陶言

摘? ? 要：數(shù)學(xué)史作為揭示數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律的重要學(xué)習(xí)資源，在數(shù)學(xué)教育中具有特殊的教育教學(xué)意義，是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分.數(shù)學(xué)史在內(nèi)容編排與設(shè)計上，應(yīng)以學(xué)科核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)，內(nèi)容呈現(xiàn)應(yīng)多樣化且專門化，選材上要體現(xiàn)均衡發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;教科書;內(nèi)容表征;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)史作為揭示數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律的重要學(xué)習(xí)資源，在數(shù)學(xué)教育中具有特殊的教育教學(xué)意義，是數(shù)學(xué)教科書的重要組成部分.隨著素質(zhì)教育的深入，如何更好地設(shè)計數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教科書中的呈現(xiàn)方式，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，成為一項重要議題.

一、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)及應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，逐步形成的知識技能、思維品質(zhì)和價值態(tài)度，其核心的本質(zhì)是關(guān)聯(lián)與化歸[1].表象包括六個方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.其中，邏輯推理要求學(xué)生能夠在復(fù)雜問題中把握不同事物間的邏輯關(guān)聯(lián);直觀想象則要求學(xué)生提升數(shù)形結(jié)合能力，利用數(shù)與形的關(guān)聯(lián)理解和認(rèn)識事物，因此兩者主要指向關(guān)聯(lián);數(shù)學(xué)抽象要求學(xué)生能從具體情境中抽象出一般的規(guī)律，并用簡潔的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá);數(shù)學(xué)運(yùn)算則要求學(xué)生能夠借助運(yùn)算法則和方法解決數(shù)學(xué)問題，因此兩者主要指向化歸.此外，數(shù)學(xué)建模建立在數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象基礎(chǔ)之上，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，并要求學(xué)生能夠利用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題.數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)，模型求解體現(xiàn)化未知到已知的過程，因此它同時指向關(guān)聯(lián)與化歸兩種本原.類似地，數(shù)據(jù)分析以數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理為基礎(chǔ)，以構(gòu)建模型為手段，以數(shù)據(jù)為依托研究隨機(jī)現(xiàn)象.它強(qiáng)調(diào)學(xué)生對事物關(guān)聯(lián)和本質(zhì)的探索，同樣具有關(guān)聯(lián)和化歸兩種本原（見圖1）.

二、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)系

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的意義已經(jīng)得到廣泛認(rèn)同.在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和感受知識的發(fā)生發(fā)展過程，可以促進(jìn)學(xué)生關(guān)聯(lián)與化歸的發(fā)展.表象發(fā)展逐漸內(nèi)化，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的提高（見圖2）.

在數(shù)學(xué)觀念方面，數(shù)學(xué)史可以通過對知識前因后果的交代，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、定

理間的關(guān)聯(lián)，從而提高學(xué)生的化歸能力，并啟發(fā)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)展性與可拓性.例如，數(shù)系擴(kuò)充的歷史以時間為脈絡(luò)，將自然數(shù)、負(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)等概念進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而促進(jìn)學(xué)生對數(shù)系相關(guān)概念的理解，并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

在數(shù)學(xué)探究方面，數(shù)學(xué)史擁有豐富的名人故事、歷史謎題等資源.這些資源如果運(yùn)用恰當(dāng)，便可用于啟發(fā)學(xué)生的探究精神，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中將問題與知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，嘗試探索，步步化歸.例如，從劉徽的“牟合方蓋”到祖暅原理，中國古代數(shù)學(xué)家們不斷嘗試、探索、反思，最終得到球體的體積計算公式.這段歷史可以激發(fā)學(xué)生的探索精神，引導(dǎo)學(xué)生不斷在前人發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上繼續(xù)前進(jìn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.同時，“牟合方蓋”等幾何體的出現(xiàn)，也可以促進(jìn)學(xué)生直觀想象學(xué)科素養(yǎng)的提升.

在數(shù)學(xué)情境方面，數(shù)學(xué)史有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)與政治、經(jīng)濟(jì)、文化、心理等因素的密切關(guān)聯(lián)性.數(shù)學(xué)情境是政治、經(jīng)濟(jì)、文化、心理等因素對數(shù)學(xué)發(fā)展影響的綜合體現(xiàn)，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)事業(yè)、體會數(shù)學(xué)家生活的鑰匙，能夠促進(jìn)學(xué)生形成積極的數(shù)學(xué)態(tài)度.例如，《九章算術(shù)》中的“粟米”“商工”“盈不足”等篇章就密切聯(lián)系古代中國人民的實(shí)際生活，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在解決農(nóng)業(yè)、商業(yè)等現(xiàn)實(shí)問題中的重要作用，滲透了數(shù)學(xué)建模思想.

三、核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)史內(nèi)容分析

依照數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系，得到數(shù)學(xué)史內(nèi)容分析模型.模型共分為數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)情境三個維度，各維度下根據(jù)維度內(nèi)涵設(shè)有細(xì)目，具體如表1所示.

以人教版普通高中數(shù)學(xué)五冊必修教科書為研究對象，運(yùn)用“教科書數(shù)學(xué)史內(nèi)容表征分析模型”，針對數(shù)學(xué)史內(nèi)容的表征進(jìn)行分析，得到如下結(jié)果.

（一）數(shù)學(xué)史教育滲透較為薄弱

在五冊必修教科書中，數(shù)學(xué)史內(nèi)容總體平均占比為12.2%，比例較低，反映出教科書編者對數(shù)學(xué)史教育滲透較為薄弱.由于內(nèi)容主題的差異，不同必修模塊教科書的數(shù)學(xué)史內(nèi)容占比各不相同.其中必修3占比最高，內(nèi)容主要為算法初步、統(tǒng)計與概率;必修4占比最低，內(nèi)容主要為三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換.

（二）內(nèi)容維度分布不均衡，數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)情境的比例有待提高

在五冊必修教科書中，數(shù)學(xué)史在三個表征維度的比例存在較大差異.其中，“數(shù)學(xué)探究”維度的數(shù)學(xué)史內(nèi)容比例較大，平均為 56.7%;“數(shù)學(xué)情境”維度平均占比為32.6%;“數(shù)學(xué)觀念”維度占比僅為10.7%.數(shù)學(xué)史內(nèi)容的不同維度比例在五個必修模塊分布基本一致，這與當(dāng)前基礎(chǔ)教育課程改革中重視數(shù)學(xué)探究有關(guān)，編寫者較注重數(shù)學(xué)探究思想的滲透，很符合課改理念.此外，數(shù)學(xué)情境和數(shù)學(xué)觀念兩個維度占比較低，亟待提高相關(guān)內(nèi)容安排，以幫助學(xué)生全方位、系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

（三）數(shù)學(xué)觀念維度欠缺“數(shù)學(xué)模型或解釋”，數(shù)學(xué)情境維度欠缺“心理因素”

根據(jù)分析模型各維度下的細(xì)目，對五冊必修教科書進(jìn)行深入解讀與分析得到：在數(shù)學(xué)觀念維度，數(shù)學(xué)史內(nèi)容主要圍繞“數(shù)學(xué)定義與理論”和“數(shù)學(xué)概念” 兩類細(xì)目.其中，數(shù)學(xué)概念占比為25.6%，數(shù)學(xué)定義與理論占比為68.1%，而“數(shù)學(xué)模型或解釋”占比僅為6.3%;在數(shù)學(xué)探究維度上，探究過程和探究結(jié)果的占比大致相當(dāng);在數(shù)學(xué)情境維度，社會因素（包括政治因素、社會需求、公眾態(tài)度、同行影響等）占比較高，為54.7%，心理因素（包括數(shù)學(xué)家研究意圖和動機(jī)）占比較低，僅為21.8%.

四、啟示與建議

根據(jù)構(gòu)建的數(shù)學(xué)史內(nèi)容分析模型及實(shí)踐應(yīng)用所得的研究結(jié)果，對教師和學(xué)生理解教科書中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選材和設(shè)計，以及教師利用教科書組織有效教學(xué)等有一定的借鑒價值.

首先，從教科書的內(nèi)容編排與設(shè)計看，數(shù)學(xué)史在以學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，其內(nèi)容的呈現(xiàn)方式應(yīng)多樣化且專門化.這是因?yàn)橛捎跀?shù)學(xué)史內(nèi)容屬性的不同，需要進(jìn)一步提高教材編者對內(nèi)容編排和設(shè)計的水平，為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供更強(qiáng)有力的支持.如，可以開辟專欄，以有趣的小故事形式描繪數(shù)學(xué)家的生活時代背景、個人成長歷程與研究過程，以此達(dá)到促進(jìn)學(xué)生關(guān)聯(lián)和化歸能力的發(fā)展，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)提升的目的.且教科書在內(nèi)容編排與設(shè)計上應(yīng)以當(dāng)前的學(xué)科核心素養(yǎng)為主線，做好統(tǒng)籌安排.

其次，在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選材上，要體現(xiàn)均衡發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng).當(dāng)前，均衡、全面發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)是衡量教育教學(xué)質(zhì)量的重要標(biāo)準(zhǔn).從數(shù)學(xué)史的內(nèi)容來看，要保證不同維度數(shù)學(xué)史內(nèi)容的全面均衡，從而使其學(xué)科核心素養(yǎng)的六要素得到均衡而全面的發(fā)展.因此，教科書編寫者要在編寫素材上做好選擇設(shè)計，將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)真正落到實(shí)處.

再者，教師在對數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行組織教學(xué)時，應(yīng)加強(qiáng)對教科書進(jìn)行解讀，促進(jìn)自身專業(yè)發(fā)展.同時，應(yīng)將教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行拓展教學(xué)，使學(xué)生迅速且深入地理解內(nèi)容.

我們應(yīng)該意識到，學(xué)科核心素養(yǎng)的評價可以有新的思路與手段，如學(xué)科核心素養(yǎng)評價的內(nèi)容載體之一的數(shù)學(xué)史.在具體的教學(xué)中，數(shù)學(xué)史內(nèi)容不僅為教學(xué)提供了豐富的資源，而且在學(xué)科核心素養(yǎng)評價上，我們也可以以數(shù)學(xué)史為素材，在核心素養(yǎng)的構(gòu)成要素上進(jìn)行全面且系統(tǒng)的設(shè)計，以對學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行評價.

參考文獻(xiàn)：

[1]朱培培.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)引入部分的關(guān)聯(lián)與化歸——以圓的概念引入為例[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2018（4）：20-24.