基于非中心分布三個結(jié)論的證明

鐘韻寧

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西桂林 541000)

0 引言

正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，在正態(tài)樣本下去構(gòu)造統(tǒng)計量得到各種統(tǒng)計推斷是很有意義的.同時，非中心分布族是常用分布族，在多元分析理論與應(yīng)用研究中得到廣泛重視，很多學(xué)者作出了重要研究，例如推導(dǎo)了非中心分布和雙非中心分布諸統(tǒng)計量的概率分布密度函數(shù)公式[1]，借助超幾何函數(shù)得到非中心卡方分布的特征函數(shù)和非中心F分布的高階矩[2]，推導(dǎo)廣義非中心卡方分布的精確表達式[3].本文基于非中心分布的三個重要結(jié)論給出了詳細的證明過程.

引理1[4](非中心Gamma分布的可加性)：若X1～Ga(α1,λ,γ1)，X2～Ga(α2,λ,γ2)，且X1和X2相互獨立，則X1+X2～Ga(α1+α2,λ,γ1+γ2).

1 結(jié)論1

證明：

FY(y)=Pr(Yy)

等式兩邊同時求導(dǎo)，得到的密度函數(shù)為

則

由引理1的非中心Gamma分布的可加性，且X1，X2，……，Xn相互獨立，所以有

得證.

引理2[4]：設(shè)X1，X2，……，Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本，則

2 結(jié)論2

設(shè)X1，X2，……，Xn1是來自N(μ,σ2)的一個樣本，Y1，Y2，……，Yn2是來自N(0,σ2)的一個樣本，且Xi與Yj相互獨立，則

證明：

則對(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)關(guān)于V積分得到U的密度函數(shù)為

所以

3 結(jié)論3

設(shè)X0～N(μ,σ2)，X1，X2，……，Xn是來自N(0,σ2)的一個樣本，且X0與Xi相互獨立，則

證明：由X0～N(μ,σ2)，有X0/σ～N(μ/σ,1)，記X=X0/σ，且

則

由

則二重積分

其中

所以

所以U的密度函數(shù)與t(n,γ)，γ=μ/σ的密度函數(shù)相同，得證.

4 結(jié)束語

本文中的三個結(jié)論對數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)很重要，通過對三個結(jié)論的證明過程詳細推導(dǎo)，對理解這三個結(jié)論和對以后構(gòu)造統(tǒng)計量得到其他分布有一定的借鑒意義.