丁 松，李若瑾，黨耀國

(1.浙江財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,浙江 杭州 310018; 2.浙江省之江青年區(qū)域經(jīng)濟與統(tǒng)籌發(fā)展研究中心, 浙江 杭州 310018；3.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院,江蘇 南京 211106)

1 引言

灰色預(yù)測理論以其在對“貧信息、小樣本”特征數(shù)據(jù)建模擁有獨特優(yōu)勢而受到眾多學(xué)者的關(guān)注。GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型是灰色預(yù)測模型體系中比較重要的兩類模型，學(xué)者從背景值[1-2]、灰導(dǎo)數(shù)[3-4]、參數(shù)優(yōu)化[5-6]、模型外推[7-8]等方面對兩類模型進行了一定的優(yōu)化與拓展，進一步提升了模型的建模效果和應(yīng)用領(lǐng)域。一般情況下，這兩種模型適用于近似灰指數(shù)率和灰飽和率的單調(diào)小樣本序列建模，對于波動性較強序列則束手無策。

GM(1,1)冪模型是GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型的延伸，因其冪指數(shù)的不確定，可以根據(jù)建模數(shù)據(jù)的特點，如飽和序列、波動序列、高速增長序列等等，借助一定的技術(shù)手段，對冪指數(shù)進行優(yōu)化求解，進而對多種特征序列具有很好的適應(yīng)性和建模有效性，因此在經(jīng)濟社會中得到較廣泛應(yīng)用。鄧聚龍教授[9]首次提出GM(1,1)冪模型，但沒有給出冪指數(shù)的求解方法；王正新等[10]針對冪指數(shù)求解問題，借助灰色系統(tǒng)信息覆蓋原理首次給出了其求解路徑，并討論了不同冪指數(shù)對應(yīng)模型的極限性質(zhì)；李軍亮等[11]在分析冪模型建立機理基礎(chǔ)上，分析了曲線圖形與冪指數(shù)及發(fā)展系數(shù)間的關(guān)系，利用粒子群算法解出冪指數(shù)，取得較好的建模效果。丁松等[12]提出多變量離散灰色冪模型，并給出其參數(shù)估計方法和構(gòu)造驅(qū)動控制的灰色冪模型。Hsu[13]分別利用遺傳算法優(yōu)化冪模型的冪指數(shù)，并將其應(yīng)用到電力載荷和集成電路產(chǎn)業(yè)預(yù)測中，取得了較好的預(yù)測效果。楊保華和趙金帥[14]提出了能夠表現(xiàn)指數(shù)型發(fā)展系統(tǒng)和冪函數(shù)型發(fā)展系統(tǒng)間相互作用關(guān)系的離散灰色冪模型，利用參數(shù)間的約束關(guān)系，構(gòu)建了離散灰色冪模型初始條件的優(yōu)化模型，并在中國網(wǎng)絡(luò)購物人數(shù)數(shù)據(jù)預(yù)測中取得較好的應(yīng)用效果。王俊芳和羅黨[15]提出了一種新的分數(shù)階離散GM(1,1)冪模型，借助正則化算法求解參數(shù)以消除模型可能存在的病態(tài)性問題。為了改善GM(1,1)冪模型的建模精度，王正新、黨耀國等還分別從冪模型的無偏性[16]、病態(tài)性[17]、自記憶性[18]、時變參數(shù)[19]等角度進行了一定的拓展研究，并且在實踐應(yīng)用中獲得了眾多學(xué)者的認可。

上述對GM(1,1)冪模型的改進均是從灰色微分方程的角度加以優(yōu)化，在一定程度上提升了模型的建模精度，但對于灰色模型求解，初始條件的選取也是影響模型精度的關(guān)鍵因素之一?？v觀以往文獻的研究可以發(fā)現(xiàn)，對于GM(1,1)冪模型初始條件的優(yōu)化研究主要分為三類，第一類：在以第一個分量x(1)(1)作為模型的初始條件[9]，該方法是傳統(tǒng)冪模型的初始條件選擇，應(yīng)用較廣泛，其不足主要是選擇距離系統(tǒng)趨勢較遠的初始序列，沒有考慮新信息的作用，對于系統(tǒng)未來發(fā)展預(yù)測可能會存在一定偏差；第二類：Dang Yaoguo等[20]基于“新信息優(yōu)先原理”，以第n個分量x(1)(n)作為初始條件，一定程度上改善了預(yù)測效果，但過度強調(diào)新信息對模型建模的影響，忽略舊數(shù)據(jù)對系統(tǒng)趨勢的修正作用；第三類：王正新等[21]以x(1)(1)和x(1)(n)線性組合，作為初始條件，通過構(gòu)建非線性約束模型對最優(yōu)組合權(quán)重進行求解。該方法一定程度上利用了最舊信息和最新信息，但其對于中間部分的有效信息沒有充分利用，對于已經(jīng)是“少數(shù)據(jù)、貧信息”的灰色系統(tǒng)建模，勢必會對有效信息未能充分提取，造成信息浪費，從而影響灰色建模效果。

因此，本文將在上述研究的基礎(chǔ)上，對GM(1,1)冪模型的初始條件進行優(yōu)化，充分利用舊數(shù)據(jù)的經(jīng)驗知識和新數(shù)據(jù)的趨勢信息，綜合考慮新舊信息間的權(quán)重分配關(guān)系，實現(xiàn)初始條件最優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，以相對誤差絕對值和為目標函數(shù)，構(gòu)建初始條件和冪指數(shù)協(xié)同優(yōu)化的GM(1,1)冪模型，利用智能算法或軟件進行參數(shù)優(yōu)化求解。最后通過對我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模預(yù)測的案例，對比GPM(1,1,x(1)(1))、GPM(1,1,x(1)(n))、GPM(1,1,β)和PIGPM(1，1,γ)四種模型的優(yōu)劣。

2 GM(1，1)冪模型及其參數(shù)求解

2.1 GM(1，1)冪模型的三種基本形式

定義1對X(0)，X(1)，Z(1)的定義如上所述，則稱灰色微分方程：

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))γ,γ≠1

(1)

為GM(1,1)冪模型。

定義2設(shè)a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，則稱

(2)

GM(1,1)冪模型的白化微分方程。

證明：略

(1)白化方程的時間響應(yīng)函數(shù)表達式為:

(3)在初始條件x(1)(t)|t=1=x(1)(1)時的時間響應(yīng)式為：

(4)

(3)在初始條件x(1)(t)|t=n=x(1)(n)時的時間響應(yīng)式為：

(5)

(4)在初始條件x(1)(t)|t=β=βx(1)(1)+(1-β)x(1)(n)時的時間響應(yīng)式為[21]：

(6)

-b/a)e-(1-γ)ak

β4

(5)當k=2,3,…,n時，還原值為

(7)

證明：略

上述為傳統(tǒng)GM(1,1)冪模型的建模機理，冪指數(shù)γ是未知的，這就使得GM(1,1)冪模型有很大的靈活性去適應(yīng)高速增長(或遞減)、飽和增長(或遞減)、波動震蕩等多種特征序列。目前，對于冪指數(shù)γ求解主要采用兩種方法：(1)利用灰色系統(tǒng)信息覆蓋思想[10]，借助一階和二階灰導(dǎo)數(shù)特性對冪指數(shù)進行求解，但該方法未以提升模型精度為依據(jù)，因此未必能獲得較好的精度；(2)借助非線性無約束優(yōu)化模型，利用LINGO、MATLAB等軟件或者智能算法(粒子群、遺傳算法等)，實現(xiàn)對冪指數(shù)的最優(yōu)化求解[11]。該方法以平均相對誤差最小化為目標，實現(xiàn)建模過程和模型檢驗標準相一致。定理2中分別給出了目前最常用的三個初始條件下GM(1,1)冪模型的表達式，分別記為GPM(1,1,x(1)(1))、GPM(1,1,x(1)(n))和GPM(1,1,β)。

2.2 GM(1，1)冪模型的的冪指數(shù)優(yōu)化

(8)

(9)

為了保證參數(shù)優(yōu)化的目標函數(shù)與模擬預(yù)測結(jié)果檢驗準則統(tǒng)一，本文以平均相對誤差最小化為目標，將冪指數(shù)γ與系統(tǒng)參數(shù)a和b之間的關(guān)系作為約束條件，建立式(10)的非線性優(yōu)化模型：

(10)

通過式(10)求解出冪指數(shù)參數(shù)后，再代入定理1求出系統(tǒng)參數(shù)a和b，進而利用定理2進行模擬和預(yù)測，實現(xiàn)冪指數(shù)最優(yōu)化的GM(1,1)冪模型構(gòu)建與應(yīng)用，記冪指數(shù)優(yōu)化GM(1,1)冪模型為GPM(1，1,γ)。

3 優(yōu)化的GM(1，1)冪模型構(gòu)建及參數(shù)求解

通過研究眾多文獻發(fā)現(xiàn)，初始條件的選擇對于灰色預(yù)測模型的精度有著重要的影響，在這部分，將提出GM(1,1)冪模型初始條件的新表達方式，并討論對初始條件及與冪指數(shù)γ的協(xié)同優(yōu)化方法，然后研究時間參數(shù)的求解路徑。

3.1 GM(1，1)冪模型初始條件優(yōu)化

實際建模過程中，GM(1,1)冪模型的模擬預(yù)測值不僅與第一個分量x(1)(1)或者第n個分量x(1)(n)有關(guān)，其應(yīng)該與X(1)的每個分量都有著密切關(guān)系。根據(jù)新信息優(yōu)先原理，新信息中包含了大量系統(tǒng)趨勢變化信息，對系統(tǒng)未來發(fā)展的認知作用大于舊信息，因而在建模時應(yīng)賦予新信息較大的權(quán)重比例。與此同時，雖然舊信息的有效性在逐漸下降，對未來系統(tǒng)行為的預(yù)測作用在減弱，但也不能完全擯棄，舊信息中還存在部分價值數(shù)據(jù)，具有一定的經(jīng)驗指導(dǎo)作用。因此，如何根據(jù)數(shù)據(jù)序列的實際意義處理新信息與舊信息間的權(quán)重分配問題以較為真實地反映權(quán)重信息在初始條件構(gòu)建中的變化規(guī)律，是提高灰色建模功效的關(guān)鍵。為了充分考慮新舊信息對預(yù)測模型的影響，本文引入權(quán)重系數(shù)λn-k(0<λ<1)，k=1,2,…,n，以X(1)的每個分量的加權(quán)和作為初始條件對GM(1,1)冪模型進行優(yōu)化，即以

(11)

為初始條件。權(quán)重系數(shù)λn-k(0<λ<1),k=1,2,…,n隨著時間由遠及近呈現(xiàn)遞減趨勢，并且其遞減速率與λ取值相關(guān)，取值越大，遞減越慢，反之越快，如示意圖1所示，該圖中取k分別取1-10，在λ的不同取值下，權(quán)重系數(shù)的變化情況描述。該系數(shù)一定程度上揭示了一階累加序列的各分量作用隨著時間的往后推移在不斷變化，比較貼近實際。權(quán)重系數(shù)的選擇主要與數(shù)據(jù)序列在現(xiàn)實意義下的遞減規(guī)律所決定，不是人為設(shè)定。從圖1中可以看出，X(1)的各個分量的權(quán)重滿足λk-1<λk-2<…<λk-n，即新信息的權(quán)重大于舊信息的權(quán)重，并且各分量的作用均被考慮到，既滿足新信息優(yōu)先原理，又充分利用各分量信息。

圖1 不同λ對應(yīng)其權(quán)重系數(shù)遞減速率變化

(12)

(2)還原值為

(13)

離散化可得時間響應(yīng)式為

定理得證。

上述模型稱為全信息初始條件優(yōu)化的GM(1,1)冪模型，記為PIGPM(1，1)( Grey Power Model Based on Perfect Information).該模型能夠更好的體現(xiàn)“新信息優(yōu)先”和“信息充分利用”原理，綜合考慮各個變量的變化規(guī)律，并將其引入到模型初始條件中，克服了GPM(1,1,x(1)(1))、GPM(1,1,x(1)(n))和GPM(1,1,β)的缺陷：分別為對新信息利用不足，過分重視新信息，忽視中間信息的作用。另外，鑒于GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型是GM(1,1)冪模型的特殊形式，對于GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型也可以采取上述初始條件優(yōu)化方法，可以進一步提升兩種模型的建模精度。

3.2 GM(1，1)冪模型的初始條件與冪指數(shù)協(xié)同優(yōu)化建模

通過上述對GM(1,1)冪模型的初始條件優(yōu)化，我們可以結(jié)合冪指數(shù)的優(yōu)化方法，對初始條件參數(shù)φ和冪指數(shù)γ一并建立優(yōu)化模型，進而實現(xiàn)初始條件和冪指數(shù)的最優(yōu)解，進一步提升GM(1,1)冪模型的精度。

(14)

通過經(jīng)典處理軟件(LINGO、MATLAB、EXCEL等)或者智能優(yōu)化算法(粒子群、遺傳算法等)可以很方便的對上述模型進行求解，得到GM(1,1)冪模型的模型參數(shù)φ,γ,a和b，稱初始條件和冪指數(shù)協(xié)同優(yōu)化的GM(1,1)冪模型為PIGPM(1，1,γ)。

4 實例分析

目前，中國經(jīng)濟發(fā)展已經(jīng)迎來“中高速增長”的新常態(tài)，進入深層次調(diào)整期，其關(guān)鍵就是新經(jīng)濟增長點的不斷涌現(xiàn)和舊增長點的逐漸淡出。在我國經(jīng)濟增長的“三駕馬車”中，消費已經(jīng)超過投資，成為中國經(jīng)濟增長的第一動力，中國經(jīng)濟的“頂梁柱”。國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，2015年我國社會消費品零售總額30.1萬億元，同比增長10.7%，消費對GDP的貢獻率從2011年的51.6%升至2015年的66.4%。與此同時，傳統(tǒng)線下零售業(yè)迎來比以往更大的挑戰(zhàn)，自2012年以來出現(xiàn)增速連續(xù)四年下降，而網(wǎng)絡(luò)消費卻爆發(fā)出強勁增長動力，尤其是手機網(wǎng)絡(luò)購物發(fā)展勢頭迅猛，成為引領(lǐng)消費市場的新增長點。2015年全國網(wǎng)絡(luò)零售交易額達到3.88萬億元，同比增長33.3%，占全社會消費品零售總額比重持續(xù)增長至12.9%。截至 2015 年 12 月，我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模達到 4.13 億，較 2014 年底增加 5183 萬，增長率為 14.3%，高于 6.1%的網(wǎng)民增速。網(wǎng)購用戶規(guī)模的快速擴張，網(wǎng)購群體主流年齡跨度增大，有向全民擴散的趨勢，為我國網(wǎng)絡(luò)消費市場的高速發(fā)展奠定良好的用戶基礎(chǔ)，釋放著巨大的市場潛力。

隨著當下我國“互聯(lián)網(wǎng)+”、“一帶一路”以及一系列有利于促進和保障我國網(wǎng)絡(luò)購物市場健康穩(wěn)定發(fā)展的戰(zhàn)略、政策的出臺，我國網(wǎng)購市場的發(fā)展遠未飽和，市場前景廣闊。根據(jù)中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心(CNNIC)發(fā)布的2013-2015年《中國網(wǎng)絡(luò)購物市場研究報告》，本文列出了2006-2015年我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模的數(shù)據(jù)，見圖2。由圖可見，我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模呈現(xiàn)快速發(fā)展的趨勢，網(wǎng)購用戶占網(wǎng)絡(luò)用戶比重不斷上升，從近三年看，網(wǎng)購用戶規(guī)模增速已經(jīng)出現(xiàn)減緩勢頭，整體具有一定的飽和性，即S型增長。因此本文提出的冪指數(shù)模型能夠較好的描述網(wǎng)購用戶規(guī)模的發(fā)展規(guī)律，進而為未來用戶增長預(yù)測提供一種有效的工具。

在建模數(shù)據(jù)選擇上，本文以2006-2012年我國網(wǎng)絡(luò)購物人數(shù)為建模數(shù)據(jù)，2013-2015年為預(yù)測對比數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)見圖2。在模型的選擇方面，本文選取目前常見的三種初始條件優(yōu)化的GM(1,1)冪模型和本文提出的基于全信息初始條件優(yōu)化的GM(1,1)冪模型，分別記為：GPM(1,1,x(1)(1))、GPM(1,1,x(1)(n))、GPM(1,1,β)和PIGPM(1，1,γ)。

圖2 2006-2015年網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模及滲透率

根據(jù)定理2中三種初始條件優(yōu)化的GM(1,1)冪模型的計算公式可得：

GPM(1,1,x(1)(1))模型：

GPM(1,1,x(1)(n))模型：

GPM(1,1,β)模型：

對于本文提出的初始條件和冪指數(shù)協(xié)同優(yōu)化PIGPM(1，1,γ)模型，參數(shù)優(yōu)化結(jié)果為：冪指數(shù)γ=0.6932，λ=0.1436，φ=7.3872，模型的預(yù)測計算公式為：

表1 4種模型的模擬值、預(yù)測值及相對誤差

圖3 四種模型模擬和預(yù)測效果對比圖

從表1和圖3中可以看出，傳統(tǒng)以x(1)(1)為初始條件的GPM(1,1,x(1)(1))模型的模擬和預(yù)測誤差最大，基本已經(jīng)失去預(yù)測價值，分別達到9.07%和20.64%，高于其他三種模型，主要是因為傳統(tǒng)模型在初始條件選取方面未考慮新信息對系統(tǒng)趨勢的影響，因此在預(yù)測時表現(xiàn)出與真實值較大的差異。對于GPM(1,1,x(1)(n))和GPM(1,1,β)模型，在引入新信息作為初始條件后，其模擬和預(yù)測精度有了一定的改善，模擬精度分別提升為8.4%和8.52%，預(yù)測精度分別提升為18.17%和17.71%，但是預(yù)測誤差還是比較大，不適合對我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模做中長期預(yù)測分析。對于本文提出的PIGPM(1，1,γ)模型，在模擬和預(yù)測兩方面均表現(xiàn)出良好的適應(yīng)性，精度分別取得了1.68%和5.30%，遠遠高于其他三種初始條件優(yōu)化的GM(1，1)冪模型，說明本文在引入權(quán)重信息控制參數(shù)優(yōu)化的初始條件具有很好的實際應(yīng)用價值，充分展示了新舊信息在網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模預(yù)測模型初始條件構(gòu)建中的變化規(guī)律，既符合了“新信息優(yōu)先原理”，又符合“信息充分利用原理”，優(yōu)化的PIGPM(1，1,γ)模型適合作為我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模的預(yù)測。

因此，基于本文提出的PIGPM(1，1,γ)的模型，對我國未來網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模進行預(yù)測。借鑒新陳代謝的思想，不斷利用新數(shù)據(jù)淘汰舊數(shù)據(jù)，本文選擇7年的數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)維度，分別預(yù)測下一年的數(shù)據(jù)，對我國2016年-2020年的網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模進行建模預(yù)測。模型參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表2，2016-2020年間每年的預(yù)測建模數(shù)據(jù)見表3，從表2和表3可以看出，對于預(yù)測我國2016-2020年網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模模型模擬結(jié)果依然保持較高的精度，平均模擬誤差維持在區(qū)間[0.69%，1.55%]，因此，利用5年的預(yù)測公式對2016-2020年我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模進行預(yù)測的可信度比較高。模型的預(yù)測計算公式為：

預(yù)測2016年網(wǎng)購用戶規(guī)模公式：

-29122.04)1.11297

預(yù)測2017年網(wǎng)購用戶規(guī)模公式：

-18798.0)1.2164

預(yù)測2018年網(wǎng)購用戶規(guī)模公式：

-35739.0)1.5714

預(yù)測2019年網(wǎng)購用戶規(guī)模公式：

-106977.0)1.0414

預(yù)測2020年網(wǎng)購用戶規(guī)模公式：

-200044.0)0.9924

表2 2016-2020年預(yù)測模型的參數(shù)優(yōu)化值

表3 我國未來網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模建模數(shù)據(jù)的模擬值

為了進一步發(fā)展網(wǎng)上購物等電子商務(wù)的發(fā)展，我國已經(jīng)從多方面展開布局，推動以拉動消費為主的經(jīng)濟發(fā)展方式。在宏觀政策上，進一步完善“互聯(lián)網(wǎng)+”頂層設(shè)計，促進互聯(lián)網(wǎng)與傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)融合，通過電子商務(wù)培育經(jīng)濟發(fā)展新動力；在發(fā)展農(nóng)村電子商務(wù)方面，推動“網(wǎng)貨下鄉(xiāng)”和“農(nóng)產(chǎn)品進城”雙向流通，從基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、人才培養(yǎng)、金融支持等多方面促進農(nóng)村電子商務(wù)發(fā)展，進一步釋放農(nóng)村居民網(wǎng)絡(luò)購物消費的發(fā)展?jié)摿?；在跨境電商方面，通過降低關(guān)稅、擴大支付限額、提高通關(guān)率等政策措施，為跨境電子商務(wù)發(fā)展提供便利，進一步規(guī)范海外網(wǎng)購發(fā)展。從見表4可以看出，在眾多利好政策的刺激下，我國未來網(wǎng)絡(luò)購物將會繼續(xù)保持快速、穩(wěn)健的的發(fā)展趨勢。根據(jù)中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心發(fā)布的最新《第43次中國互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展狀況統(tǒng)計報告》，2016-2018年間，我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模分別達到46670、53332、61011(萬人)，與表4中本文模型預(yù)測的結(jié)果相比，精度分別為6.99%、8.53%和9.79%，均小于10%，達到較好的預(yù)測效果，預(yù)計到2020年我國網(wǎng)購用戶規(guī)模將突破9億人，可見，網(wǎng)上購物在未來將會成為一種消費習(xí)慣，是網(wǎng)民常態(tài)化的購物方式。

表4 2016-2020年我國未來網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模預(yù)測值

5 結(jié)語

對于GM(1,1)冪模型，冪指數(shù)γ取值的多樣性使其能夠面向含有多種特征的序列進行預(yù)測建模，進而賦予其超越GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型更廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。然而其冪指數(shù)求解一直是困擾該模型進一步推廣應(yīng)用的瓶頸，本文借助非線性優(yōu)化方法和工具實現(xiàn)GM(1,1)冪模型的參數(shù)優(yōu)化，是一種改善模型精度的有效方法。

另外，鑒于初始條件對灰色冪模型精度的重要影響，以及新舊信息在初始條件選取方面作用的差異，本文通過設(shè)計權(quán)重系數(shù)控制函數(shù)，并結(jié)合一階累加生成序列各時點數(shù)據(jù)的實際值，構(gòu)造新型優(yōu)化的初始條件。該新型優(yōu)化的初始條件不僅能體現(xiàn)新信息優(yōu)先原理，更能表現(xiàn)新舊信息作用變化規(guī)律。與此同時，利用非線性優(yōu)化方法協(xié)同優(yōu)化初始條件和冪指數(shù)，可以顯著地提升GM(1,1)冪模型的模擬和預(yù)測精度。

最后，在對我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模預(yù)測實例中，本文提出的初始條件優(yōu)化模型取得了較好的模擬和預(yù)測效果，并結(jié)合新陳代謝思想，對2016年-2020年的網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模進行預(yù)測。通過對比常見的三種優(yōu)化模型：GPM(1,1,x(1)(1))、GPM(1,1,x(1)(n))、GPM(1,1,β)，模擬和預(yù)測結(jié)果顯示，本文模型在模擬和預(yù)測階段都能表現(xiàn)出良好的建模效果，具有很好的適用性和穩(wěn)定性。最后，采用本文優(yōu)化模型對未來2016-2020年我國網(wǎng)絡(luò)用戶規(guī)模進行預(yù)測，通過收集2016-2018年的真實數(shù)據(jù)，對比突出本文優(yōu)化模型的真實預(yù)測效果。結(jié)果顯示，本文模型在實際應(yīng)用中能高精度預(yù)測未來我國網(wǎng)絡(luò)用戶規(guī)模的動態(tài)變化，預(yù)計2020年我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模將會突破9億人，網(wǎng)上購物將會成為一種居民生活消費習(xí)慣，是網(wǎng)民常態(tài)化的購物方式。

單變量灰色冪模型因其特有的冪指數(shù)結(jié)構(gòu)而具有對多種特征序列具有較強的適用性，未來將對其多因素影響下的多變量冪模型結(jié)構(gòu)進行研究，并探討其病態(tài)性和穩(wěn)定性。