劉長太, 徐 靜, 徐輝軍
(1- 揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,揚(yáng)州 225127; 2- 貴州民族大學(xué)理學(xué)院,貴陽 550025)
非奇異H 矩陣在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和控制論等諸多領(lǐng)域都有著非常重要的應(yīng)用價值[1].設(shè)矩陣
滿足 B = sI ? A ≥ 0 和 s > ρ(B),則稱矩陣 A 為非奇異 M 矩陣.如果 A = (aij) ∈Mn(C)的比較矩陣是非奇異M 矩陣,則稱矩陣A 為非奇異H 矩陣,記作A ∈.
如果矩陣A=(aij)∈Mn(C)的每一行皆為嚴(yán)格對角占優(yōu)的,則稱矩陣A 為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,記作A ∈D;若存在正對角陣X,使得AX ∈D,則稱A 為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣等價于非奇異H 矩陣[1].
設(shè)矩陣A=(aij)∈Mn(C),并且記
若對任意的 i ∈ ?n? = {1,2,··· ,n},有 |aii| > Ri(A),則稱矩陣 A 為 Nekrasov 矩陣;若存在正對角陣X,使得AX 為Nekrasov 矩陣,則稱A 為廣義Nekrasov 矩陣[2].廣義Nekrasov 矩陣等價于廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣[2].
非奇異H 矩陣和廣義Nekrasov 矩陣以及廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣皆記作A ∈ D.用迭代法求解大型稀疏線性方程組時,為了迭代收斂,常常要求迭代矩陣是非奇異H 矩陣,因此非奇異H 矩陣的充分條件為研究者所一直關(guān)注的課題,許多學(xué)者進(jìn)行了深入而透徹的研究,給出了許多簡捷實(shí)用的充分條件[2-8].
設(shè)A=(aij)∈Mn(C).記
下面的結(jié)論和引理與本文的討論是相關(guān)的:
1) 廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的每一個對角元皆不為零[3];
2) 矩陣A = (aij) ∈Mn(C)每一個對角元皆不為零,記α = {i|Λi(A) > 0},則矩陣A 為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣等價于矩陣A[α]為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣[3];
引理1若A 為不可約對角占優(yōu)矩陣,則A 為非奇異H 矩陣[3].
引理2若A 為非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣,則A 為非奇異H 矩陣[3].
引理3若A 為非奇異H 矩陣,P 為任意置換矩陣,則PTAP 為非奇異H 矩陣[9].
因此,我們假定所討論的矩陣 A 首先滿足:對任意的 i ∈ ?n?|aii|Λi(A)>0 和 ?n4??.另一方面,本文中定理的條件主要是針對i ∈ ?n1?的,故還總假定:?n1??.規(guī)定∑t∈?|ait|=0.為了改進(jìn)和推廣文獻(xiàn)[3],先回顧其主要結(jié)論:
定理A設(shè)A=(aij)∈Mn(C).若對任意的i ∈?n1?,有
對任意的 i ∈ ?n2?,有
對任意的 i ∈ ?n3?,有
為了改進(jìn)和推廣上述結(jié)論,取k 為正整數(shù),并且引進(jìn)下列記號:
進(jìn)一步地,令
定理1設(shè)A=(aij)∈Mn(C).若存在k ≥1,使得矩陣A 滿足下列條件:
1) 對任意的 i ∈ ?n1?,有
2) 對任意的 i ∈ ?n2?,有
3) 對任意的 i ∈ ?n3?,有
證明 易得0 ≤r <1.
易得
再由定理的條件可知,存在充分小的ε>0,使得下列結(jié)論皆成立:
1) 對任意的 i ∈ ?n1?,有
2) 對任意的 i ∈ ?n2?,有
3) 對任意的 i ∈ ?n4?,有
構(gòu)造正對角矩陣 Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn),其中
令B =( bij)=AY ,則bij=aijyj(i,j ∈ ?n?).
對任意的 i ∈ ?n1?,有
對任意的 i ∈ ?n2?,有
對任意的 i ∈ ?n3?,有
對任意的i ∈ ?n4?且k =1,有
對任意的i ∈ ?n4?且k =2,有
對任意的i ∈ ?n4?且k ≥ 3,有
注1對任意的i ∈ ?n4?,有故文獻(xiàn)[3]的定理1 就是本文定理1 在k = 1 時的情形.在k > 1 時,本文定理1 的條件弱于文獻(xiàn)[3]的定理1 的條件,因此,本文定理1 推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]中的主要結(jié)果.另一方面,定理1 的迭代形式的充分條件還可以利用下列算法實(shí)現(xiàn)計算機(jī)判別:
給定矩陣A=( aij)∈Mn(C),迭代次數(shù)T:
步驟1定理1 的條件3)不滿足,轉(zhuǎn)入步驟5;
步驟2k :=1,定理1 的條件1)和2)滿足,轉(zhuǎn)入步驟6;
步驟3k :=k+1,定理1 的條件1)和2)滿足,轉(zhuǎn)入步驟6;
步驟4k ≤T,轉(zhuǎn)入步驟3;
步驟5得出無法判定,停止;
步驟6得出A ∈,停止.
注2設(shè)矩陣A 滿足定理1 的全部條件.如果矩陣A 還滿足
在這種情形下,定理1 的條件1)等價于
定理1 的條件2)等價于
還有其它的充分條件也具有這個性質(zhì),下面的定理2 進(jìn)一步說明這種現(xiàn)象.
定理2設(shè)A=(aij)∈Mn(C).若矩陣A 滿足下列條件:
1) 對任意的 i ∈ ?n1?,有
2) 對任意的 i ∈ ?n2?,有
3) 對任意的 i ∈ ?n3?,有
4) 對任意的 i ∈ ?n4?,有
證明 由定理的條件可知,存在充分小的ε>0,使得下列結(jié)論皆成立:
1) 對任意的 i ∈ ?n1?,有
2) 對任意的 i ∈ ?n2?,有
3) 對任意的 i ∈ ?n3?,有
構(gòu)造正對角矩陣 Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn),其中
令B =(bij)=AY ,則bij=aijyj(i,j ∈ ?n?).
對任意的 i ∈ ?n1?,有
對任意的 i ∈ ?n2?,有
對任意的 i ∈ ?n3?,有
對任意的 i ∈ ?n4?,有
Taussky 的不可約對角占優(yōu)矩陣和Shivakumar 與Kim Ho Chew 的非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣是兩類重要的廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.定理1 在不可約和非零元素鏈的情形,我們有:
定理3設(shè)A=(aij)∈Mn(C).若存在k ≥1,使得矩陣A 滿足下列條件:
1) 對任意的 i ∈ ?n1?,有
2) 對任意的 i ∈ ?n2?,有
3) 對任意的 i ∈ ?n?S,矩陣 A 都有非零元素鏈
證明 由于對任意的 i ∈ ?n4?,矩陣 A 都有非零元素鏈可知
所以
構(gòu)造正對角矩陣 Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn),其中
令B =( bij)=AY ,則bij=aijyj(i,j ∈ ?n?).
對任意的i ∈ ?n1?∩ S,有
對任意的i ∈ ?n2?∩ S,有
對任意的i ∈ ?n3?∩ S,有
對任意的i ∈ ?n1?S,有
對任意的i ∈ ?n2?S,有
對任意的i ∈ ?n3?S,有
對任意的i ∈ ?n4?且k =1,有
對任意的i ∈ ?n4?且k =2,有
對任意的i ∈ ?n4?且k ≥ 3,有
綜上所述,對任意的i ∈ ?n?S, |bii| ≥ Λi(B)且對任意的i ∈ S, |bii| > Λi(B).另外,矩陣B 和矩陣A 具有相同的非零元素鏈,所以B 是非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣,即B ∈.進(jìn)而A ∈.
推論1設(shè)A=(aij)∈Mn(C)不可約.若存在k ≥1,使得矩陣A 滿足下列條件:
1) 對任意的 i ∈ ?n1?,有
2) 對任意的 i ∈ ?n2?,有
由文獻(xiàn)[4]中定理1 可知,若矩陣A 是非奇異H 矩陣,則矩陣A 至少有一個嚴(yán)格占優(yōu)的行.為了改進(jìn)該經(jīng)典的必要條件,借用定理2 的形式,可以得到下面的定理4.
定理4設(shè) A = ( aij) ∈ Mn(C)為非奇異 H 矩陣.若?n1?∪ ?n2??,則下列條件至少有一個成立:
1) 若存在 i ∈ ?n1?,使得
2) 若存在 i ∈ ?n2?,使得
證明 構(gòu)造對角矩陣Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn),其中
顯然Y 為正對角矩陣.令B =(bij)=AY,則bij=aijyj.
選擇合適的置換矩陣P,使得PTBP 分塊為
并且滿足 B11=B[α],其中 α = ?n1?∪ ?n2?.由矩陣 A 是非奇異H 矩陣和引理 3 可知
是非奇異H 矩陣,所以
亦是非奇異H 矩陣,從而B11是非奇異H 矩陣.由文獻(xiàn)[4]中定理1 可知B11至少有一個嚴(yán)格占優(yōu)的行,則下列條件至少有一個成立:
1) 若存在 i ∈ ?n1?,使得
2) 若存在 i ∈ ?n2?,使得
注3如果矩陣A 是非奇異 H 矩陣且滿足?n1?∪ ?n2??,則定理4 中的條件 1)和條件2)至少有一個成立.所以,定理4 在一定程度上改進(jìn)了非奇異H 經(jīng)典的必要條件:文獻(xiàn)[4]中定理1.
例1設(shè)
易知
驗(yàn)證可知A 不滿足文獻(xiàn)[3]中的定理1 的條件,不能夠判定A 為非奇異H 矩陣.
進(jìn)一步驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)A 也不滿足本文的定理1 在k = 1 和k = 2 的情形.但是,A 滿足本文的定理1 在k =3 的所有條件,所以經(jīng)過兩次迭代就可以判定A 是非奇異H 矩陣.