淺談反證法及其應(yīng)用

譚驥

【摘要】本文主要介紹了反證法及反證法的常用場(chǎng)合，本文把反證法的常用場(chǎng)合分為六點(diǎn)，分別是：① 命題結(jié)構(gòu)采取否定形式，結(jié)論反面卻是肯定判斷;②有關(guān)唯一性的問題;③ 命題結(jié)論是“至多”“至少”的形式;④ 命題結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的對(duì)象;⑤ 某些起始命題;⑥ 命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡(jiǎn)單，直接證明難以下手時(shí).

【關(guān)鍵詞】反證法;應(yīng)用;場(chǎng)合

曾有數(shù)學(xué)家贊揚(yáng)反證法是“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它在數(shù)學(xué)證題中確有奇效.應(yīng)該指出的是，多數(shù)題目用直接法證明較為簡(jiǎn)捷.究竟什么類型的數(shù)學(xué)題可用這精良的武器去解決呢？對(duì)“若A則B”一類的數(shù)學(xué)命題，一般都可以用反證法來加以證明，當(dāng)然沒有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)，但是遇到以下幾類問題時(shí)不妨試一試.

一、命題結(jié)構(gòu)采取否定形式，結(jié)論反面卻是肯定判斷

例1?證明：方程x2+y2=1996沒有整數(shù)解.

分析?根據(jù)題目的意思，我們知道，因?yàn)?996是個(gè)偶數(shù)，所以x2，y2必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，所以x，y必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù).我們根據(jù)這個(gè)條件去尋找矛盾.

證明：設(shè)原方程有整數(shù)解，則x，y必須同為偶數(shù)或同為奇數(shù).

（1）若x，y同為偶數(shù)，令x=2m，y=2n，（m，n∈Z）則

4m2+4n2=1996，即m2+n2=499，①

滿足①的m，n必須是一個(gè)為偶數(shù)，一個(gè)為奇數(shù).

令m=2m′，n=2n′-1（m′，n′∈Z）代入①得

4m′2+4n′2-4n′+1=499，

即4（m′2+n′2-n′）=498.②

②的左邊是4的倍數(shù)，而右邊不是4的倍數(shù)，矛盾，故①不成立，從而原方程沒有偶數(shù)解.

（2）若x，y同為奇數(shù)，令x=2m-1，y=2n-1（m，n∈Z）則

4（m2+n2-m-n）=1994.③

③的左邊是4的倍數(shù)，而右邊不是4的倍數(shù)，故原方程沒有奇數(shù)解.

由（1）（2）知，原方程x2+y2=1996沒有整數(shù)解.

二、有關(guān)唯一性的問題

例2?兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).

已知：a，b為兩相交直線.

求證：a，b只有一個(gè)交點(diǎn).

證明?假定兩直線a與b不止有一個(gè)交點(diǎn)，則至少交于兩點(diǎn).設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn).這就是說，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)可以作兩條直線a，b，這和公理“經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾.故原命題成立.兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).

三、命題結(jié)論是“至多”“至少”的形式

例3?設(shè)△ABC不是正三角形，則在∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)大于60°.

分析?學(xué)生們?cè)谧鲞@類題的時(shí)候反設(shè)容易出錯(cuò)，由題目我們知道，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°的意思是：∠A，∠B，∠C中，有一個(gè)不小于60°，或者有2個(gè)不小于60°，或者有3個(gè)不小于60°.那么，它的反面當(dāng)然是有0個(gè)不小于60°，即∠A，∠B，∠C都小于60°.

證明?假設(shè)∠A，∠B，∠C都是不大于60°的角，則∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°.

從而∠A+∠B+∠C≤180°，

要使上式的等號(hào)成立，只能是∠A=∠B=∠C=60°.

于是，依題設(shè)△ABC不是正三角形，從而推出∠A+∠B+∠C<180°.

這與三角形的三個(gè)內(nèi)角的和為180°相矛盾.

因此，原命題成立.

四、命題結(jié)論涉及無限集或數(shù)目不確定的對(duì)象

例4?證明素?cái)?shù)有無限多個(gè).

證明?假設(shè)素?cái)?shù)是有限個(gè)，則必有最大的素?cái)?shù).記此最大的素?cái)?shù)為p，作n=（2·3·5·7…p）+1.

n被任一個(gè)素?cái)?shù)除時(shí)它的余數(shù)必等于1，即n除掉1與n外已無其他的約數(shù).因此，n是個(gè)素?cái)?shù)且是比p大的數(shù).但這是與p為最大的素?cái)?shù)相矛盾的，故原命題成立.

五、某些起始命題

例5?在同一平面內(nèi)設(shè)有四條直線a，b，c，d.若a與b相交，c⊥a，d⊥b，則c與d也相交.

證明?假設(shè)c∥d.因?yàn)閍⊥c，所以a⊥d;又因?yàn)閎⊥d，所以a∥b.這與已知條件a與b相交矛盾，故c與d也相交.

六、命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身具體、簡(jiǎn)單，直接證明難以下手時(shí)

例6?在△ABC中，若tgA，tgB，tgC成等比數(shù)列，求證：△ABC為銳角三角形.

分析?從題目給我們的已知條件，我們沒法計(jì)算出∠A，∠B，∠C都是小于90度的角，所以我們只能從別的方面入手，因?yàn)閠gA，tgB，tgC成等比數(shù)列，所以我們不妨從這方面進(jìn)行考慮.

證明?由條件知tg2B=tgA·tgB>0，則A，C均為銳角.設(shè)B為鈍角，即tgB<0，則由tgA+tgC≥2tgA·tgC=2tg2B=-2tgB，得tgA+tgB+tgC≥-tgB>0.

但另一方面，在任意三角形中，有tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC<0.

這樣就導(dǎo)致矛盾，故假設(shè)不成立，因此，B為銳角，△ABC為銳角三角形.

七、總?結(jié)

反證法的用處很大，它不僅應(yīng)用在初等數(shù)學(xué)中，還大量應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中，應(yīng)用反證法要注意以下幾點(diǎn)：1.推理過程必須完全正確.2.決不能忽視原命題的題設(shè)條件，否則可能無法推出錯(cuò)誤，或者無法斷定所推導(dǎo)出來的結(jié)論是否是謬論.3.在應(yīng)用反證法時(shí)，有時(shí)要做些準(zhǔn)備工作，為應(yīng)用反證法創(chuàng)造條件.4.在否定結(jié)論時(shí)，要分析可能有的各種情況，若有兩種或兩種以上的情況，要應(yīng)用窮舉法，不能有遺漏.

反證法是一種簡(jiǎn)明實(shí)用的數(shù)學(xué)證題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想.反證法的獨(dú)特思維方式和證題方法對(duì)提高學(xué)生創(chuàng)造性地分析問題和解決問題的思想素質(zhì)有重要的意義.