于拉夫波，其低頻段的高階模式拉夫波相速度頻散曲線呈現(xiàn)彎折現(xiàn)象(圖6b)，該現(xiàn)象與高速層的存在有關[32]。

通過計算模型H的多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線關于各層橫波速度變化的靈敏度(圖7)，可以看出，對于不同地層的橫波速度，瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的靈敏頻段范圍不同。與速度遞增模型(模型N)和低速夾層模型(模型L)類似，面波相速度頻散曲線對表層橫波速度變化的靈敏頻段占據(jù)了整個高頻段，表現(xiàn)為高頻面波相速度對表層橫波速度靈敏，而低頻面波相速度對深層或半空間的橫波速度靈敏。

表5 模型H的參數(shù)

圖6 模型H的多模式瑞雷波(a)和拉夫波(b)的相速度頻散曲線

圖7 模型H的多模式瑞雷波(左)和拉夫波(右)相速度頻散曲線的靈敏度分析

相對于速度遞增模型(模型N)，基階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對高速層及其下伏地層橫波速度的靈敏度均很低(圖7a、圖7b)，這是因為當面波傳播到高速層界面時，大部分能量會發(fā)生反射而非向下傳播[33]，導致面波對高速層及其更深地層橫波速度的弱響應。相對于基階模式波，由于相同地層中高階模式波(圖7c、圖7f)的靈敏頻段更寬且靈敏度峰值較高，因此高階模式波的加入有利于獲得更準確的高速夾層模型的橫波速度。

比較相同模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的靈敏度，發(fā)現(xiàn)對于高速層及其下伏地層，相同模式的拉夫波比瑞雷波的靈敏度峰值更高。例如： 在高速層(第4層)中，二階高階模式瑞雷波相速度頻散曲線的靈敏度峰值為0.20，相同模式的拉夫波相速度頻散曲線的靈敏度峰值為0.56； 在高速層下伏地層(第5層)中，二階高階模式瑞雷波相速度頻散曲線的靈敏度峰值為0.48，相同模式的拉夫波相速度頻散曲線的靈敏度峰值為0.73； 考慮在面波相速度頻散曲線反演中給予這些靈敏度峰值點合適的權重，可提高高速層及其下伏地層的反演橫波速度的精度。

2.4 討論

通過前面的研究，瑞雷波和拉夫波對高速層或速度(低速、高速)異常層下伏地層的靈敏度較低，低靈敏度會增加這些地層的橫波速度反演的不確定度，因此有必要分析速度異常層對多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的影響。圖8展示了基階、一階高階、二階高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線關于速度異常層(第4層)和速度異常層下伏地層(第5層)橫波速度的靈敏度。

在低速夾層模型(模型L)中，低速層(第4層)的靈敏度峰值約為低速層下伏地層(第5層)靈敏度峰值的15倍(圖8a、圖8b)，表明多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的聯(lián)合反演較容易獲得低速層(第4層)的橫波速度。對于低速層(第4層)及其下伏地層(第5層)，相同模式拉夫波相速度頻散曲線的高靈敏度頻段比瑞雷波的更寬； 同時，一階高階和二階高階模式拉夫波相速度頻散曲線關于相同地層橫波速度的靈敏度峰值比瑞雷波高。

在高速夾層模型(模型H)中，對于高速層(第4層)及其下伏地層(第5層)，相同模式的拉夫波相速度頻散曲線的靈敏頻段低于瑞雷波的靈敏頻段，且基階和一階高階模式拉夫波相速度頻散曲線關于高速層橫波速度的靈敏度峰值高于相同模式的瑞雷波(圖8c、圖8d)，因此拉夫波更利于重建低靈敏度的高速層和速度(低速、高速)異常層下伏地層的橫波速度。

圖8 基階、一階高階、二階高階模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對速度異常層及下伏地層橫波速度的靈敏度分析

總之，相比于單一模式瑞雷波或拉夫波相速度頻散曲線，聯(lián)合反演多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線具有獲取高精度橫波速度的更大潛力。

3 結論

針對水平層狀模型，計算各模型參數(shù)(橫波速度、縱波速度、密度和層厚)改變25%時多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線的平均相對變化，模擬結果證明： 橫波速度是影響多模式面波相速度頻散曲線的最主要因素； 相對于縱波速度和密度，層厚對多模式面波相速度頻散曲線的影響較大，且隨面波模式階數(shù)增加，地層層厚的影響更顯著。

利用面波相速度關于橫波速度變化的雅可比矩陣探究多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線對速度遞增模型、低速和高速夾層模型中各層橫波速度變化的靈敏度。研究結果表明：

(1)三種模型均表現(xiàn)為面波相速度頻散曲線對橫波速度變化的靈敏頻段隨深度而變化；無論是瑞雷波還是拉夫波，多模式面波相速度頻散曲線對表層橫波速度的靈敏頻段主要集中于高頻段；與其相反，隨著深度遞增，對深層橫波速度的靈敏頻段集中于低頻且變窄。

(2)在低速夾層模型中，基階和高階模式面波均表現(xiàn)為對低速層橫波速度靈敏，然而對于低速層下伏地層的橫波速度不靈敏。

(3)在高速夾層模型中，多模式面波對高速層及其下伏地層橫波速度的靈敏度較低。

(4)相同模式拉夫波相速度頻散曲線對速度(低速和高速)異常層的高靈敏度的頻段比瑞雷波的更寬，且瑞雷波和拉夫波對速度異常層及下伏地層橫波速度的靈敏度峰值存在差異，聯(lián)合反演多模式瑞雷波和拉夫波相速度頻散曲線有利于獲得更精確的地下橫波速度。