基于MICA的聲級計頻率計權數(shù)字IIR濾波器設計

唐求，吳娟，邱偉，沈潔，滕召勝

（湖南大學 電氣與信息工程學院，湖南長沙410082）

人耳對響度相同、頻率成分不同的聲音產(chǎn)生不同的聽覺感受，為了模擬人耳的聽覺特性，需在聲級計中設計一種頻率計權網(wǎng)絡修正聲音信號，使其對不同頻率信號具有與人耳相同的靈敏度[1].因此，頻率計權是聲級計實現(xiàn)噪聲測量的一項重要計量指標[2].IEC 61672規(guī)定1級聲級計必須實現(xiàn)A、C頻率計權功能[3].

近年來，全數(shù)字式聲級計得到廣泛應用[4]，但針對聲級計頻率計權數(shù)字濾波器的設計研究較少.頻率計權數(shù)字濾波器的實現(xiàn)可以選擇無限沖激響應（IIR）數(shù)字濾波器和有限沖激響應（FIR）數(shù)字濾波器[5].對于相同的濾波精度，與FIR濾波器相比，IIR濾波器所用的階數(shù)少，存儲單元也較少[6].

由于聲級計的頻率計權算法采用嵌入式系統(tǒng)實現(xiàn)，要求計算量小，占用存儲空間少，故本文選用數(shù)字IIR濾波器設計頻率計權.其中，常用雙線性變換（Bilinear Transformation，BT）設計數(shù)字IIR濾波器[7].但雙線性變換是一種近似變換，存在固有的頻率失真[8]，導致誤差較大.為此，文獻[9]采用粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對A計權的數(shù)字IIR濾波器系數(shù)進行搜索優(yōu)化，取得了明顯成效.但PSO算法在優(yōu)化過程中容易出現(xiàn)早熟收斂而陷入局部極值點，從而得不到全局最優(yōu)解[10-11]，尤其在加噪環(huán)境下，誤差更為明顯.

帝國競爭算法（Imperialist Competitive Algorithm，ICA）在濾波器的優(yōu)化設計中，全局搜索能力和信息不依賴能力均高于其他智能優(yōu)化算法[12].但該算法在系數(shù)搜索過程中也同樣存在早熟收斂等不足，導致優(yōu)化結果存在誤差[13].據(jù)此，本文提出一種改進帝國競爭算法（Modified Imperialist Competitive Algorithm，MICA）的聲級計頻率計權數(shù)字濾波器設計方案.MICA在標準ICA算法的同化過程中添加混沌函數(shù)來增強算法的搜索可能性，引入克隆進化算子來有效引導算法向最優(yōu)解方向搜索，最終得到濾波器的最優(yōu)系數(shù).相比標準ICA，MICA具有搜索范圍廣，尋優(yōu)精度高和優(yōu)化性能好等特點.

本文針對雙線性變換法實現(xiàn)聲級計頻率計權存在的誤差，通過在ICA算法中添加混沌函數(shù)和引入克隆算子，設計MICA算法，并將MICA應用到頻率計權數(shù)字IIR濾波器設計中.仿真與實驗數(shù)據(jù)表明，在加噪環(huán)境下，不同聲信號級進行的頻率計權誤差均能維持在10-2dB數(shù)量級范圍內(nèi)，符合1級聲級計的設計要求，證明了該方法的有效性.

1 基于雙線性變換的頻率計權原理與誤差

1.1 頻率計權原理

根據(jù)IEC 61672標準給出的A、C計權計算式，可分別推導出A、C計權模擬濾波器傳遞函數(shù)分別為[2]：

子濾波器傳遞函數(shù)Hi（s）（i=1，…，4）為：

且f1=20.6 Hz，f2=107.7 Hz，f3=737.9 Hz，f4=12 194 Hz.

標準定義下的A、C計權表達式分別為：

式中：WA1000=-2.000 dB；WC1000=-0.062 dB；f為信號頻率.令z=ejwi，s=jΩi，代入雙線性變換

式中：Ts為采樣周期.模擬截止角頻率Ωi與數(shù)字截止角頻率ωi的關系為：

將式（1）（2）從s域映射到z域，利用式（6）（7），得到基于雙線性變換的A、C計權濾波器傳遞函數(shù).

式中：

基于雙線性變換的A、C計權表達式分別為：

聲級計一般采用48 kHz的采樣率[14]，頻率測量范圍為10～20 kHz.在該頻率范圍內(nèi)，根據(jù)文獻[3]給定的34個標稱參考頻率點，利用MATLAB對基于雙線性變換的A、C計權式（11）（12）進行仿真，并與標準A、C計權式（4）（5）進行對比.A、C計權仿真曲線分別如圖1和圖2所示.

圖1 A計權仿真曲線Fig.1 A-weighting simulation curves

圖2 C計權仿真曲線Fig.2 C-weighting simulation curves

從圖1和圖2中局部放大圖可清晰地觀察到，基于雙線性變換的A、C計權在大于13 kHz的高頻段都嚴重偏離了標準計權曲線，導致誤差較大.

1.2 頻率計權誤差分析

定義基于雙線性變換的A、C計權與標準計權的誤差為：

將式（4）（5）（11）（12）分別代入式（13）可得出A、C計權的誤差表達式：

式中：i=1，2，3，4.即A計權誤差為4個子濾波器HBTA1（z）～HBTA4（z）的誤差加權和，C計權誤差為子濾波器HBTC1（z）與HBTC4（z）的誤差和的2倍.基于雙線性變換A、C計權子濾波器誤差的幅頻響應曲線分別如圖3和圖4所示.圖3中EBTA123（f）為子濾波器誤差EBTA1（f）～EBTA3（f）之和.

圖3 A計權EBTA123（f）和EBTA4（f）曲線Fig.3 A-weighting curves of EBTA123（f）and EBTA4（f）

圖4 C計權EBTC1（f）和EBTC4（f）曲線Fig.4 C-weighting curves of EBTC1（f）and EBTC4（f）

由圖3和圖4可知，基于雙線性變換的A、C計權數(shù)字濾波器的誤差都主要來源于子濾波器HBT4（z）.在頻率為20 kHz處，HBT4（z）的最大誤差接近12 dB.分析式（1）（2）可知，在C計權的基礎上加上兩個一階子濾波器HBT2（z）HBT3（z）可實現(xiàn)A計權.因此，本文重點對A計權子濾波器HBT4（z）進行優(yōu)化設計，實現(xiàn)步驟及測試過程均以A計權為例.

2 基于MICA的頻率計權數(shù)字濾波器設計

2.1 改進帝國競爭算法

帝國競爭算法（ICA）是一種新型智能優(yōu)化算法[15].該方法模擬帝國與殖民地之間相互選擇與競爭，最終剩下最強的帝國，即收斂得到最優(yōu)解.但在濾波器的優(yōu)化設計中，ICA在系數(shù)搜索過程中存在早熟收斂的問題，導致尋優(yōu)結果存在誤差.

在標準ICA的帝國同化操作中，子群的每一個非理想解（殖民地）都過于直接地向子群的最優(yōu)解（帝國）方向靠近，造成搜索范圍過小、容易陷入局部最優(yōu)的問題.為增大搜索范圍，優(yōu)化搜索精度，針對頻率計權參數(shù)優(yōu)化問題，本文提出一種改進的帝國競爭算法，該方法在殖民地向帝國移動的過程中添加各種形式的混沌函數(shù)，并篩選出優(yōu)化效果最好的函數(shù)更新標準ICA的同化方程，即

式中：colold和colnew分別表示移動前后殖民地的位置；β為大于1的系數(shù)；d為殖民地與帝國之間的距離；U表示均勻分布；V1為該殖民地向帝國移動方向的一個單位向量；θ為移動的隨機角度偏移量；V2為與V1正交的隨機單位向量.

帝國競爭算法利用殖民地向帝國移動進行局部搜索，該操作體現(xiàn)的是帝國之間的信息交互，每次迭代僅僅是將最弱帝國中的最弱殖民地添加到最強帝國中，對每個帝國勢力大小影響不大.因此，針對帝國之間的交互性不足，本文引入克隆進化算子，得到MICA.下面對該算子進行描述.

第1步克隆.將當前迭代次數(shù)下的m個帝國按勢力大小降序排列，作為待克隆群體.每個帝國克隆個數(shù)NCloi與其所屬殖民地數(shù)量NColi有關，表示為：

式中：λ為克隆系數(shù).

第2步變異.根據(jù)式（19）（20），第i個帝國的克隆群體Cloi發(fā)生變異，成為變異群體Muti：

式中：ωi為變異概率，勢力越大的帝國變異概率越小；Impbest為當前迭代次數(shù)下勢力最大的帝國；n為優(yōu)化問題的維度；rand（NCloi，n）為NCloi×n維矩陣.

第3步交叉.將Muti隨機分為4組進行交叉：

第4步選擇.選擇Muti和Croi中勢力最大的k個個體取代當前最弱的k個帝國.

2.2 聲級計頻率計權的MICA優(yōu)化對象設計

由1.2節(jié)分析可知，子濾波器HBT4（z）是雙線性法設計頻率計權濾波器的誤差主要來源.利用MICA對A計權的數(shù)字濾波器系數(shù)進行搜索優(yōu)化.

根據(jù)式（8）和式（10）設計MICA優(yōu)化模型：

式中：A0為增益；a0、a1與b0、b1分別為濾波器的零點和極點.為保證設計的濾波器的穩(wěn)定性，極點的搜索范圍?。?1，1），為方便起見零點的搜索范圍取[-1，1].

增益A0由濾波器系數(shù)推導得到，即

其頻率響應為：

理想濾波器H4（s）的頻率響應為：

采用頻域均方誤差作為設計頻率計權濾波器的最優(yōu)化準則，誤差值越小則優(yōu)化效果越好.利用MICA對理想濾波器進行逼近，在34個標稱參考頻率點處，設計的濾波器幅頻響應與理想的幅頻響應均方誤差為：

利用MICA對頻率計權濾波器進行優(yōu)化設計，將式（26）作為優(yōu)化目標函數(shù)，對濾波器系數(shù)a0、a1、b0、b1搜索求解，則優(yōu)化后的濾波器傳遞函數(shù)與A計權表達式變?yōu)椋?/p>

基于MICA的頻率計權數(shù)字濾波器設計框架如圖5所示.首先初始化MICA算法，然后采用MICA算法在對目標函數(shù)進行參數(shù)迭代尋優(yōu)直到達到對應的停止條件，從而求解出目標函數(shù)的優(yōu)化參數(shù).

具體步驟為：

1）初始化帝國集團.隨機生成Npop×4維矩陣的初始位置，MICA主要參數(shù)設置為：國家數(shù)量Npop=88、帝國數(shù)量Nimp=8、殖民地數(shù)量Ncol=80、最大迭代次數(shù)Miter=800、當前迭代次數(shù)Niter=0以及數(shù)字濾波器采樣頻率fs=48 kHz.

圖5 基于MICA的聲級計頻率計權濾波器設計框架Fig.5 Flowchart for the frequency weighting filter in sound-level meter based on MICA

2）帝國同化.殖民地國家按照式（17）向所屬帝國方向移動.并重新計算殖民地的勢力，若其勢力大于所屬帝國勢力，則兩者互換位置.

3）帝國競爭.帝國的總勢力計算式為：

式中：TCi為第i個帝國的總目標函數(shù)值，其值越小，表示勢力越大；ci為該帝國的目標函數(shù)值；系數(shù)ξ為小于1的正數(shù)；后一項為該帝國擁有的殖民地目標函數(shù)均值，其中f（colj）為殖民地colj的函數(shù)值，NColi為其擁有的殖民地數(shù)量.根據(jù)式（18）～（21）通過克隆進化將勢力最強的k個帝國取代勢力最弱的k個帝國.

4）算法收斂.累積迭代次數(shù)Niter=Niter+1，當?shù)螖?shù)達到最大迭代次數(shù)Miter或者通過帝國競爭后，最弱帝國逐漸滅亡，最終只剩一個帝國集團.此時的群體為算法最優(yōu)解，搜索終止.

5）得到全局最優(yōu)位置處的Hopt（z），根據(jù)式（27）（28）求出基于MICA算法的A計權WMICA.A（f）.

2.3 仿真分析

為驗證本文提出的MICA設計聲級計頻率計權數(shù)字濾波器的有效性，利用MATLAB進行仿真生成仿真數(shù)據(jù).定義基于MICA的A計權的誤差為：

圖6為基于MICA算法的A計權誤差EOPTA（f）與基于雙線性變換的A計權誤差EBTA（f）的幅頻響應曲線，在局部放大圖中，黑色曲線放大的是從10～10 000 Hz的基于MICA的A計權誤差.由圖6可知，本文提出的MICA設計方法能有效減小雙線性變換設計頻率計權數(shù)字濾波器的誤差，且誤差范圍能控制在10-3dB的數(shù)量級范圍內(nèi).

此外，為了比較算法相比傳統(tǒng)優(yōu)化算法的性能，同時采用PSO和標準ICA算法進行了頻率計權濾波器優(yōu)化對比設計[16].算法的迭代次數(shù)均設置為800，仿真結果的誤差幅頻響應曲線如圖7所示.仿真結果表明，與PSO和ICA優(yōu)化算法相比，在相同的迭代次數(shù)下基于MICA設計的濾波器誤差更小，具有更好的優(yōu)化性能，同時證明了本文改進算法的有效性.

圖6 基于MICA的A計權誤差曲線Fig.6 Error curve of A-weighting based on MICA

圖7 A計權誤差曲線Fig.7 Error curves of A-weighting

3 實驗測試分析

為驗證所提出的改進ICA聲級計頻率計權濾波器設計方法的有效性，本文采用如圖8所示的聲級計實驗平臺進行測試.其中，信號發(fā)生單元由信號源與可變衰減器構成，利用調(diào)理電路對電信號進行調(diào)理，采用最高采樣頻率達450 kHz的16位中泰工控EM-9118B-18同步數(shù)據(jù)采集卡對電壓信號進行采集.最后，通過以太網(wǎng)TCP/IP協(xié)議傳輸方式將數(shù)據(jù)實時傳輸至PC機進行顯示和管理、以及噪聲數(shù)據(jù)的分析等.

圖8 聲級計實驗測試平臺Fig.8 Test platform for the sound-level meter

為了測試聲級計在不同信號級下的A計權特性，在輸入信號級為L={128，118，98，78}dB 4種情況下測試聲級計A計權誤差.表1給出了標稱參考頻率點處基于雙線性變換、PSO、ICA和MICA的聲級計A計權在低頻段和高頻段的測試誤差.同時，為了反映算法的抗噪性，給不同信號級聲源添加信噪比為25 dB的高斯白噪聲信號.圖9、圖10分別給出了頻率在10 Hz～20 kHz內(nèi)的34個標稱參考頻率點處基于雙線性變換與MICA的A計權測試結果曲線.

圖9 基于雙線性變換的A計權測試結果曲線Fig.9 Curves of the test result of A-weighting based on BT

A計權的測試結果分析如下：

1）由圖9可知，雙線性變換設計的A計權在4種輸入信號級處的測試誤差主要來自于低頻段和高頻段.根據(jù)2.2節(jié)所知，高頻誤差主要來源于雙線性變換法的非線性變換；低頻段的誤差來源于文獻[3]規(guī)定，當輸入為78 dB的信號時，低于12.5 Hz的信號經(jīng)過A計權后至少衰減63.4 dB，即聲級將小于14.6 dB，該輸入信號級的低頻段誤差主要受本底噪聲的影響，故本文對此未做考慮.

表1 聲級計在低頻段和高頻段的A計權測試誤差（SNR=25 dB）Tab.1 A-weighting test error of the sound-level meter in low&high frequency（SNR=25 dB）

2）由圖10可知，基于MICA的A計權在高頻處的誤差得到了極大改善.特別是表1中，在噪聲環(huán)境的影響下，MICA的測試精度均優(yōu)于PSO和ICA，且MICA的測試誤差基本能維持在10-2dB數(shù)量級范圍內(nèi)，具有良好的抗噪性，符合聲級計0.1 dB的精度設計需求.

圖10 基于MICA的A計權測試結果曲線Fig.10 Curves of the test result of A-weighting based on MICA

4 結論

本文針對雙線性變換法設計聲級計頻率計權數(shù)字濾波器時出現(xiàn)誤差較大的問題，提出了一種基于改進帝國競爭算法的聲級計頻率計權數(shù)字IIR濾波器設計方法.為避免標準ICA早熟收斂而陷入局部最優(yōu)，在同化階段加入混沌函數(shù)以及帝國競爭階段引入克隆進化算子，進一步提高算法的收斂精度.對A計權的測試結果表明，本文提出的改進ICA算法，有效改善了雙線性變換法的誤差，優(yōu)化效果明顯.且在加噪環(huán)境下，不同聲信號級的計權誤差均能維持在10-2dB數(shù)量級范圍內(nèi)，符合1級聲級計設計要求.本文提出的方法不僅適用于聲級計的頻率計權優(yōu)化設計，也適用于其他采用雙線性變換設計數(shù)字濾波器引起的頻率特性失真問題，具有較高的實際應用價值.