一類非奇異H矩陣的新判據(jù)

劉長太, 徐 靜, 徐輝軍

(1- 揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，揚(yáng)州 225127; 2- 貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴陽 550025)

1 引言

非奇異H 矩陣在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和控制論等諸多領(lǐng)域都有著非常重要的應(yīng)用價值[1]．設(shè)矩陣

滿足 B = sI ? A ≥ 0 和 s > ρ(B)，則稱矩陣 A 為非奇異 M 矩陣．如果 A = (aij) ∈Mn(C)的比較矩陣是非奇異M 矩陣，則稱矩陣A 為非奇異H 矩陣，記作A ∈．

如果矩陣A=(aij)∈Mn(C)的每一行皆為嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則稱矩陣A 為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，記作A ∈D；若存在正對角陣X，使得AX ∈D，則稱A 為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣．廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣等價于非奇異H 矩陣[1]．

設(shè)矩陣A=(aij)∈Mn(C)，并且記

若對任意的 i ∈ ?n? = {1,2,··· ,n}，有 |aii| > Ri(A)，則稱矩陣 A 為 Nekrasov 矩陣；若存在正對角陣X，使得AX 為Nekrasov 矩陣，則稱A 為廣義Nekrasov 矩陣[2]．廣義Nekrasov 矩陣等價于廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣[2]．

非奇異H 矩陣和廣義Nekrasov 矩陣以及廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣皆記作A ∈ D．用迭代法求解大型稀疏線性方程組時，為了迭代收斂，常常要求迭代矩陣是非奇異H 矩陣，因此非奇異H 矩陣的充分條件為研究者所一直關(guān)注的課題，許多學(xué)者進(jìn)行了深入而透徹的研究，給出了許多簡捷實(shí)用的充分條件[2-8]．

2 符號與引理

設(shè)A=(aij)∈Mn(C)．記

下面的結(jié)論和引理與本文的討論是相關(guān)的：

1) 廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的每一個對角元皆不為零[3]；

2) 矩陣A = (aij) ∈Mn(C)每一個對角元皆不為零，記α = {i|Λi(A) > 0}，則矩陣A 為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣等價于矩陣A[α]為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣[3]；

引理1若A 為不可約對角占優(yōu)矩陣，則A 為非奇異H 矩陣[3]．

引理2若A 為非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣，則A 為非奇異H 矩陣[3]．

引理3若A 為非奇異H 矩陣，P 為任意置換矩陣，則PTAP 為非奇異H 矩陣[9]．

因此，我們假定所討論的矩陣 A 首先滿足：對任意的 i ∈ ?n?|aii|Λi(A)>0 和 ?n4??．另一方面，本文中定理的條件主要是針對i ∈ ?n1?的，故還總假定：?n1??．規(guī)定∑t∈?|ait|=0．為了改進(jìn)和推廣文獻(xiàn)[3]，先回顧其主要結(jié)論：

定理A設(shè)A=(aij)∈Mn(C)．若對任意的i ∈?n1?，有

對任意的 i ∈ ?n2?，有

對任意的 i ∈ ?n3?，有

為了改進(jìn)和推廣上述結(jié)論，取k 為正整數(shù)，并且引進(jìn)下列記號：

進(jìn)一步地，令

3 主要結(jié)果

定理1設(shè)A=(aij)∈Mn(C)．若存在k ≥1，使得矩陣A 滿足下列條件：

1) 對任意的 i ∈ ?n1?，有

2) 對任意的 i ∈ ?n2?，有

3) 對任意的 i ∈ ?n3?，有

證明 易得0 ≤r <1．

易得

再由定理的條件可知，存在充分小的ε>0，使得下列結(jié)論皆成立：

1) 對任意的 i ∈ ?n1?，有

2) 對任意的 i ∈ ?n2?，有

3) 對任意的 i ∈ ?n4?，有

構(gòu)造正對角矩陣 Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn)，其中

令B =( bij)=AY ，則bij=aijyj(i,j ∈ ?n?)．

對任意的 i ∈ ?n1?，有

對任意的 i ∈ ?n2?，有

對任意的 i ∈ ?n3?，有

對任意的i ∈ ?n4?且k =1，有

對任意的i ∈ ?n4?且k =2，有

對任意的i ∈ ?n4?且k ≥ 3，有

注1對任意的i ∈ ?n4?，有故文獻(xiàn)[3]的定理1 就是本文定理1 在k = 1 時的情形．在k > 1 時，本文定理1 的條件弱于文獻(xiàn)[3]的定理1 的條件，因此，本文定理1 推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]中的主要結(jié)果．另一方面，定理1 的迭代形式的充分條件還可以利用下列算法實(shí)現(xiàn)計算機(jī)判別：

給定矩陣A=( aij)∈Mn(C)，迭代次數(shù)T：

步驟1定理1 的條件3)不滿足，轉(zhuǎn)入步驟5；

步驟2k :=1，定理1 的條件1)和2)滿足，轉(zhuǎn)入步驟6；

步驟3k :=k+1，定理1 的條件1)和2)滿足，轉(zhuǎn)入步驟6；

步驟4k ≤T，轉(zhuǎn)入步驟3；

步驟5得出無法判定，停止；

步驟6得出A ∈，停止．

注2設(shè)矩陣A 滿足定理1 的全部條件．如果矩陣A 還滿足

在這種情形下，定理1 的條件1)等價于

定理1 的條件2)等價于

還有其它的充分條件也具有這個性質(zhì)，下面的定理2 進(jìn)一步說明這種現(xiàn)象．

定理2設(shè)A=(aij)∈Mn(C)．若矩陣A 滿足下列條件：

1) 對任意的 i ∈ ?n1?，有

2) 對任意的 i ∈ ?n2?，有

3) 對任意的 i ∈ ?n3?，有

4) 對任意的 i ∈ ?n4?，有

證明 由定理的條件可知，存在充分小的ε>0，使得下列結(jié)論皆成立：

1) 對任意的 i ∈ ?n1?，有

2) 對任意的 i ∈ ?n2?，有

3) 對任意的 i ∈ ?n3?，有

構(gòu)造正對角矩陣 Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn)，其中

令B =(bij)=AY ，則bij=aijyj(i,j ∈ ?n?)．

對任意的 i ∈ ?n1?，有

對任意的 i ∈ ?n2?，有

對任意的 i ∈ ?n3?，有

對任意的 i ∈ ?n4?，有

Taussky 的不可約對角占優(yōu)矩陣和Shivakumar 與Kim Ho Chew 的非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣是兩類重要的廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣．定理1 在不可約和非零元素鏈的情形，我們有：

定理3設(shè)A=(aij)∈Mn(C)．若存在k ≥1，使得矩陣A 滿足下列條件：

1) 對任意的 i ∈ ?n1?，有

2) 對任意的 i ∈ ?n2?，有

3) 對任意的 i ∈ ?n?S，矩陣 A 都有非零元素鏈

證明 由于對任意的 i ∈ ?n4?，矩陣 A 都有非零元素鏈可知

所以

構(gòu)造正對角矩陣 Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn)，其中

令B =( bij)=AY ，則bij=aijyj(i,j ∈ ?n?)．

對任意的i ∈ ?n1?∩ S，有

對任意的i ∈ ?n2?∩ S，有

對任意的i ∈ ?n3?∩ S，有

對任意的i ∈ ?n1?S，有

對任意的i ∈ ?n2?S，有

對任意的i ∈ ?n3?S，有

對任意的i ∈ ?n4?且k =1，有

對任意的i ∈ ?n4?且k =2，有

對任意的i ∈ ?n4?且k ≥ 3，有

綜上所述，對任意的i ∈ ?n?S, |bii| ≥ Λi(B)且對任意的i ∈ S, |bii| > Λi(B)．另外，矩陣B 和矩陣A 具有相同的非零元素鏈，所以B 是非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣，即B ∈．進(jìn)而A ∈．

推論1設(shè)A=(aij)∈Mn(C)不可約．若存在k ≥1，使得矩陣A 滿足下列條件：

1) 對任意的 i ∈ ?n1?，有

2) 對任意的 i ∈ ?n2?，有

由文獻(xiàn)[4]中定理1 可知，若矩陣A 是非奇異H 矩陣，則矩陣A 至少有一個嚴(yán)格占優(yōu)的行．為了改進(jìn)該經(jīng)典的必要條件，借用定理2 的形式，可以得到下面的定理4．

定理4設(shè) A = ( aij) ∈ Mn(C)為非奇異 H 矩陣．若?n1?∪ ?n2??，則下列條件至少有一個成立：

1) 若存在 i ∈ ?n1?，使得

2) 若存在 i ∈ ?n2?，使得

證明 構(gòu)造對角矩陣Y ≡ diag(y1,y2,··· ,yn)，其中

顯然Y 為正對角矩陣．令B =(bij)=AY，則bij=aijyj．

選擇合適的置換矩陣P，使得PTBP 分塊為

并且滿足 B11=B[α]，其中 α = ?n1?∪ ?n2?．由矩陣 A 是非奇異H 矩陣和引理 3 可知

是非奇異H 矩陣，所以

亦是非奇異H 矩陣，從而B11是非奇異H 矩陣．由文獻(xiàn)[4]中定理1 可知B11至少有一個嚴(yán)格占優(yōu)的行，則下列條件至少有一個成立：

1) 若存在 i ∈ ?n1?，使得

2) 若存在 i ∈ ?n2?，使得

注3如果矩陣A 是非奇異 H 矩陣且滿足?n1?∪ ?n2??，則定理4 中的條件 1)和條件2)至少有一個成立．所以，定理4 在一定程度上改進(jìn)了非奇異H 經(jīng)典的必要條件：文獻(xiàn)[4]中定理1．

4 數(shù)值算例

例1設(shè)

易知

驗(yàn)證可知A 不滿足文獻(xiàn)[3]中的定理1 的條件，不能夠判定A 為非奇異H 矩陣．

進(jìn)一步驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)A 也不滿足本文的定理1 在k = 1 和k = 2 的情形．但是，A 滿足本文的定理1 在k =3 的所有條件，所以經(jīng)過兩次迭代就可以判定A 是非奇異H 矩陣．