譚曉慧，杜林楓，費(fèi)鎖柱，侯曉亮，馬海春

土性參數(shù)波動范圍的計(jì)算方法及影響因素

譚曉慧，杜林楓，費(fèi)鎖柱，侯曉亮，馬海春

（合肥工業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，安徽 合肥 230000）

波動范圍（Scale of Fluctuation，SOF）是表征土體空間變異性的重要參數(shù)。為了探究土性參數(shù)波動范圍的最優(yōu)化算法及影響因素，該研究通過對比分析隨機(jī)場法和地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法的異同點(diǎn)，采用控制變量法對土性參數(shù)在不同條件下計(jì)算了SOF值，探討了數(shù)據(jù)的趨勢性、擬合參數(shù)初值、擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)等因素對土性參數(shù)SOF計(jì)算結(jié)果的影響。研究結(jié)果表明：1）在利用隨機(jī)場法和地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法計(jì)算SOF時(shí)，去趨勢化可以消除數(shù)據(jù)趨勢性帶來的影響，歸一化可以減少不同初值對計(jì)算結(jié)果的影響。2）提出了一種同時(shí)適用于隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法的確定擬合參數(shù)初值及擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)的統(tǒng)一方法，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算了某工程非飽和黏土土性參數(shù)的豎直SOF，其范圍為0.14～0.62 m。研究成果可為農(nóng)田的土壤改良及農(nóng)田精細(xì)管理提供依據(jù)。

土壤；土體參數(shù)；空間變異性；波動范圍；隨機(jī)場理論；地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)；土力學(xué)

0 引 言

由于土體的成因類型、結(jié)構(gòu)構(gòu)造、地下水位、沉積條件、應(yīng)力歷史、風(fēng)化等地質(zhì)作用的差異，使得土體參數(shù)具有顯著的空間變異性[1]。隨著土體空間內(nèi)兩點(diǎn)之間距離的增加，參數(shù)的相關(guān)性逐漸減小。當(dāng)距離大于某個(gè)值之后，參數(shù)之間的相關(guān)性可以忽略不計(jì)，此距離稱作波動范圍（Scale of Fluctuation，SOF）。作為描述土性參數(shù)空間變異性的重要指標(biāo)，它對巖土工程的可靠度分析與設(shè)計(jì)具有重要影響[2]。

當(dāng)前常用的2類分析土性參數(shù)空間變異性的方法是隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法[3]。在隨機(jī)場法方面，Vanmarcke等[4]將隨機(jī)場理論引入巖土工程的可靠度分析，使用方差折減函數(shù)來表示波動范圍對土體空間異性的影響，并通過積分法求解波動范圍；閆澍旺等[5-6]提出了不同情況下方差折減函數(shù)的確定原則；張亞楠等[7]認(rèn)為通過方差折減可以合理地表征土體參數(shù)的空間變異性；蔣水華等[8]分析了不同自相關(guān)函數(shù)類型及波動范圍對邊坡可靠指標(biāo)的影響；田密等[9]使用貝葉斯方法結(jié)合隨機(jī)場法對內(nèi)摩擦角的空間變異性進(jìn)行了分析。在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方面，有學(xué)者認(rèn)為波動范圍是半變異函數(shù)()增長到基本穩(wěn)定時(shí)的滯后距[10-13]；Rezaur等[10,14-16]則通過將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法的模型轉(zhuǎn)化為隨機(jī)場法模型來計(jì)算波動范圍；徐英等[17]將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用在尺度效應(yīng)的研究中，分析了土壤水鹽的空間變異性；李建波等[18]則將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用在溫室土壤含水率與導(dǎo)熱率的空間分布及相關(guān)性研究中。

Onyejekwe等[19]以靜探數(shù)據(jù)為例，對隨機(jī)場法和地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法進(jìn)行了對比，指出采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法得到的波動范圍一般大于隨機(jī)場法。靜探數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是它在深度方向上的測試結(jié)果是連續(xù)曲線，因此在豎直方向上每隔一定間距對該曲線進(jìn)行離散化后，可以得到很多的數(shù)據(jù)點(diǎn)用于求解土體的波動范圍。但是，求解其他土性參數(shù)的波動范圍時(shí)，需要在鉆孔中取樣并進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)。由于每組試驗(yàn)需要多個(gè)環(huán)刀土樣，而每個(gè)土樣的厚度至少為2 cm，因此，即使在鉆孔中連續(xù)取樣，能夠進(jìn)行的室內(nèi)試驗(yàn)組數(shù)也相對較少[20]。此外，無論隨機(jī)場法還是地質(zhì)統(tǒng)計(jì)法，求解土體的波動范圍時(shí)均需要對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性曲線擬合，因此，試驗(yàn)個(gè)數(shù)、對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法以及曲線擬合方法等因素都會影響波動范圍的計(jì)算結(jié)果，而計(jì)算結(jié)果的不確定會影響后續(xù)可靠度分析的準(zhǔn)確性，從而對實(shí)際的生產(chǎn)實(shí)踐造成影響。

綜上所述，本文對比分析了隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的異同點(diǎn)，探討了數(shù)據(jù)的趨勢性、擬合參數(shù)初值、擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)等因素對土性參數(shù)波動范圍計(jì)算結(jié)果的影響，提出了同時(shí)適用于隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法的確定擬合參數(shù)初值及擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)的統(tǒng)一方法。在此基礎(chǔ)上，以某工程的非飽和黏土為研究對象計(jì)算分析了土性參數(shù)的波動范圍，驗(yàn)證了這一方法的可行性，為農(nóng)田土壤改良及農(nóng)田精細(xì)管理提供依據(jù)。

1 土體空間變異性分析方法

隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法是描述土體空間變異性的2種主要方法，二者分別以自相關(guān)函數(shù)（Auto-Correlation Function，ACF）及半變異函數(shù)（Semi-Variogram Function，SVF）來表征土體的空間變異性。因此，隨機(jī)場法又稱自相關(guān)函數(shù)法，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法又稱半變異函數(shù)法。

1.1 隨機(jī)場法與自相關(guān)函數(shù)（ACF）

隨機(jī)場理論的核心思想是用方差折減函數(shù)把土體的點(diǎn)變異性與空間變異性結(jié)合在一起，使土體的點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為空間平均性質(zhì)。該理論的實(shí)質(zhì)是用平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)場來模擬土體參數(shù)在空間上的變異性。因此，隨機(jī)場理論要求土體參數(shù)在數(shù)學(xué)意義上符合平穩(wěn)隨機(jī)場的條件。平穩(wěn)隨機(jī)場是指隨機(jī)場圍繞某一均值連續(xù)地發(fā)生波動；在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)場的均值及方差為常數(shù)，且協(xié)方差函數(shù)僅與兩點(diǎn)間的距離有關(guān)。

設(shè)土性參數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)場為{(),?}，其中，表示土性參數(shù)，它是空間位置的函數(shù)，是空間范圍（距離）。記隨機(jī)場的均值為，方差為2，即E(())=，Var(())=2，可以推得方差折減函數(shù)2()的表達(dá)式如下：[21]

式中σ2是隨機(jī)場在空間上的平均方差；2是隨機(jī)場的點(diǎn)方差，即0時(shí)的方差；是滯后矩(=0～)；()是點(diǎn)()與()的自相關(guān)函數(shù)，它是協(xié)方差函數(shù)()與點(diǎn)方差的比值，即

波動范圍（SOF，符號記為）的計(jì)算公式如下：[5,21]

文獻(xiàn)中亦常采用自相關(guān)距離（Auto-Correlation Distance，ACD）或自相關(guān)長度來表示土性的空間變異性[22-24]。巖土工程中常用的自相關(guān)函數(shù)模型及其對應(yīng)的波動范圍與自相關(guān)距離見表1[14-16,19,25-26]。表1中，模型對應(yīng)的SOF值可以由式（3）積分求得，各模型對應(yīng)的ACD值即為模型參數(shù)值。由表1知，除了余弦指數(shù)型ACF，其他模型的SOF與ACD值均有較大差別，但很多文獻(xiàn)在使用SOF與ACD時(shí)并未嚴(yán)格區(qū)別這二者的關(guān)系[16,22,26]。

表1 常用自相關(guān)函數(shù)模型的波動范圍和自相關(guān)距離

注：為滯后距，為擬合參數(shù)，(h)為自相關(guān)函數(shù)。

Note:is the hysteresis distance, andis the fitting parameter,(h) is the auto-correlation function.

1.2 地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法與半變異函數(shù)（SVF）

空間巖土參數(shù)值的隨機(jī)性是一種固有的隨機(jī)性，它包含在巖土參數(shù)的整體空間結(jié)構(gòu)之中，是結(jié)構(gòu)與隨機(jī)性的統(tǒng)一體。而地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是以區(qū)域化變量為基礎(chǔ)，借助于半變異函數(shù)（SVF）研究既具有隨機(jī)性又具有結(jié)構(gòu)性的自然現(xiàn)象的一種方法。與隨機(jī)場理論相同，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論也要求研究對象具有平穩(wěn)性與正態(tài)性。

地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法采用半變異函數(shù)()來表示參數(shù)的空間變異性[6,19,27-29]。半變異函數(shù)是區(qū)域化變量在點(diǎn)處的值()與點(diǎn)處的值()之差的方差的一半，即

根據(jù)方差的計(jì)算公式及二階平穩(wěn)性假設(shè)，可得

將上式的平方項(xiàng)展開后，進(jìn)一步可以求得

參考式（2），上式可改寫為

可見，平穩(wěn)隨機(jī)過程()的自相關(guān)函數(shù)()與歸一化后的半變異函數(shù)()/2之和為常數(shù)1。()隨著的增大而減小，即隨著距離的增大兩點(diǎn)間相關(guān)性減??；()隨著的增大而增大，即隨著距離的增大兩點(diǎn)間離散性增加。因此，隨機(jī)場理論中的自相關(guān)函數(shù)與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的半變異函數(shù)是采用不同的方法來表示研究對象的變異性，二者本質(zhì)相同。

與ACF相似，SVF亦可用某種理論函數(shù)模型來表示。常用的SVF模型見表2，表中0為塊金方差，s為結(jié)構(gòu)方差；0+s為總方差。

表2 常用半變異函數(shù)模型的波動范圍

注：=s/(0+s)，()為半變異函數(shù)，0為塊金方差，s為結(jié)構(gòu)方差，M1、M2和M3為3種使用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法求解波動范圍的方法。

Note:=s/(0+s),() is the semi-variogram function,0is the nugget variance,sis the structural variance, and M1, M2 and M3 are 3 methods to solve the scale of fluctuation using geostatistical methods.

在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)方法中常采用變程（亦稱有效變程或相關(guān)程）來表示區(qū)域化變量的相關(guān)范圍[6,19,27-29]。在變程之內(nèi)，區(qū)域化變量具有空間相關(guān)性；在變程之外，區(qū)域變量不再相關(guān)。因此，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的變程等同于隨機(jī)場理論中的波動范圍[19]。本文后續(xù)的分析中統(tǒng)稱變程為波動范圍。

在采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法求解SOF時(shí)，文獻(xiàn)中存在多種方法，本文將其歸納為M1、M2及M3這3種方法，其具體內(nèi)容及對應(yīng)的推導(dǎo)過程如下。

1.2.1 M1法

1.2.2 M2法

該方法先根據(jù)SVF與ACF的關(guān)系（式（7））將SVF模型轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的ACF模型，再由ACF的積分求解公式（式（3））來求解SOF[27,29]。

由于距離→∞時(shí)，由式（7）知()=0，()=2；而由表2的SVF模型表達(dá)式可得當(dāng)→∞時(shí)，()=0+s。因此，0+s=2。將該式代入式（7），可得

由上式可以求得表2中3種SVF模型對應(yīng)的ACF的具體表達(dá)式[29]。在此基礎(chǔ)上，可由式（3）求得對應(yīng)的波動范圍。因此，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法中的M2法與隨機(jī)場法具有一一對應(yīng)的關(guān)系。由M2法得到的SOF與SVF擬合參數(shù)的關(guān)系參見表2。

1.2.3 M3法

文獻(xiàn)[6,19,28]采用M3法求解SOF。由表2可知M3法是M2法中取0= 0的特例。

對比表2中3種求解SOF的方法可知，當(dāng)0≠ 0時(shí)，3種方法求解的SOF值各不相同。由于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法中的M2法與隨機(jī)場法具有模型上的對應(yīng)關(guān)系，因此，本文后續(xù)計(jì)算中如無特別說明，均采用M2法來求解土性參數(shù)的SOF值。

1.3 波動范圍的計(jì)算

由上述分析可知，為了求解參數(shù)的SOF，應(yīng)先對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，求得曲線擬合參數(shù)，再根據(jù)表1～表2中SOF與曲線擬合參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系求解SOF，具體過程如下。

1）基于土性參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)求解ACF或SVF的估算值。對于具有個(gè)樣本的空間隨機(jī)過程()，由式（2）及式（5）可以得到ACF及SVF的估算值。其計(jì)算公式如下

式中(t)表示t處的土性參數(shù)值；h表示點(diǎn)t與t之間的距離；= 0, 1, 2, …,。理論上，的最大值可取?1。但由式（9）及式（10）知，隨著的增加，參與求和計(jì)算的數(shù)據(jù)對個(gè)數(shù)(?)逐漸減少，這將導(dǎo)致函數(shù)()或()估算值的計(jì)算誤差隨著或的增加而增加。因此，一般只取函數(shù)()或()的初始部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行()～或()～曲線擬合。

2）采用上文提到的各種ACF或SVF模型對()～或()～數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性曲線擬合，求得模型擬合參數(shù)。本文采用科學(xué)計(jì)算語言Matlab中的lsqcurvefit函數(shù)來進(jìn)行非線性曲線擬合。需要指出的是，常用的SVF擬合模型中有3個(gè)參數(shù)（0、s及），但由于0+s=2，因此，可取s=2?0，視0及為參數(shù)進(jìn)行SVF參數(shù)曲線擬合。若對SVF模型進(jìn)行3參數(shù)曲線擬合，將會導(dǎo)致錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。

3）根據(jù)表1及表2列出的各模型SOF與擬合參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系求解相應(yīng)的SOF值。

2 土性參數(shù)SOF影響因素分析

2.1 試驗(yàn)方法

求解土性參數(shù)的SOF值需要以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進(jìn)行曲線擬合，因此本文分別以安徽省合肥市望江臺小區(qū)施工工地觸探試驗(yàn)（Cone Penetration Test，CPT）鉆孔的試驗(yàn)數(shù)據(jù)及室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果為例來分析土性參數(shù)SOF的影響因素。該工地土質(zhì)較為單一，主要土層為黃褐色非飽和黏土，地下水位離地表約15 m。

土體的空間變異性分為豎向變異性與水平變異性，求解土體豎向SOF與水平SOF的不同點(diǎn)主要在于試驗(yàn)樣本點(diǎn)的位置，本次只針對土體的豎向變異性進(jìn)行分析。具體取樣方式為分別在該場地3個(gè)鉆孔中從地表下2 m處向下連續(xù)采取原狀土樣，再將土樣分為等長的15段，每段土樣長0.2 m。算例1：由該工地1個(gè)鉆孔CPT試驗(yàn)得到錐尖阻力c與深度的關(guān)系（圖1a），該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)1= 98，取樣間距Δ1= 0.1m。算例2：該工地1個(gè)鉆孔中非飽和土樣的飽和體積含水率s與深度的關(guān)系，該組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)2= 15，取樣間距Δ2= 0.2 m（圖1b）。算例1與2分別代表試驗(yàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較多及較少的2種典型情況。這兩個(gè)算例的數(shù)據(jù)來源不同，因此深度范圍存在區(qū)別。

注：空心小圓圈代表原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，虛線代表試驗(yàn)數(shù)據(jù)的趨勢分量。

由于求解SOF需要對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，下面分別分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)的趨勢性、擬合參數(shù)初值、擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)等因素對SOF計(jì)算值的影響。在分析某種影響因素時(shí)，如無特別說明，其他影響因素取以下所示的基準(zhǔn)值：1）對數(shù)據(jù)進(jìn)行去趨勢化處理；2）SOF的擬合初值取0.5m；3）對SVF數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理；4）擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)取=/2。

2.2 數(shù)據(jù)趨勢性對SOF的影響

由圖1知，算例1中數(shù)據(jù)c的趨勢分量隨著深度的增加而呈現(xiàn)線性增大的趨勢，算例2中數(shù)據(jù)s的趨勢分量則與深度無明顯關(guān)系，這與文獻(xiàn)[30]關(guān)于CPT試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有趨勢性而實(shí)驗(yàn)室物理性質(zhì)指標(biāo)數(shù)據(jù)無趨勢性的結(jié)論一致。為了研究數(shù)據(jù)的趨勢性對SOF計(jì)算值的影響，分別對未去趨勢化及去趨勢化后的數(shù)據(jù)求解SOF。數(shù)據(jù)去趨勢化的方法是：采用線性函數(shù)擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)與深度的關(guān)系，得到原始數(shù)據(jù)的趨勢分量，再將原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)減去相應(yīng)的趨勢分量，即可得到去趨勢化后的數(shù)據(jù)。通過數(shù)據(jù)去趨勢化，可將原始隨機(jī)場轉(zhuǎn)變?yōu)榱憔档钠椒€(wěn)隨機(jī)場。

數(shù)據(jù)去趨勢化對SOF的影響結(jié)果見圖2～圖3，圖中SVF數(shù)據(jù)未歸一化。圖2的縱坐標(biāo)為ACF或SVF的估算值（()～或()～），橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離（）。由于算例1的試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有趨勢性，因此數(shù)據(jù)是否去趨勢化對各種ACF及SVF模型的擬合結(jié)果均具有明顯的影響。但是對于算例2，其原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)與深度無明顯趨勢性，所以去趨勢化對各ACF及SVF模型的擬合結(jié)果沒有影響（圖3）。后續(xù)計(jì)算為統(tǒng)一起見，均先對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行去趨勢化處理，再求解參數(shù)的SOF。

注：ACF為自相關(guān)函數(shù)，SVF為半變異函數(shù)，橫坐標(biāo)“距離”指土體空間內(nèi)兩點(diǎn)距離。下同。

注：相比圖b和圖c，圖d為進(jìn)行了數(shù)據(jù)歸一化處理后的結(jié)果。在圖a和圖d中，δ0 = 0.5 m及δ0 = 1.0 m的圖形相同（δ0為SOF的初值）。

2.3 擬合參數(shù)初值對SOF的影響

2.3.1 擬合參數(shù)初值的選取

表1及表2顯示的常用ACF或SVF模型均為非線性函數(shù)，而非線性曲線擬合的結(jié)果與擬合參數(shù)的初值有關(guān)。為了準(zhǔn)確求得SOF的計(jì)算值，應(yīng)盡可能合理地給定函數(shù)擬合的初值。

對于隨機(jī)場法，表1中常用ACF只有1個(gè)擬合參數(shù)，它與SOF值有對應(yīng)關(guān)系。因此，本文先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定SOF的初值0，再由表1中SOF的計(jì)算式反求各種ACF的擬合參數(shù)的初值（見表3）。

對于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法，表2中常用SVF有2個(gè)獨(dú)立的擬合參數(shù)（0及），其中與SOF值有對應(yīng)關(guān)系。由于M3法與ACF法有直接的對應(yīng)關(guān)系且其SOF與0無關(guān)，因此，假定SOF的初值0之后，可根據(jù)表2中M3法的SOF計(jì)算式求得3種SVF的擬合參數(shù)的初值（見表3）。一般地，塊金方差0較小，結(jié)構(gòu)方差s較大。所以，為了具有普適性，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在曲線擬合時(shí)假定0= 0.1max，其中max表示參與曲線擬合的()估算值的最大值。

2.3.2 擬合結(jié)果

土體的豎直SOF一般較小，其常見范圍是0.2～3.0 m[19,31]。為分析擬合參數(shù)初值對SOF計(jì)算值的影響，于常見范圍中分別取SOF的初值0為0.5和1.0 m。

對于算例1，0= 0.5及1.0 m對應(yīng)的擬合結(jié)果相同，ACF和SVF的擬合結(jié)果分別對應(yīng)圖2b 和圖2d，這表明當(dāng)擬合參數(shù)的初值變化不大時(shí)，參數(shù)初值對SOF的計(jì)算結(jié)果無影響。對于算例2，2種擬合參數(shù)初值對應(yīng)的擬合結(jié)果見圖3?？梢?，2種擬合參數(shù)初值（0= 0.5及1.0 m）對ACF的擬合結(jié)果無影響（圖3a），但對SVF的擬合結(jié)果有明顯影響（圖3b及圖3c）。

表3 擬合參數(shù)初值

注：max為參與曲線擬合的()估算值的最大值。

Note:maxis the maximum value of the estimated value of() involved in the curve fitting.

對比分析圖3a、圖3b及圖3c的縱坐標(biāo)可知，ACF與SVF的縱坐標(biāo)范圍值相差3個(gè)數(shù)量級。ACF的變化范圍為0～1，但SVF的變化范圍則為(0～1) ×10-3，該數(shù)值非常小，因此擬合參數(shù)初值的較小變化就可能導(dǎo)致擬合結(jié)果出現(xiàn)較大變化。相反，算例1中ACF與SVF的縱坐標(biāo)范圍值相差很?。▓D2），擬合參數(shù)初值的較小變化不會導(dǎo)致擬合結(jié)果出現(xiàn)較大變化。

結(jié)合式（7）可知，歸一化后的SVF（即()/2）的變化范圍為0～1。因此，為了減少擬合參數(shù)初值對SOF計(jì)算值的影響，本文提出如下的改進(jìn)計(jì)算方法：先對SVF數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，再對歸一化后 SVF值進(jìn)行曲線擬合。此時(shí)，2種擬合初值對應(yīng)的SVF擬合結(jié)果相同（見圖3d）。后續(xù)計(jì)算中，均先對SVF估算值進(jìn)行歸一化處理，再進(jìn)行SVF函數(shù)擬合。

2.4 擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)對SOF的影響

由ACF及SVF的估算公式（式（9）及式（10））可知，隨著距離的增加，參與求和計(jì)算的數(shù)據(jù)對個(gè)數(shù)(?)逐漸減少，因此ACF及SVF估算值的計(jì)算誤差隨著的增加而增加。在進(jìn)行曲線擬合時(shí)，應(yīng)剔除這些誤差大的數(shù)據(jù)點(diǎn)對計(jì)算結(jié)果的影響。

記參與曲線擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)分別為= 0, 1, 2, …,。其中，= 0表示2點(diǎn)之間的距離為0，=表示除去第0點(diǎn)后擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值。文獻(xiàn)中主要采用以下幾種方法來確定擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)：取=/2[19]，=/4[6,16]及=/10[29]。由圖2～圖3可知，隨著距離的增加，理論ACF的值由1減小為0，歸一化理論SVF的值由0/2增加為1。因此，本文提出只對曲線初始段()≥0或() ≤1的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合。各種方法的擬合結(jié)果見表4～表5，表中a行對應(yīng)的數(shù)據(jù)代表本文方法的結(jié)果。

由表4及表5可見，擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)對擬合相關(guān)系數(shù)2的影響較大，而對SOF的計(jì)算值則影響較小。

由于原始數(shù)據(jù)來源不同，多種取擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法產(chǎn)生了不同的結(jié)果。對于算例1（試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多），本文方法與=/10對應(yīng)的2及SOF較為一致，這2種方法的2明顯大于/2及/4。對于算例2（試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)較少），/2對應(yīng)的2和SOF明顯小于其他3種方法；對于多數(shù)擬合模型，本文方法與/4對應(yīng)的2及SOF值較為一致。這體現(xiàn)了當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多時(shí)，取大量擬合點(diǎn)會引入誤差較大的部分?jǐn)?shù)據(jù)，而當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較少時(shí)，取=/10會造成只對極少的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，從而失去實(shí)際意義。

表4 擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)對擬合相關(guān)系數(shù)及SOF的影響（算例1）

注：代表全部的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，代表參與擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，a代表本文方法的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

Note:represents the number of all data points,represents the number of data points participating in the fitting, andarepresents the number of data points of the method presented in this paper.

表5 擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)對擬合相關(guān)系數(shù)及SOF的影響（算例2）

上述2個(gè)典型算例的對比分析表明，當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí)，取/10較為合理；當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)較少時(shí)，取/4較為合理。而本文方法則可同時(shí)適用于這2個(gè)典型算例。因此，本文的方法具有更廣泛的適用性。

2.5 求解SOF的計(jì)算條件

通過本節(jié)的影響因素分析，確定求解SOF的計(jì)算條件為：1）對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行去趨勢化處理，從而消去數(shù)據(jù)的趨勢性對計(jì)算結(jié)果的影響；2）對SVF數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，以便消去數(shù)值的數(shù)量級差距對SVF數(shù)據(jù)的影響；3）只對曲線初始段()≥0或()≤1的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合。

3 兩類方法波動范圍的對比分析

在第2節(jié)確定的SOF計(jì)算條件下，可求得表1及表2中各種模型對應(yīng)的SOF值。由于常用的ACF及SVF模型都含有單指數(shù)型（Single Exponential，SNX）及平方指數(shù)型（Squared Exponential，SQX），下面以這2種模型為例進(jìn)行SOF的對比分析。2個(gè)算例的SOF值及曲線擬合決定系數(shù)2見表6。

由表6可見，2個(gè)算例SNX模型對應(yīng)的SOF均大于SQX模型。對于SNX模型，SVF-M1方法的SOF明顯大于其他3種方法，而其他3種方法的SOF在算例1中幾乎相等，算例2中ACF方法的SOF明顯小于其他3種方法；對于SQX模型，算例1中各種方法的SOF基本相等，算例2中，3種SVF方法的SOF均大于ACF方法。

表6 SOF和擬合相關(guān)系數(shù)的對比分析

算例1中SNX模型的2均小于SQX模型，而算例2中的規(guī)律恰好相反。

2個(gè)算例的對比分析表明：1）對于同一種擬合模型，ACF與SVF的SOF沒有固定的相對大小關(guān)系；2）土性參數(shù)的SOF值與計(jì)算方法及擬合模型有關(guān)；3）不同的擬合模型適用于不同的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，沒有一種擬合模型始終優(yōu)于另一種擬合模型。

4 非飽和土性質(zhì)參數(shù)的波動范圍

4.1 試驗(yàn)土樣土性參數(shù)

對2.1節(jié)中工地所取的土樣進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)，測定非飽和土樣的基本物理性質(zhì)指標(biāo)及土水特征指標(biāo)。其中，基本物理性質(zhì)指標(biāo)包括含水率、密度及顆粒相對密度s，土水特征指標(biāo)指土水特征曲線（Soil-Water Characteristic Curve，SWCC）的擬合參數(shù)。本文采用van Genuchten模型[32]來表示SWCC，其擬合參數(shù)為VG、VG及飽和體積含水率s，以1#鉆孔為例，土性參數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表7。

表7 土性參數(shù)試驗(yàn)結(jié)果（1#）

4.2 土性參數(shù)的波動范圍

在2.5節(jié)總結(jié)的計(jì)算條件下，對3個(gè)鉆孔的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可得出土體各參數(shù)的波動范圍。以SNX及SQX模型為例，ACF及SVF這2類方法對應(yīng)3個(gè)鉆孔各指標(biāo)SOF的均值見表8（此處的均值是指對3個(gè)鉆孔中同一指標(biāo)的SOF取平均值）。

表8 土性參數(shù)的波動范圍（SOF）

由表8可見，合肥地區(qū)非飽和黏土豎直方向上的SOF范圍處于0.14～0.62 m，并且對于同一種計(jì)算方法及函數(shù)模型，土體各性質(zhì)參數(shù)的SOF的變化范圍無明顯區(qū)別。但是，采用隨機(jī)場法即ACF求得的土體SOF略小于采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法即SVF求得的相應(yīng)值。例如，對于ACF法，采用SNX及SQX模型得到的土體SOF值分別為0.15～0.51 m及0.14～0.45 m，二者的范圍大致相同；對于SVF法，采用SNX及SQX模型得到的土體SOF值分別為0.19～0.62 m及0.24～0.61 m，二者的范圍亦大致相同，但它們略大于隨機(jī)場法（ACF）的SOF值。

5 結(jié) 論

本文對比分析了求解土性參數(shù)波動范圍（Scale of Fluctuation， SOF）的隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法，探討了數(shù)據(jù)趨勢性、曲線擬合參數(shù)初值及擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)等因素對波動范圍計(jì)算結(jié)果的影響，并計(jì)算了某工程場地非飽和黏土性質(zhì)參數(shù)的波動范圍。主要結(jié)論如下：

1）隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法分別采用不同的理論來研究土性參數(shù)的空間變異性。由于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法中的M2方法是將SVF（Semi-Variogram Function，半變異函數(shù)）模型轉(zhuǎn)換為ACF（Auto-Correlation Function，自相關(guān)函數(shù)）模型，2種方法計(jì)算得到的波動范圍有一一對應(yīng)關(guān)系。

2）在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法中對半變異函數(shù)進(jìn)行曲線擬合時(shí)，應(yīng)先對SVF估算值進(jìn)行歸一化處理，這樣可以減少曲線擬合參數(shù)的初值對計(jì)算結(jié)果的影響。

3）提出了確定曲線擬合參數(shù)初值及擬合點(diǎn)個(gè)數(shù)的統(tǒng)一方法，該方法可同時(shí)適用于隨機(jī)場法與地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法。

4）以某工程的非飽和黏土為研究對象，在試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上使用ACF法和SVF法求得了土體物理性質(zhì)參數(shù)及水力參數(shù)的豎向波動范圍，結(jié)果表明：土體各性質(zhì)參數(shù)的SOF無明顯區(qū)別；采用隨機(jī)場法求得的土體SOF略小于采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)法。

5）合肥地區(qū)非飽和黏土豎直方向上的SOF范圍處于0.14～0.62 m。

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Calculation method and influence factors for fluctuation scale of soil parameters

Tan Xiaohui, Du Linfeng, Fei Suozhu, Hou Xiaoliang, Ma Haichun

(,230000,)

Soil properties vary randomly from location to location, due mainly to different genetic types, geologic structures, depositional conditions, stress history, and weathering conditions. Serving as a key parameter to describe the spatial variability, the Scale of Fluctuation (SOF) can be defined as the minimum distance within which a signi?cant correlation exists among soil properties. Specifically, the spatial fluctuation of soil parameter decreases with the increase of the SOF. The SOFs of soil properties is also critical to the reliability analysis on geotechnical structures. The random field and geostatistical methods are commonly used to calculate the SOF of soil properties. In this study, a theoretical derivation was conducted to comparatively analyze the Auto-Correlation Function (ACF) in the random field method, the Semi-variance Function (SVF) in the geo-statistical method, and the corresponding SOFs. Two typical cases (one has many test data, and another has very limited test data) were selected to explore the influences of the trend in the test data, the initial values of curve fitting parameters, and the number of fitting data, on the calculated SOFs for the random field and geo-statistical method. The results demonstrated that the random field and geo-statistical method were essentially the same, and a clear one-to-one relationship was found in the ACF of random field method, and the SVF of M2 method in the geo-statistics method. It infers that the test datum can be detrended before they were used for calculating the SOFs. Prior to the curve fitting for the SOFs of soil properties, the estimated SVF can firstly be normalized. A unified approach was also proposed to determine the initial values of curve fitting in the random field and geo-statistical method, particularly from the experience values of SOFs for soil properties. The optimum number of fitting data was determined for the ACF and the SVF. In calculating the SOFs of soil parameters, it needed to consider only the first several estimated ACFs greater than or equal to zero, and that of SVFs less than or equal to one. In calculating the vertical SOFs of soil parameters, several laboratory tests were conducted for an unsaturated clay, where soil samples were vertically taken from three bore holes. Three physical parameters (water content, density, and specific density of soil particles), three fitting parameters (,ands) of Soil Water Characteristic Curve (SWCC) in the van Genuchten model, , and then the SOFs of all these soil parameters were calculated using the random field and geo-statistical method. The values of SOF for these soil properties of unsaturated clay were 0.14-0.51 m in the random field method, and 0.19-0.62 m in the geo-statistical method, indicating that the calculated SOFs from the random field method were a relatively smaller than those from the geo-statistical method.

soils; soil parameters; spatial variability; scale of fluctuation; random field theory; geostatistics; soil mechanics

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2020-09-21

2020-12-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41972278）

譚曉慧，博士，教授，主要從事巖土工程的可靠度分析與概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方面的研究。Email：tantan9666@126.com

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.24.011

TU43

A

1002-6819(2020)-24-0091-08